平新乔微观经济学十八讲课后习题详解(第10讲策略性博弈与纳什均衡)

1、平新乔微观经济学十八讲第10讲 策略性博弈与纳什均衡跨考网独家整理最全经济学考研考题，经济学考研课后习题解析资料库,您能够在那个 地址查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题,经济学考研参考书等内容,更有跨考 考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研体会，从先辈中取得的体会对初学者来讲是宝 贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进 行咨询。1 .假设厂商A与厂商B的平均本钱与边际本钱都是常数，Mg =10, M%=8,对厂 商产出的需求函数是=500 20（1）若是厂商进行Bertrand竞争，在纳什均衡下的市

2、场价钱是多少？（2）每一个厂商的利润别离为多少？（3）那个均衡是帕累托有效吗？解：（1）若是厂商进行Bertrand竞争，纳什均衡下的市场价钱是/人 = 10-£ , 八=10, 其中£是一个极小的正数。理由如下：假设均衡时厂商A和B对产品的定价别离为p,和/%,那么必有p” 2 10, Ps>8,即厂 商的价钱必然要高于产品的平均本钱。第二，达到均衡时，和力都可不能严格大于10。 不然，价钱高的厂商只需要把自己的价钱降得比对手略低，它就能够够取得整个市场，从而 提高自己的利润。因此均衡价钱必然知足4 10，pB<10a可是由于外的下限也是10, 因此均衡时分=

3、10。给定分=10,厂商B的最优选择是令分=10-£,那个地址£是一个 介于。到2之间的正数，这时厂商B能够取得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价钱 为 P人=0, §=（） - £ a（2）由于厂商A的价钱严格高于厂商B的价钱，因此厂商R的销售量为零，从而利润 也是零。下而来确信厂商B的销售量，现在厂商B是市场上的垄断者，它的利润最大化问题 为：max pq-cq其中 =10-£,= 500-20x（10-）,把这两个式子代入式中，取得:哨（10 - £-8儿500 - 20（10-初解得£=0,由于£必需严

4、格大于零，这就意味着£能够取一个任意小的正数，因此厂商B 的利润为：500-20x（10-£）（10-£）o（3）那个结果不是帕累托有效的。因为厂商B的产品的价钱高于它的边际本钱，因此 若是厂商B和消费者能够为额外1单位的产品协商一个介于8到10-e之间的价钱，那么厂 商B的利润和消费者的剩余就都能够取得提高，同时又不损害厂商A的剩余（因为A的利润 仍是零）。2 .（单项选择）在下面的支付矩阵（表10-1）中，第一个数表示A的支付水平，第二 个数表示B的支付水平，a、葭c、d是正的常数。若是A选择“下”而B选择“右”， 那么：表10-1博弈的支付矩阵B左右A1.c

5、j1滴d,l（1） 且<1（2） cvl且<1（3） < 1 且< 4（4） 且（/ < 1（5） a< < d【答案】（3）【分析】由于（下，右）是均衡策略，因此给定B选择“右”，“下”是A的最优选择, 这就意味着。<4： 一样的，给定A选择"下”，“右”也是B的最优选择，这就意味着<1 03.史密斯与约翰玩数字匹配游戏，每一个人选择一、2或3。若是数字相同，约翰支 付给斯密3美元。若是数字不同，斯密支付给约翰1美元。（1）描述那个计谋的报酬矩阵，而且证明没有纯策略纳什均衡策略组。（2）若是每一个局中人以;的概率选择每一个数字，

6、证明那个计谋的混合策略确实有 一纳什均衡。那个计谋的值是什么？解：（1）依照题意，构造如下的支付矩阵（表10-2）（其中每一栏中前一个数字是史密 斯的支付，后一个数字是约翰的支付）：表10-2玩数字匹配游戏的支付矩阵约翰123史密期13,-3-1J-1J2-13,-3-1,13-1,13,-3第一由史密斯来选择，假设史密斯选择1,并期望约翰选择1，从而使自己取得3的支 付。可是，若是史密斯选择1,那么约翰必然会选择2或3,从而使自己取得1,而不是-3。 假设约翰选择2,他期望史密斯选择1或3,以使得自己取得1,而事实上史密斯会选择2, 使得约翰取得-3,等等。不断的循环反复，最终也无法达到一个

7、使得两边都能够同意的方案。 因此，那个计谋没有一个纯策略纳什均衡，（2）假设均衡时，约翰选择一、二、3的概率别离为a和1-为-公,那么现在史 密斯在选择一、二、3之间是没有区别的，即：从而解得类似的方式能够解得史密斯在均衡状态下选择一、二、3的概率别离为1/3。4.假定世界上氮的整个供给由20个人操纵，每一个人拥有这种强有力的矿物10000 克。世界对颊的需求是2 = looo-iooop其中是每克的价钱。（1）若是所有拥有者合谋操纵氮的价钱，他们设置的价钱是多少？他们能够卖出的量 是多少？（2）什么缘故（1）中计算的价钱是不稳固的？（3）通过改变要求维持市场价钱的产出，在没有厂商能够获利的意

8、义下存在一个稳固 的均衡时，颊的价钱是多少？解：（1）所有拥有者合谋操纵氨的价钱，现在总的利润函数为：利润最大化的一阶条件为:解得总供给量为。=500 （克）。现在 =1-一匚0 = 0.5,每一个厂商的供给量为 1000500/20 = 25 （克）。（2）对第一个厂商而言，给定其他每一个厂商的供给量为25克，那么他的利润最大化问题为：依照一阶条件解得:q = 262.5可见在其他厂商的供给量为25克的条件下，厂商1增加供给量会提高自己的利润。类 似的结论对市场上的其他厂商也成立，因此合谋是不稳固的。（3）题目要求完全竞争巾场的均衡结果。令 = MC,取得氨的价钱为零。市场上的总 供给量为1

9、000克，每一个成员的出售量为50克。5 .在下表所示的策略型博弈（表10-3）中，找出占优均衡。表10-3博弈的支付矩阵2LR1U4,35,16,2M2J8,43,6D3,09,62,8答：关于行为人2而言，R优于M,因此行为人2将会剔除掉M策略，只在R、L这 两个策略中进行选择：关于行为人1来讲，明白了行为人2会在L、K策略当选择，那么U 占优于M和。策略。当行为人2明白行为人1选择了 U策略时，他那么最终会选择L策略。 因此，最终的占优均衡为（U, L），6 .模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一路划拳饮酒，每一个人有四个纯策略：杆子、 老虎，鸡和虫子。输赢规那么是：杆子降考虎，老虎降鸡，

10、鸡降虫子，虫子降杆子。两个 人同时出令。若是一个打败另一个，赢者的效用为1,输者的效用为-1;不然，效用均为0。 写出那个博弈的收益矩阵。那个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。答，（1）该题的支付矩阵（表10-4）为：表10T划拳博弈的支付矩阵游戏者2杆子老虎鸡虫子游戏者1杆子0,01,-10,0-1J老虎-1,1。,01,-10,0鸡0,0-1,10,01,-1虫子1,-10,0-140,0（2）这是一个零和博弈，没有纯策略纳什均衡°这是因为：对两个参与者，给定对方策略时，本方的占优策略对应的支付以下划线标注，均衡存在 当且仅当在同一栏中显现两个下划线。由此可知，该博

11、弈没有纯策略纳什均衡。（3）记游戏者1别离选择各个策略的概率为/不生.3，几，游戏者2别离选择各个策 略的概率为,%,%，% °当游戏者2别离以概率血,%选择四个策略时，游戏者1的四个策略的收益应该 相等（依照一样支付原那么）：lx%+（T）x% =（-1）x1+1X/ =（T）x% + lx% =lx+（-l）x%又因为 +q,+ q4 = 1，能够取得：彷=5 = % %。4同理，当关于游戏者1别离以概率ppj选择四个策略时，游戏者2的四个策略 的收益应该相等（依照一样支付原那么）：lxp2+(-l)Xp4 =(-l)XP|+lxp3=(_l)X2+lX4= lxP|+(_l)X

12、3又因为 P1 + P? + P. + /乙=1，能够取得：Pi =五。因此混合策略纳什均衡为：（名,4），其中7 .巧克力市场上有两个厂商，各自都能够选择去市场的高端（高质量），仍是去低端（低质量）。相应的利润由如下收益矩阵（表10-5）给出：表105巧克力商的博弈一.- - -一一.厂商2低高厂商1低-20, -30900,6001100,80050,50（1）若是有的话，哪些结果是纳什均衡？（2）若是各企业的经营者都是保守的，并都采纳最大最小化策略，结果如何?（3）合作的结果是什么？（4）哪个厂商从合作的结果中得益处最多？哪个厂商要说服另一个厂商需要给另一个 厂商多少益处？解：（1）纳什

13、均衡的结果是（高，低）和（低，高），相应的收益别离为（100, 800） 和（900, 600）o（2）若是1选择低，那么有niin-20,900） = -20 ：若是1选择高，那么有min100.50 = 50。因此若是1想要最大化它的最小支付，其最优决策为：niax min -20,900. min 100.50 = niax -20,50 = 50因此1会选择高。类似的分析说明2也会选择高，因此两个人都采纳最大最小策略的均 衡结果为（高，高），相应的支付为（50, 50）o（3）若是两边进行合作，那么他们的目标确实是总利润最大化，如此最终的结果确实 是（低，高），相应的支付为（900,

14、600）0（4）厂商1从合作的结果中取得的益处多。为了使得厂商2不选择另外一个纳什均衡 （高，低），厂商1应当给厂商2一笔800-600 = 200的支付.8 .考虑在c, g,三个要紧汽车生产商之间的博弈。每一个厂商能够生产要么大 型车，要么小型车，但不可同时生产两种型号的车。即，关于每一个厂商i, i = c, /, g,他的行动集合为4= SM.LG。用出代表,所选择的行动，"A，代表厂商i的利润。假设，每一个厂商的利润函数概念如下："三人若是。，j =C > f 9 g ;y，若是 a'=SM, j = c , f , g；a,若是 =LG,且a，=S

15、M , ja f 若是a' =SM ,且a，=LG, j ；P，若是 a'=a，=LG,且 a*=SM , j 手k 7B ,若是 a'=a，=SM,且 a； = LG 9 j w k w i ；（1）当a>P>y>0时，是不是存在纳什均衡？请证明。（2）当a>y>>0时，是不是存在纳什均衡？请证明。证明：该博弈的支付矩阵如表10-6和10-7所示。表10-6 G汽车厂生产SX型汽车一一C汽乍厂SMLGF汽车厂SMLGa出出BA"表10-7 G汽车厂生产LG型的汽车C汽乍厂SMLGF汽车厂SM6,6,aLG0,。,四（1）该

16、博弈存在纳什均衡。第一考虑三家选择的行动相同，那么任一个厂家都将取得 数量为y的利润。因为a>A>y,因此任何厂商只要选择和其他两个工厂生产不同型号的产 品，就能够够取得更高的利润，因此三家工厂生产相同的产品不是纳什均衡。若是三个工厂生产不同的产品，比如说（”,a，ag） = （SWLG5W）,因为a>尸 >人 因此C厂已经取得了 它可能取得的最高利润，因此它可不能背叛：给定其他厂商的选择，F厂生产LG型号的汽 车只能取得数量为尸的利润，高于它生产SM型号的汽车取得的数量为y的利润，因此F厂 也可不能背叛：给定其他厂商的选择，G厂在生产两种型号的汽车之间是没有不同的，因

17、为 不管那种情形下，他都只能取得数量为夕的利润，因此G厂一样可不能背叛。综上可知（"©'a）VSM.LGSW）是一个纳什均衡。类似的分析说明，只要三个工厂 生产不同的产品，确实是纳什均衡。（2）只要三个工厂生产的汽车型号不完全相同，如此的结果确实是纳什均衡。分析类 似于第（1）问。9 .考虑以下策略型博弈（表10-8）：表10-8博弈的支付矩阵一LMRAU1,-2-2,10,0-2,11,-20,0D0,0o,o1,1请问，该博弈里有几个均衡？什么缘故?答：（1）该博弈的纯策略均衡为3 R）。（2）下面分析混合策略均衡。设参与人A别离选择策略U、M和。的概率为伍,生

18、,乌： 设参与人B别离选择策略L、"和R的概率为下而分三种情形讨论:达到混合均衡时，若是参与人A别离选择策略U、M和。的概率都严格大于零，那 么他选择策略U、M和。的期望收益就要相等，即：-2%=-21+%=%从而解得q=%=-%,矛盾，因此对参与人B而言，不存在使得小,外，队同时大于 零的混合均衡；对参与人A也有类似的结论成立。尽管如此，以上的分析并非能说明不存在混合均衡。因为达到均衡时，有可能存在参 与人选择某一行动的概率为零的可能。对A而言，在U、M、。三个行动当选择某一行动 的概率等于零的情形共有三种可能。对B也是一样，如此均衡时共有九种可能的情形，下面 别离讨论：a. A选

19、择行动0的概率为零，B选择行动R的概率为零，即生=%=0,从而取得如表 10-9所示的支付矩阵：表10-9博弈的支付矩阵BLAU1,-2-2,1M-2,11,-2达到均衡时，A选择”和U应当取得相同的期望支付，即d-2G=-2+5，整理取得 %=%:又因为% =0,因此从而解得.=0,5 ；同理可得P = = 0.5。因此q =05,% =05,% =0和丛=0.5也=0.5e=0确实是一个混合均衡.b.A选择行动。的概率为零，B选择行动M的概率为零，采纳类似于的做法可知, 在这种情形下，不存在混合均衡。c. A选择行动。的概率为零，B选择行动L的概率为零，采纳类似于的做法可知, 在这种情形下

20、，不存在混合均衡,B选择行动R的概率为零,采纳类似于的做法可知，d. A选择行动M的概率为零, 在这种情形下，不存在混合均衡。采纳类似于的做法可知,e. A选择行动M的概率为零，B选择行动M的概率为零, 在这种情形下，不存在混合均衡，f. A选择行动M的概率为零，B选择行动L的概率为零，采纳类似于的做法可知, 在这种情形下，不存在混合均衡。g.A选择行动U的概率为零，B选择行动R的概率为零，采纳类似于的做法可知, 在这种情形下，不存在混合均衡。h. A选择行动U的概率为零，B选择行动M的概率为零，采纳类似于的做法可知, 在这种情形下，不存在混合均衡。i. A选择行动U的概率为零，B选择行动L的

21、概率为零，采纳类似于的做法可知, 在这种情形下，不存在混合均衡。综合上述分析可知，唯一的混合均衡确实是：cr4= 0.5.0.5.0, q =05050。均衡时，若是A选择某两个行动的概率都等于零，即A只能选择一个行动，这就要求 在B的行动中，至少有一对行动能够给自己带来相同的支付，可是由支付矩阵可知，这一条 件并非知足，如此均衡时，B也只能选择一个行动，这就退化成了纯策略均衡。因此A选择 某两个行动的概率都等于零的混合均衡是不存在的：同理B选择某两个行动的概率都等于零 的混合均衡也是不存在的。综合上述分析可知，该博弈只有唯一的混和均衡，即：% =05% =05% =。和 =05 =0.5,0

22、 =010-考虑如表10-10和10-11所示的策略型博弈表10-10参与人3选择A时的支付矩阵2LR1U0,0,10- 5, -5,0D-5, -5,01/，-5表10-11参与人3选择B时的支付矩阵2LR1U-2, -2,0-5, -5,0D-5, -5,0-1 > - 1,5每一格左侧的数字是游戏者1的得益，中间的数字为游戏者2的得益，右边的数字为游戏者3的得益°游戏者3的策略是选A矩阵或选B矩阵。（1）上述博弈中有几个纯策略纳什均衡？什么缘故？（2）若是三个游戏者中能够有两个人结盟一起对付另一个人，会显现什么结果？解：（1）上述博弈中有两个纯策略纳什均衡。它们别离为（U

23、, L，A）和（。，R， 8）。对任意的参与人，给定其他两个参与者的行动，他的占优行动用下划线表示出来，由 此能够取得这两个纯策略纳什均衡。（2）假设三人中有两人结盟，那么不外乎下面三种情形：参与人1和2结盟，支付矩阵如表10-12所示，该博弈的均衡是（OR, B ）0表10-12参与人1和2结盟后博弈的支付矩阵参与人3AB结盟方UL0,10-4,0UR-10,0-10,0DL-10,0-10,0DR2,-5-2,5参与人1和3结盟，支付矩阵如表10-13所示，该博弈的均衡是（, L ）和（08 ,表10-13参与人1和3结盟后博弈的支付矩阵参与人2LR结盟方UA10,0-5,-5DA-5-4

24、,1UB-2,-2-5, - 5DB-5,-54,-1参与人2和3结盟，支付矩阵如表10T4所示，该博弈的均衡是（LA , U）和（股， D ）.表10-14参与人2和3结盟后博弈的支付矩阵参与人1UD结盟方140,10-5,-5R4-5,-51,-4LB-2. -2-5 9 -5RB-5, 5假设参与人1和2结盟，博弈的结果只能是（。，R, B）。由于结果（U, L, A） 对应的支付对每一个人而言都优于（O, R, 8）对应的支付，因此不结盟至少能够使每 一个人的境况和参与人1，2结盟时一样好，因此不结盟相对参与人1和2而言反而更优。假设参与人1和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。假设参与人

25、2和3结盟，博弈的结果完全同不结盟。综合上述分析可知，在那个博弈中，任何两方都可不能有结盟的动机。11 .在表10T5所示的策略型博弈里，什么是占优解？什么是纯策略纳什（Nash）均 衡解？表10-15博弈的支付矩阵'游戏32LMR游戏有1/2,01.14,2M3,41,22,3D1,30,2解：（1）那个博弈没有占优均衡。理由如下：在那个问题中，关于游戏者1而言，7占 优于。，因此能够将。排除掉。现在博弈的支付矩阵如表10-16所示。当游戏者1的可选 策略只有r和M时，对游戏者2而言，R占优于因此能够把“排除掉，现在博弈的支 付矩阵如表10-17所示。至此，用剔除法寻觅占优均衡的方式

26、无法继续进行，因此那个博弈 没有占优均衡。表10-16排除掉。以后的支付矩阵游戏拧2LMR游戏者】T2,01 J4,2M3,41,22,3表10-17排除掉M以后的支付矩阵游戏者2LR游戏者1T2,04,2M3,42,3（2）纯策略纳什均衡为（"，L）, （T，R）.由表10T7可知，当游戏者2选择L时, 游戏者1的最优策略为M,当游戏者2选择R时，游戏者1的最优策略是7。一样，当游 戏者1选择T时，游戏者2的最优策略是R,当游戏者1选择M时，游戏者2的最优策略 为L。因此，纯策略纳什均衡为（M, L）, （7, R）,现在游戏者取得的支付为（3, 4）, （4, 2）。12 .判定

27、对错，并简要说明理由。（1）占优均衡必然是纳什均衡。（2）在囚徒窘境中，若是每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那么两个人都会抵赖。3. ） 一个将军有两个纯策略，要么把所有的军队从陆地运输，要么把所有的军队从海 洋上运输。那么把1/4的军队从陆地运输，把其余3/4的军队从海洋运输组成一个混合策 略。答：（1）正确。理由如下：若是在博弈中，每一个参与人都有自己的占优策略，这就意 味着对任何一个参与人而言，不管其他参与人的策略如何，该参与人的占优策略对他而言都 是最优的，专门地，当其他的参与人也选择自己的占优策略时，该参与人的占优策略对他仍 是最优的，依照纳什均衡的概念，可知占优均衡必然是纳什均衡

28、。（2）错误。理由如下：在囚徒窘境中，若是每一个囚犯都相信另一个囚犯会抵赖，那 么对每一个囚犯而言，坦白将是他的最优选择。若是两个囚犯都如此考虑，那么均衡的结果 确实是两个人都坦白。（3）错误。因为混合策略是在纯策略集合上确信的一个概率散布，而在此题中，将军 分割军队的决定事实上是扩大了纯策略的集合，即将军的决定仍然是一个纯策略,13. 一个小镇中，有N个人，每人有100元钱，若是每人都向一个集资箱中捐一笔钱 （能够为零）而共搜集到£元，那么从一个基金中拿出相同数量的钱放入集资箱，最后当 集资被分派时，每人取得2F/N元，求解这一博弈的均衡。解:假设参与人i的捐钱为的,他的收益为力,又记尸=尸-尸,那么给定尸一=广，参与人i的收益为：卢+广）_/=k+2_广n I n ） N专门地,才是F'的线性函数，因此:（1）当N>2时，-1<0»因此参与人i的最优选择是尸=0。N（2）当N = 2时，三-1 = 0,因此不管参与人的捐钱数量为多少，都可不能阻碍他的 N收益，从而尸e（O.+oc）。（3）当N = 1时，-1X）,这时参与人的捐钱数量会趋向于正无穷，即尸一+8。 N由于所有行动者的行为