线性的代数习地的题目集(带答案详解)

1、实用标准文档精彩文案第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1 .下列排列是 5 阶偶排列的是().(A) 24315(B) 14325(C) 41523(D)243512 如果 n 阶排列 j1j jn的逆序数是k,则排列 jnj2j1的逆序数是().实用标准文档精彩文案3.5.(A)k(B)n_ k (C) 号 一 k (D)n 阶行列式的展开式中含 亦盹的项共有(A) 0(B)(C)(n -2)!(D)n(n-1)k2(n-1)!00010010(A) 001000001(A) 06.在函数(A) 00 0=().00(B)-11 00 0=().0100(B)-12xx-1-1-

2、x1f(x)=32-x000(B)-1(C)(C)中x3项的系数是(D) 2(D) 2).(D) 201(C)1231-23XiX2kx3二012.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组Xikx2X3=0有非零解-2,x,则 x =().(A) 0(B)-3(C)3(D) 2-87436-23-ii0.若 D =，则D中第一行元的代数余子式的和为（）iiii43-75(A) -i(B)-2(C)-3(D)0304 0ii.若 D =iii i，则D中第四行元的余子式的和为（）.0-i0 053-2 2(A) -i(B)-2(C)-3(D)09.已知 4 阶行列式中第1 行元依次是-4,0,1

3、,3,第 3 行元的余子式依次为aiiai2ai3i_27. 若 D =a2ia22a23，则a3ia32a33(A) 4(B)-48.若aiiai2=a,则ai2ka22a2ia22anka2i2ai12a2i2a31(C) 2).ai3a23a33aia2ia31(D)_2ai2-2a22-2a32).-ka(C)k2a(D)_k2a(Di(A)ka(B)-24kxix2x3二0、填空题()(A) -1(B)-2(C)-3(D)0实用标准文档精彩文案1.2n阶排列24(2n)13 (2n 1)的逆序数是.2.在六阶行列式中项 a32a54a41a65a!3a26所带的符- 号是3.四阶行列

4、式中包含 a22a43且带正号的项是4.若一个 n 阶行列式中至少有n2- n 1个元素等于01110匸/-知卡 0 10 15.仃列式0 1110 0 1000100 2 006.行列式- 000 n -1n00 0a11a21ai(n J)a1 na2(n J)0ana12a13a11a133a123a28.如果D = a21a22a23=M，贝U D1=a21a233a223a?2a31a32a33a31a333a323a32an10 0则这个行列式的值等于7 .行列式69.已知某 5 阶行列式的值为 5,将其第一行与第 5 行交换并转置，再用 2 乘所有元素，则所得的新行列式的值为 _

5、实用标准文档精彩文案11. n 阶行列式12 已知三阶行列式中第二列元素依次为 1,2,3,则该行列式的值为81, A4j(j =1,2,3, 4)为 D 中第四行元的代数余子式,51-11X11-1X +1-11X-11-1X+1-11-110 .行列式其对应的余子式依次为 3,2,1 ,12356713.设行列式 D =4 3 2abca14.已知 D =cbabbaccacbdD 中第四列元的代数余子式的和为1315. 设行列式 D =1代)为 a4j(j =1,2,3, 4)的代数余子式，则A41A42 -A43Au -则 4 代13A422A43A44二8kx!2X2X3= 017.

6、齐次线性方程组2X! kx2=0仅有零解的充要条件是Xi -X2X3=0abcd2.22.2Xyx + yabcd；2.3ab33cd3yx十yXx + yXyb +c +da +c +da +b +da + b +1.7三、计算题Xa1a2and101X1a1Xa2an-21101X=0 ；4 .a1a2Xan1X1101X10a1a2a3X1a1a2a3an-113 .解方程71352n1120 0103 0100 n,D 中第一行元的代数余子式的和为18.若齐次线性方程组捲2x2x32x2+5X3-3X- 2x? kx3-0-0有非零解，则-016.已知行列式D二实用标准文档精彩文案11

7、1 131 -b1 16.112_b1111 (n _ 1)_b111 1xa1a2anbi印a1印a1xa2anbib2a2a2；8.a1a2x anbibbaana1a2aa x7.a。11 11a11 15.11a21111 an-1, j =0,1, ,n);9.X/21 X；-、X?XnXnX2-、1 X,aa0-1 1-aa0-11 -a00-100010.(ajXnXi1D二a1002n-a-12X1x2x-|10四、证明题1 a 1 b 1 e 1 d= (b-a)(c-a)(d -a)(c-b)(d -b)(d -c)(a + b+c + d)abed4a b

8、34ed45.设a,b,e两两不等，证明a ba ba1+bixa1X +bie1a1b1e1a2+b2xa2x弋e2= (1x2)a2b2e2a3+bsxa3Xe3a3b3e32.11 1a1a2an222na1a2ann=Z e 久 n (aj-ai)i#恒幻应n-2n-2n-2aa2annnna1a2an4.1 .设abed =1，证明:b12 3e2d21a1b2丄e271a1b1e丄d=0.实用标准文档精彩文案1e =0的充要条件是a + b + c = 0.3e12参考答案一单项选择题A D A C C D A B C D B B二填空题Ji/、“ 力1. n ;2.-;3.a14

9、a22a31a43;4.0;5.0;6. (-1)nn!n(n)7. (-1)231 旧2(2)an1;8.-3M; 9.-160; 10.x4; 11.(n)12.-2;13.0;14.0;15. 12,-9 ;16. n!(1 八-);k壬 k17.k-2,318.k 7三计算题1.-(a b cd)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c); 2.-2(x3y3)；3.x二-2,0,1;4.n .111 (x -比)k=1nn15.H(ak-1)(1); 6.-(2 b)(1-b) (n -2)-b);k =0k =0ak-1nnn7. (-1 门【(bk -ak);8

10、.(x aj【(x-aQ;k=1k=1k9.n1Xk;10.n 1;k11.(1 - a)(1 a2a4).实用标准文档精彩文案四.证明题（略）14(a)(a)A* = A，(b)A*= A(c)*n十A= A(d)*n -1A= A7.设A为 3 阶方阵,行列式 A =1 ,A为A的伴随矩阵，则行列式第二章 矩阵一、单项选择题1. A、B 为 n 阶方阵，则下列各式中成立的是()。(a)A = AA(b)A2- B2=(A-B)(A+B) (c) (A-B)A=A2-AB (d)(AB)T= ATBT2.设方阵 A、B C 满足 AB=AC 当 A 满足()时，B=C(a) AB =BA (

11、b) A=0 (c) 方程组 AX=0 有非零解(d) B 、C 可逆3.若A为 n 阶方阵，k为非零常数，则 kA=()5.设A，B为 n 阶可逆矩阵，下面各式恒正确的是()(a)(A + B)J = A)+ B*(b)(AB)T=A|B6.设A为 n 阶方阵，A*为A的伴随矩阵,则()(a)kA(b) 时 A4.设A为 n 阶方阵，且 A=0，则()(c) knA(d)kn|AA中任意一行为其它行的线性组合A中必有一行为其它行的线性组合(c)(A)+B)T= A+ B(d) (AB) 二A B_(2A)-2A*=()o158.设A,B为 n 阶方矩阵，A2=B2,则下列各式成立的是（）2

12、2(a)A = B(b)A=B(c)A=|B(d)A =B.9. 设A,B均为 n 阶方矩阵,则必有()。2 2(a)A + B=|A+|B (b)AB = BA(c) AB =|BA (d)|A =|B10. 设A为 n 阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是()。(a)2A=2AT(b)(2A) = 2A，(c)(A)f(AT)T(d)(AT)T=(A)TTP00J 0-3（a）010(b)0 1 01-30b131、12.已知A =220，则（）。311丿(a)AT=A(b)III 0(c)A 0 00 11a11a12、a13a113a31a123a32a133a33a21a22a23a21

13、a22a23la31a32a33 J1a31a32a3311.如果A则A二（0 0 -3J 00X(c)0 1 0(d)0 1 0J 010-3b0、 1(a)278(b)827(c)27(d)827011 0(d)0 0.011 A= 20丿3(2A)-2A*=()o16(a)ACB =1(b)CAB=I(c)CBA = I13.设代B,C,I为同阶方阵,I为单位矩阵，若ABC = I，则（(d)BAC = I实用标准文档精彩文案14. 设A为 n 阶方阵，且|A卜0，则（）。（a）A经列初等变换可变为单位阵I（b）由AX =BA，可得X =B（c） 当（A|l）经有限次初等变换变为（I |

14、 B）时，有A=B（d）以上（a）、（b）、（c）都不对15. 设A为 m n 阶矩阵，秩（A） =r：m：n，贝 U（ ）。（a）A中 r 阶子式不全为零（b）A中阶数小于 r 的子式全为零fl0（c）A经行初等变换可化为r（d）A为满秩矩阵0 0 丿16. 设A为 m n 矩阵，C为 n 阶可逆矩阵，B二AC，则（）。（a）秩（A） 秩（B） （b）秩（A）=秩（B）（c）秩（A）秩（B）（d）秩（A）与秩（B）的关系依C而定17.A，B为 n 阶非零矩阵，且AB=0，则秩（A）和秩（B）（）。（a）有一个等于零 (b)都为 n (c)都小于 n （d）个小于 n，一个等于 n18.n 阶

15、方阵A可逆的充分必要条件是（)。(a)r (A)二r：n(b)A的列秩为 n（c）A的每一个仃向量都是非零向量(d)伴随矩阵存在19. n 阶矩阵A可逆的充要条件是（）。（a）A的每个行向量都是非零向量（b）A中任意两个行向量都不成比例（c）A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示（d）对任何 n 维非零向量X，均有AX -0二、填空题1._ 设A为 n 阶方阵,I为 n 阶单位阵，且AI,则行列式| A =_0182.行列式-a-b广101 3.设 2A =020，贝U行列式0b1-c(A+31)(A291 )的值为4.设A二2.32且已知A6= I，则行列式A115.设A为 5 阶方阵,

16、是其伴随矩阵，且 A = 3，则6.设 4 阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为7.非零矩阵a2bia1b2a?b2ana2bn的秩为anbianb2-anbn8. 设A为 100 阶矩阵，且对任何 100 维非零列向量X，均有AX = 0，则A的秩为_9. 若 A = (aQ 为 15 阶矩阵，则ATA的第 4 行第 8 列的元素是_10.11.若12K1KmK方 阵A与4I相 似，贝UA二2K K +1 =1 -3K丿12.-101920三、计算题1.解下列矩阵方程（X 为未知矩阵）.44,求一秩为6广 2 23Q 2、勺 10、“3、2 0、1 -1 0X =3 2； 2)1 0 0

17、X2 -1-1 11 4 5h0-2310)(1 011)73)X(l_BC)TBT= I ,其中 B =44(14)AX2-A X-I,其中A= 0101；75)AXA 2X4,其中A= 111303厂7实用标准文档精彩文案2.设A为n阶对称阵,且 A2=0,求A.r13.已知A= 0-12001,求(A+2I)(A：-1-4I)44.设 A 二320010A2A45.设A2 的方阵B,使AB =0.2101r6.设A =101,B =121101,求非奇异矩阵C,使 A 二CTBC.227.求非奇异矩阵P,使PAAP为对角阵.8. 已知三阶万阵A的三个特征根为 1,1,2,其相应的特征向量

18、依次为(0,0,1)T,(-1,1,0)T,(-2,1,1)T,求矩阵A.5-3 2、9. 设A=6 -4 4,求A100.M5四、证明题1. 设A、B均为n阶非奇异阵，求证AB可逆.2. 设 A、O(k为整数),求证I-A 可逆.3. 设 a|.a2,IH,ak为实数,且如果 ak= O,如果方阵A满足Ak- a1Ak4ak4A akI =O ,求证A是非奇异阵.4设 n 阶方阵A与B中有一个是非奇异的，求证矩阵AB相似于BA.5. 证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.6. 证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.7. 证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8. 证明可逆矩阵的伴

19、随矩阵也可逆， 且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴 随矩阵.9. 证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.10. 证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。1 1 2 22 2 1 1- -A A2)2)实用标准文档精彩文案第二章参考答案一：1. a ; 2. b ; 3.c ; 4.d ; 5.b ; 6.d ; 7.a ; 8.d ; 9.c ; 1O.d ; 11.b ; 12.c ;13. b ; 14.a ; 15.a ; 16.b ; 17.c ; 18.b ; 19.d.151. 1 或-1 ; 2. 0; 3. -4 ; 4. 1; 5. 81; 6. 0; 7

20、. 1; 8. 100; 9. ai4ai8;i-1(0 2、10. I ; 12. 0 ; 11.0*-10 0 x1-1Z1-4-3*201、三、1.1 ）、-13-2；2）、2 3；3）、1-5-3；4）、03 0;16 0丿10-164J 0 2J*320、 3100+2(2100-1)2_2100_31003100-1、8.-100；9.00丄J00、2(2+3)-4,J00小/小100、4-2-2(3)2(3100_1)-1-1 1r/c100八2(3-1)cf c100、2(1-3)2(3100)-1丿广3-8-6广031 5 八2-9-6.2. 0; 3.-1-3-1C212一

21、9110广1-210、01-214.001-2s= 0,则= l/2,.，:s线性无关(c)若：i/2,. /s线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示(d)任何n i个 n 维向量必线性相关13. 设是向量组：-i=(i, 0, 0)T,:- 2=(0, i, 0)T的线性组合，贝厂=()(a)(0, 3, 0)T(b)(2, 0, i)T(c)(0, 0, i)T(d)(0, 2, i)T14. 设有向量组：i, -1, 2, 4T,:- 2=0, 3, i, 2T,：3= 3, 0, 7, i4T，:4= i, -2, 2, 0T,: 5=2, i, 5, i0T，则该向量组的极大

22、线性无关组为()(a)：i,-2,：3(b)：i,：2,：4(C)：i,：2,：5(d)：i,：2,：4,：528i5.设:-(ai,a2,a,= (bi, b2, b3)T，:i=, a2)T, (bi, b2)T,下列正确的是 ()(a) 若线性相关，贝U：1，-1也线性相关；(b) 若：，一：线性无关，则 i,-1也线性无关;(c) 若:, -1线性相关，则:,-也线性相关；(d) 以上都不对二、填空题1.若1=(1, 1, 1)T,:- 2=(1, 2,3)T,:- 3=(1, 3, t)T线性相关，则 t=2.n 维零向量一定线性_关。3.向量线性无关的充要条件是_ o4.若1,2,

23、3线性相关，则1,2,. ,s(S 3)线性_关。5.n 维单位向量组一定线性_o6.设向量组：1/2,.s的秩为 r,则：1/2,. ,s中任意 r 个_ 的向量都是它的极大线性无关组。7.设向量1=(1, 0, 1)T与2=(1, 1, a)T正交，则 a 二_ o8.正交向量组一定线性_ o9.若向量组冷2,/s与：1,：2,I等价，则?1/ 2,. /s的秩与：1,：2,. , :t 的秩_10. 若向量组1,2,.s可由向量组1,2,. ,t线性表示，则r(：1,：2,，:s)_ r(-1,-2, ) o实用标准文档精彩文案11. 向量组。1=(6, 1, 0,，G2=, 1, 1,

24、 0)T，3=(a3, 1, 1, 1f 的线性关系是_o12. 设 n 阶方阵 A -(牛,?；，叫)円=a2+a3,贝卩 A =_.30和 y 的值_ .14._ 两向量线性相关的充要条件是三、计算题1.设：1=(1 ，1, 1)T，:2=(1, 1 ，1)T，:3=(1,1, 1 J，2T一(0, )，问a,b为何值时，不能表示为12,74的线性组合?(2)a,b为何值时，能唯一地表示为2/-3/4的线性组合?3. 求向量组：厂(1,-1, 0, 4)T，: 2=(2, 1, 5, 6)T，:3=(1, 2, 5, 2)T，4=(1,-1,-2, 0)T，:5=(3, 0,7,14)T的

25、一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。4.设口1=(1 1 1)T，。2=(1 2 3T，3=(1 3 t)T,t 为何值时 口123线性相13.设“=(0, y,：2=(X,0, 0)T，若和：是标准正交向量，则 x(1)-为何值时，:能由:1-2，:-(2)-为何值时，能由r2,(3)-为何值时，-不能由-1/-22.设:j= (1, 0, 2,3)T，: 2=(1,3线性表示，但表达式不唯一?1, 3,5)T，: 3=(1, 1, a 2, 1)T，2, 4, a8)T，一(1, 1, b 3, 5)T问:(1)：3线性表示?：4 =(1,3唯一地线性表示?实用标准文档

26、精彩文案关，t 为何值时1,2,3线性无关？5.将向量组 二=(1, 2, 0)T，:2=(-1, 0,2)T，:3=(0, 1,2)T标准正交化。四、证明题1. 设：1 -1 2,-2= 3- -1, 3=2- -2，试证：仆：2,: 3线性相关。2. 设1,2,.Cn线性无关，证明1心2,2 *3,. ,n件二i在 n 为奇数时线性无关；在 n 为偶数时线性相关。3. 设1，2,，s：线性相关，而1,2,，s线性无关，证明能由:j, 2,. ,s线性表示且表示式唯一。4. 设：1/2/3线性相关，2,3,4线性无关，求证4不能由1,2,3线性表示。5. 证明：向量组1,2,，s(S_2)线

27、性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。6. 设向量组：1 /2,. ,s中1=0，并且每一个都不能由前i-1个向量线性表示(i =2,3,s)，求证1,2，/s线性无关。7. 证明：如果向量组中有一个部分组线性相关，则整个向量组线性相关。8.设0, ：，2,，s是线性无关向量组，证明向量组0,0 *1,0 *2，0 *s也线性无关。32第三章向量参考答案一、单项选择1.b 2.d 3.a 4.b 5.b 6.d 7.d 8.a 9.b 1O.c 11.c 12.d13. a 14.b 15. a二、填空题1. 5 2. 相关 3.: -0 4.相关 5.无关 6.线性无关

28、7. -18.无关 9.相等 10.11. 线性无关 12. 0 13.1x = 1,y =二V214. 对应分量成比例三、解答题1. 解：设：=为為X22 X“=3（1 +几必 +x2+x3=0则对应方程组为*x1+（1十扎）x2+x3=丸+ X2+（1 + *）X3= ?1 i 11其系数行列式A=11 + k 1=人2（二+3）(1)当丸式0,九式3 时，A 式 0，方程组有唯一解，所以P可由G 123唯地线性表示；1110Z1 1 1 0(2)当九=0时，方程组的增广阵A =1110T0 0 0 0，0 1 1 0?2 0 0 0?r(A) =r(A) =1 V3，方程组有无穷多解，所

29、以3可由a 12a3线性表示,实用标准文档精彩文案但表示式不唯一；(3)当3时，方程组的增广阵/：234r_2110、广1-21-3A =1-21-3T0-33-12J1-29卫 00 18 4，：5)二1,2,4为一个极大无关组，且:52113、广10-102、-112-10T0 1101055-270 001-114620141。00003 =+ 2+ 84J=21十口2-a41,2,34的线性组合。4. 解:：仆2,3当t =5时1,2,3线性相关，当t = 5时12,3线性无关。5.解：先正交化:=1, 2,oT452 2 丫52/：23536再单位化：Y丄/丄三ol Y=电丄丄QT1

30、| ：5，.5，2-2. 30 30 . 301,2,3为标准正交向量组四、证明题1.证：3G2）-4（2打一-30 一5打3-4打=0二 r 乜飞线性相关2.证：设匕（：、比2）k2（：2心3）亠亠 knCn*5）=0则(k1kn)：1(k1k2)：2(kn4心)：n二 0：1/2,n线性无关k1k 0=：33, J2=5,100 01110 00其系数行列式011 00虫亠/八n +=1 +(-1)000 10000 11kn-1kn= 0k1k2=031.6实用标准文档精彩文案；2, n 为奇数0 n 为偶数38当 n 为偶数时，ki,k2,kn可以不全为零，1/-2,n线性相关。3.证

31、：1，2,，s，一：线性相关存在不全为零的数 ki,k2,ks,k 使得一讪 k2：2亠亠 ks：sk-= 0若k = 0，则 k“i k?2亠 亠 kss=0, ( ki,k2,.,k$不全为零)与1,2,，s线性无关矛盾所以k =0ks：sk：能由-1 , 2, / s线性表示。设：二 k22kss-h 122川.川Iss则-得(ki-1)1(k22)：2(ks-Is)：s=0T12,/s线性无关ki-li=0,(i =1,2,s)K =h，(i =1,2，,s)即表示法唯4.证：假设：4能由123线性表示当 n 为奇数时，k1,k2,心只能为零，：n线性无关;于是一实用标准文档精彩文案T

32、：234线性无关，23线性无关40T宀，2,3线性相关,-：1 可由2宀线性表示,為能由：J,：/线性表示，从而=2/3/4线性相关，矛盾二4不能由1,2,3线性表示。5.证：必要性设向量组：i/2,，s线性相关则存在不全为零的数 k1, k2,.,ks,使得 kr-1-k- .川不妨设 ksV 0，贝U圧s- 2、*_2-ksks即至少有一个向量是其余向量的线性组合 充分性设向量组一：,二2, ,s中至少有一个向量是其余向量的线性组合不妨设-：.k2J2ksd-h则 kvik22 *. ks：-5 二 0 ,所以：l/2,，:s 线性相关。6. 证：用数学归纳法当 s=1 时，-=0，线性无

33、关，当 s=2 时，2不能由i线性表示，二：d-线性无关，设 s=i-1 时，i2,线性无关则 s=i 时，假设12,，i线性相关，：1,2,2 线性无关，：i可ksks实用标准文档精彩文案由12,，i4线性表示，矛盾，所以12,，i线性无关。得证7. 证：若向量组12,s中有一部分组线性相关，不妨设12,r(r1,2,/s线性无关，k +ki +k2叶+ks =0ki= 0所以k2= 0解得k0= k4= k2= =ks=0ks =0所以向量组0,0 *10 *2，0 *s线性无关。42第四章 线性方程组r : nr n=b有无穷解的充要条件是()r(A)：nr( Ab)二r(A)：nAX二

34、b的导出组为AX =0， 若 m： ： ：n ,AX -b必有唯一解AX =0必有唯一解无解的充分条件是=()2x2_ X3 = & _2X3=人 _4(-1)X3(-3)( -1)(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4|片2x2_X3= -16.方程组3x2-x3=2有无穷解的充分条件是=()分必要条件是()(A) r = n(B)(C)r _n(D)设A是 m n 矩阵, 则线性方程组AX(A)r(A) : m(B)(C)r(Ab) =r(A)：m(D)设A是 m n 矩阵, 非齐次线性方程组()(A)AX =b必有无穷多解(B)(C)AX =0必有非零解(D)T-X12x2-

35、x3= 4方程组x22x3= 2(一2)冷=-_( _ 3)( - 4)( -、单项选择题2.3.则4.设 n 元齐次线性方程组(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4AX =0的系数矩阵的秩为r，则AX =0有非零解的充方程组有唯一解的充分条件是实用标准文档精彩文案I、x2X3= (*3)( *4)(和-2)44(A) 1(B) 2(C) 3(D) 47 .已知是非齐次线性方程组AX =b的两个不同的解，八2是导出组AX=0的基本解系，kk2为任意常数，则AX二b的通解是()(A)kv!k2(：i：2)122(B)p _p(C)ik2(：2)12(D)28.设A为 m n 矩阵，则下列结论正

36、确的是(A)若AX =0仅有零解，则AX -b有唯一解(B)若AX =0有非零解，则AX二b有无穷多解(C)若AX =b有无穷多解，则AX =0仅有零解(D)若AX二b有无穷多解，则AX = 0有非零解9.设A为 m n 矩阵，齐次线性方程组AX = 0仅有零解的充要条件为()4x-|7x2i0 x3= i、填空题1.设A为 i00 阶矩阵， 且对任意 i00 维的非零列向量X， 均有AX=0， 则A的 秩为_. .kxi2x2X3 =02.线性方程组2xikx0仅有零解的充分必要条件是 I为_X2X3= 03.设 Xi,X2,川 Xs和 GXiC2X2川 CsXs均为非齐次线性方程组AX二b

37、的解Bi#2 ki：i k2(：i-2) 2B+BK-：* k2(2)i 22(A)A的列向量线性无关(B)(C)A的行向量线性无关(D)xix2x3=ii0.线性方程组X 2x23x3二0A的列向量线性相关A的行向量线性相关)(A) 无解(B) 有唯一解(C)有零解有无穷多解(D) 其导出组只实用标准文档精彩文案(qqlllCs 为常数)，则 C! c JH Cs464.若线性方程组AX二b的导出组与BX =O(r(B)二r)有相同的基础解系，则r(A)=5.若线性方程组 舛“乂刈的系数矩阵的秩为 m，则其增广矩阵的秩为 _6.设10 15矩阵的秩为8，则AX -0的解向量组的秩为7.如果

38、n 阶方阵A的各行元素之和均为0，且rA) n 1，则线性方程组AX = 0的通解为_.若 n 元齐次线性方程组AX =0有 n 个线性无关的解向量，则A =a =_11.n 阶方阵A，对于AX =0，若每个 n 维向量都是解，则r(A)=12. 设5 4矩阵A的秩为3，1,2宀是非齐次线性方程组AX =b的三个不同的解向量，若：】*2* 2 =(2,0,0,0)13：、*2=(2,4,6,8)T，则AX二b的通解 为_13._ 设A为 m n 矩阵，r(A)=r：mi n(m, n)，贝U AX = 0有_ 个解，有_个线性无关的解.三、计算题1.已知吓2。是齐次线性方程组AX =0的一个基

39、础解系，问21 仅9.设 A =23a +2,b =3,x = | X21a-2丿3 *1是否是该方程组的一个基础解系？为什么?48什么?x x 03.设四元齐次线性方程组为（I） : 1 2压_X4=01）求（I）的一个基础解系 2）如果 ki（0,1,1,0）T k2（-1,2,2,1）T是某齐次线性方程组（II ）的通解，问方程组（1）和（II ）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说 明理由。4.问a,b为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全参考答案_5433-11-1-2010、九012265-6001设 A =，B =3211-31-2100

40、1111 _-23-20一2.已知B的行向量都是线性方程组AX =0的解，试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为r-r，Z2 X2=:+ &3 + C2 -3区33. （C|, c2为任意实数）部解（用基础解系表示全部解）捲ax2怡=a1)5.X1X2bx3=42)-x1bx2x3二bI捲一x22x3= -4使它的全部解为6.设 A2139 -5 2 8 一，求4 2个矩阵B，使得AB = 0，且r （B） = 2。实用标准文档精彩文案一、 单项选择题1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C二、 填空题1. 100 2.k 一 2 且

41、k=33. 1 4. r 5. m 6. 77.k(1,1,|,1)T(k为任意实数)8. 09.a = -1 或 310.-111.012.(丄,0,0,0)Tk(0,2,3,4)T,k 任意实数13.无穷，n-r2三、 计算题1.是 2. 不能3. 1)v=(0,0,1,0)T,V2=(-1,1,0,1)丁2)k(-1,1,1,1)T(其中 k 为任意非零常数)4. 1 )当a=-2时，无解；当a = -2 且 a时有唯一解：(-,丄，口工)T；2+a 2+a 2 + a当a =1时有无穷多解：q(-1,1,0)T9(-1,0,1)丁 - (1,0,0)T(其中 c,c2为任意常数)2)

42、当b=-1时，无解；当b 1 且 b=4时有唯一解：(b(b 2),b匹上，一空)T；当b= 4时有无穷多解：b 1 b 1 b 1C(-3,-1,1)T(0,4,0)T(其中 c 为任意常数)505.9x15x2-3x3- -5实用标准文档r 10、0111/2 1/2 (5/2 1/2第五章 特征值与特征向量一、单项选择题巾0 1 1.设A = 0 10,则A的特征值是()。J0丿(a) -1,1,1(b) 0,1,1(c) -1,1,2 (d) 1,1,2q10 x2.设A= 10 1,则A的特征值是()。0 11(a)0,1,1(b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1

43、,13.设A为 n 阶方阵，A2=1,则()。(a)| A | = 1(b)A的特征根都是 1 (c)r(A)二n(d)A一定是对称阵4.若 x1, x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量，则 kjX-jk2x2也是A的特征向量的充分条件是()。(a)k0 且 k2=0 (b)k- 0 且 k2=0 (c)k1k0 (d)k-0 且 k2=05.若 n 阶方阵代B的特征值相同，则()。6.52(a)A二B(b)|A|=|B|(c)A与B相似(d)A与B合同6.设A为 n 阶可逆矩阵,，是A的特征值,则A*的特征根之一是()(a) | A|n(b)-J|A|(c)- |A|(d) |A

44、|n7.设 2 是非奇异阵A的一个特征值,则(! A2)J至少有一个特征值等于()。3(a) 4/3(b) 3/4(c) 1/2(d) 1/48.设 n 阶方阵A的每一行元素之和均为a(a = 0),则2AJ- E有一特征值为()。(a)a (b)2a(c)2a+1(d)9.矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量(a)线性相关(b)(c)两两相交(d)10.|AHB|是 n 阶矩阵A与B相似的()(a)充要条件(b)充分而非必要条件(c)必要而非充分条件(d)既不充分也不必要条件11.n 阶方阵A有 n 个不同的特征根是A与对角阵相似的()。(a)充要条件(b)充分而非必要条件(c)必要而非充分

45、条件(d)既不充分也不必要条件a厂0 0 0 012.设矩阵A =a 1 P与 B =0 1 0相似,则口的值分别为()J 01丿0 0 2丿(a) 0,0(b) 0,1(c) 1,0(d) 1,113. 设代B为相似的 n 阶方阵,则()0线性无关其和仍是特征向量实用标准文档(c)存在非奇异阵P,使PTAP=B(d)A与B有相同的特征向量精彩文案(a)存在非奇异阵P,使PAP = B(b)存在对角54(0 0 2,q 10、1 0 0 *r1 0 Pz20 0、(a)0 1 0(b)0 2 0(c)0 2 0(d)0 1 10 0 2丿0 0b17.下列说法不妥的是()(a) 因为特征向量是

46、非零向量，所以它所对应的特征向量非零(b) 属于一个特征值的向量也许只有一个(c)一个特征向量只能属于一个特征值(d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵18.若AL B，则下列结论错误的是()(a)丸 E A = B(b)A = B(c)存在可逆矩阵P，使PAP = B(d)trA =trB二、填空题(a)r(A) =n(b)A有 n 个不同的特征值(c)A有 n 个线性无关的特征向量(d)A必为对称阵15.若A相似于B,则()。(a)丸1 A = &I B(b)pj -Apd -B |(c)A及B与同一对角阵相似(d)A和B有相同的伴随矩阵“ 0 016.设A=0 10,则与A相似的矩阵是

47、()014.若 n 阶方阵A与某对角阵相似，则()0实用标准文档1.n 阶零矩阵的全部特征值为_ o2.设A为 n 阶方阵，且A2= I，则A的全部特征值为 _ o3.设A为 n 阶方阵，且Am=0(m 是自然数)，则A的特征值为_ 564.若A =A，则A的全部特征值为_。5.若方阵A与4I相似，则A =_ 。6.若 n 阶矩阵A有 n 个相应于特征值九的线性无关的特征向量，则 A =_ _7.设三阶矩阵A的特征值分别为-1,0,2,则行列式A2+ A + l =_ 。8.设二阶矩阵A满足A2-3A 2E =0，则A的特征值为_。9.特征值全为 1 的正交阵必是_ 阵。10. 若四阶矩阵A与

48、B相似，A的特征值为丄丄，则 B-E =。2 3 4 5-三、计算题1.若 n 阶方阵A的每一行元素之和都等于 a,试求A的一个特征值及该特征值 对应的一个特征向量.2.求非奇异矩阵P,使PAP为对角阵.(0,0,1)T,(1,1,0)T,(2,1,1)T,求矩阵A.2-121设A =5a3，有一个特征向量 =1C1b一2厂14.求a,b的值，并求出对应2 2 4 41313U31X31X2222y y-A若13.1)(21 )A=2)J 2 丿(1 1-2A= 1-31已知三阶方阵A的三个特征根为 1,1,2,其相应的特征向量依次为一一-y实用标准文档精彩文案331、5.设 A =t-22，

49、有一个特征向量。=-23sT于的特征值。求s,t的值58广001 设A= x 1 y有三个线性无关的特征向量，求J0 08.设三阶矩阵A的特征值为-1,2,5，矩阵B = 3A- A2，求(1)B 的特征值；(2)B可否对角化，若可对角化求出与B相似的对角阵;(3)求 B , A-3E(1)求 y ；(2) 求一个满足PAP二B的可逆阵P5-3 2、10.设A = 6-4 4,求A100.0一4 5四、证明题1.设A是非奇异阵,，是A的任一特征根,求证丄是A1的一个特征根,并且AA关于的特征向量也是A4关于1的特征向量.Z2.设A2=E,求证A的特征根只能是-1.3.设n阶方阵A与B中有一个是

50、非奇异的，求证矩阵AB相似于BA.广1 -11、2已知矩阵A =24-2与B =2相似,13 -351y9.x, y满足的条件6.7.求正交阵P,使PAP为对角阵，其中 A 二aba实用标准文档精彩文案4.证明：相似矩阵具有相同的特征值.5.设 n 阶矩阵A=E，如果r(A E) r(A-E)二n，证明：-1 是A的特征值。6.设AL B，证明AkL Bk。607.设_引，_：込是 n 阶矩阵A分别属于，-2的特征向量，且=人2，证明-：Jt2不 是A的特征向量。、单项选择题1.a 2.c 3.c 4.d 5.b 6.b 7.b 8.d 9.b 10.c 11.b 12.a13.a 14.c

51、15.b 16.b 17.a 18.a二、 填空题1.02.1,-13.04.0,15.4I6.I7.710.24 11.-17,-12三、 计算题1. a,(1,1|H ,1)第五章参考答案(-1rr12.(1)-211丿10-20、3.130J2b4.a =3,b =0,九=一15.11、7. P =运,P-AP11石丿1-31 122s = 9,t二-2, = -66.a+b 0 0 a -b8.1,29.单位实用标准文档8. (1)-4,2,-10 (2)2,(3)8r_1 119.(1)y=6,(2)特征值 2,2,6 ;p= 10 -231300 I100八rJ00J00100/、

52、3+2(2-1)2-2-33 - 1 !”c00I J00、 鼻J00r J00c100八10.2(2+3 )-44- 2 -232(3 -1)2(3-1)2(1 3)2 31,四. 证明题(略)62第六章 二次型、单项选择题1 . n 阶对称矩阵A正定的充分必要条件是()(c)负惯性指数为零(d)各阶顺序主子式为正2 .设A为 n 阶方阵，则下列结论正确的是( )。(a)A 必与一对角阵合同(b)若 A 的所有顺序主子式为正，则 A 正定(c)若 A 与正定阵 B 合同，贝UA 正定(d)若 A 与一对角阵相似，则 A 必与一对角阵合同3.设 A 为正定矩阵，则下列结论不正确的是()(b)A

53、正定(d)任给 X =化冬,川,灯 =0,均有XTAX 0)(b) A-1是正定阵；(d ) A AT是正定阵。)(b)ax by2cz(d)ax2bxy czx2(a)A 0(b)存在阶阵C,使A二CTC(a)A 可逆(c)A 的所有元素为正(a)A 的各阶顺序主子式为正;(c)A 的所有特征值均大于零；实用标准文档6.设 A、B 为 n 阶方阵，X=(XI,X2,|H,XJT且XTAX=XTBX则 A=B 的充要条 件是()。(a) r(A)=r(B)(b) A = A(c) BT= B(d) AT= A,BT= B,7.正定二次型 f (Xi,X2, X3,X4)的矩阵为 A,则()必成

54、立.000 q00000(b)0-10e0-be0230-212 3046(d)456-265789)(a).(c)(a)A 的所有顺序主子式为非负数(b)A 的所有特征值为非负数(c)A 的所有顺序主子式大于零(d)A 的所有特征值互不相同8 .设A, B为n阶则 A 与 B 合同.(b)存在 n 阶可逆矩阵P，且PAP =B(c)存在 n 阶正交矩阵Q，且 QAQ =B存在 n阶方阵(d)9.10.23 3 4G 0 0 1 1 r迢41(b)I2 6丿t(c)02-3(d)1 2 035 订0 211.A 的特征值可能是()F 列矩阵中是正定矩阵的为()(a)已知 A 是一个三阶实对称且

55、正定的矩阵，那么64(a)3, i, -1;(b)2, -1,3;(C)2,i, 4;(d)1,3, 4实用标准文档精彩文案二、填空题1.二次型 f（X1,X2,X3,） =XiX22X2X3x3的秩为_ 。2 .二次型 f （xx2） = xfx26X.,X23X2的矩阵为_。广10 4、3 . 设 A=2 2 0，则二次型 f =XTAX 的矩阵为_ 。卫0 34._若 f （x1,x2,x32x12x|xf2x1x2tx2x3正定，则 t 的取值范围是_5. 设 A 为 n 阶负定矩阵，则对任何 X =（为山2,11）,焉）丁 = 0 均有XTAX_6._ 任何一个二次型的矩阵都能与一个对角阵 _ 。1 107.设 A =1 a0是正定矩阵，则 a 满足条件W 02a8._ 设实二次型 f (x1,x2,