特征根法求数列通项

1、特征根法求解数列递推公式类型一、形如an 2 pa* i qan（p,q是常数）的数列（二阶线性递推式）形如ai mi, a2 m2,a* 2 pa* 1 qa*（ p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为x2 px q（1） 若有二异根，则可令an Ci n C2 n（Ci,C2是待定常数）（2） 若有二重根，则可令an （Ci nC2） n（Ci,C2是待定常数）再利用ai mi,a2 m2,可求得g©，进而求得a.已知数列an满足ai2,a23, an 2 3an i 2an(nN ）,求数列an的通项an解:其特征方程为x23x2，解得 Xii,X

2、2 2，令 anCi iC2 2n ,ai Ci 2c22a2 c 4c23c，得C2n ian i 2例2已知数列an满足ai i,a22,4an 24an i an(n求数列an的通项an解：其特征方程为4x24x解得XiX2ai( CiC2)Cinc2a2 (Ci 2C2)，得 &C2an3n 22* i类型二、形如an 1A?的数列Can D（分式递推式）对于数列an 1Aan B，a1 m,nCan DN (代 B,C,D 是常数且 C 0,AD BC 0)其特征方程为Ax BX，变形为Cx DCx2 (DA)x B 0（1）若有二异根，则可令旦口an 1an c an（其中

3、c是待定常数）代入a1, a2的值可求得c值。即数列aan是首项为aa1，公比为c的等比数列，于是这样可求得a（2）若有二重根，则可令 1- c （其中c是待定常数）an 1an代入a1, a2的值可求得c值。1即数列an是首项为an，公差为c的等差数列，于是这样可求得an例3已知数列an满足ai 2,aan 12n 离TIB 2)，求数列an的通项an解：其特征方程为x 2x2x 1，化简得2x2 20，解得 X1 1,X21，令an 11an 11an 1 c -an 12,得 a24，可得canan3为公比的等比数列，an1an1an3n ( 1)n3n ( 1)n例4已知数列a.满足a

4、i 2,am空（n N*），求数列a.的通项a.4a. 64x 611c101 121 an2由印2,得 a2314，求得c 1，解：其特征方程为X经,即11x2 X 2 0，解得 Xi X21，令anaiI为首项，以1为公差的等差数列，2 (n 1)1 n 3，5513 5n10n 6【附】类型一证明：递推公式为an 2 pan i qan (其中p, q均为非零常数)。先把原递推公式转化为an 2 x1an 1 x2(an 1 x1 an),其中x1, x2满足1$ P ,显然疋兀是方程x2 px q 0的两个非零根。X1X2q1) 如果a2 “i 0,则an 2 x© i 0,

5、 an成等比，很容易求通项公式。2) 如果a2 XQi 0，则 an 2 Xni成等比。公比为X2，所以 an 1 xn (a2 X1a1)X2n 1，转化成：bna1x2(1 x2)X-Ix2X1 nTX2(a2X1x1a1 )xX2an 1 n 1X2X1X2ann 2X2(a2X1a1 )，(I )又如果X-X2，则 a； 11 等差,X2公差为(a2XQ1)，所以勺1X2a21 1(n 1)(a2 xe)，即：an 1n 1a2 (n 1)(a2X£1)X2an亚X2(n 2)(a2 X1a1 ) n 1-X2X2可以整理成通式：an (A Bn )x；(II)如果X1X2，则令 n 1bn 1，X2t A，(a2XQ1)B,就有bn 1 Abn B，利用待定系数法可以求出bn的通项公式所以 an a1X2(1 xj(0)n1 (a2 X1a1)X2x2n 2，化简整理得:X-