求展开式系数的六种常见类型

1、求展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一, 本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。、( d +b)" ( H G ?/*) 型例仁 (x-V2y) ， (， 的展开式中X、 4项的系数是()(A) 840(B) -840(C) 210(D) -210解析：在通项公式7； +i =C ; o(-Ay)rx' 0中令-4,即得(一7?少中的展 开式中X、项的系数为U(二 840,故选 Ao例2.( 一，)s展开式中P的系数为 oQx解析：通项公式g = CAr(Y = (-iYC ; XAr,由题意得8-|r = 5

2、,则 r = 2, 故所求 F 的系数为(-1)2C；=28O评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定厂的值。二、 (a + b) n ±(c + J) m(n,rneN*) 型21例3.(/E二)4+(x+的展开式中整理后的常数项等于 ?XX解析 ; (x3 - 分的通项公式为匚严C； (-) r(x3)4-r = C： (-, 令xX12-4 = 0, 贝 ljr = 3, 这时得(x3-)4的展开式中的常数项为-C： 2- 32,(X + -r的通项公式为人+严C； (-/产"包扛,令8 _ 2k = 0,贝1 “= 4这时得 XX

3、(X + k的展开式中的常数项为 C:二70,故(x3-)4+(x + l)s的展开式中常数项XX X等于 - 32 + 70 = 38 。word例4?在(l-x)5-(l-x)6的展开式中，含的项的系数是(A) 5(B) 5(C) 10(D) 10解析：(1-x)5中/£的系数一c； =_10,-(1-x)6中卫的系数为-C： ? (-1)3 = 20,故(17)5 - (17)6的展开式中P的系数为10,故选D。评注：求型如(a + b)" (±c + ) M(mM) 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。3、 ( d

4、 + b)"(c + d)"'( ”,? wN*) 型例5. (x2+1Xx-2)7的展开式中*项的系数是 o解析：(x-2)7的展开式中久、/£的系数分别为C； (_2)6和C； (-2)；故(X2+1)(X-2)7 的展开式中项的系数为 C*(-2) 6 + CA(-2) 4=1008 O例6? (x-l)(x + l) 8的展开式中丘的系数是()(A ) -14(B ) 14(C ) -28(D)28略解：(X+l)8的展开式中X5的系数分别为c;和C;,故(x-l)(x+l)8展开式中X5的系数为C：-C；= 14 , 故选 Bo评注：求型如(a

5、+ b)"(c + )” U， iN? )的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。4、 (a + b + c)n(n e AV*) 型例7.(三+，+血)5的展开式中整理后的常数项为2 x解法一：(三+，+血)5二(兰+，)+血，通项公式：严C： 2珂兰+，严,2“-5 ,令(三 +，严的通项公式为 Tr+=CikX-rx5-k-r2-5k-r2 x5 2 厂一£=0,贝 U + 2r = 5,可得 R = 1 " =或 k = 3 " =侦 k = 5当k = ,r = 2 时，得展开式中项为 c； C： 2%-2=

6、¥ ；乙当R =3 “ = 1时，得展开式中项为g2近=20近；;word当£5 J =0时，得展开式中项为C: 4迈=4近。综上，(三+，+血)5的展开式中整理后的常数项为虫+ 20血+4血=也。2 x22解法二：(三+，+厨二(x2+2 屈+2，二b+vy=( "弓。对于二 2 x 2x (2x)5(2x)5项式(x +血严中，7; .+1=八。要得到常数项需10-r = 5,即厂=5。所 以，常数项为c ； ( > ?(茫尸=空1。25 2解法三：(三+，+血)5是5个三项式(-+ 1 + V2)相乘。常数项的产生有三2 x2 x种情况：在5个相乘的三

7、项式(-+ 1 + V2)中，从其中一个取，从另外4个三2 x2项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得XC* ?±? C： ?& ?(?)=20血；从其中两个取，从另外3个三项式中选两个取，22x从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得 C；近=匕迈；从5个相乙乙乘的三项式(-+ - +八2)中取常数项相乘，可得C; ?册=4忑。2 x综上，(三+，+血)5的展开式中整理后的常数项为2 x2。后陛+ "3。2 2评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项 式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法 原

8、理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五、(a+b)m+ (a + b)m+ 4-? 4-(a+b)n(m,neN<m<n)型例8.在(1 + X) + (1 + x)2+-4-(14- X)6的展开式中，项的系数是 。(用数字作答)解析：由题意得项的系数为C； + C; + Cj + C； + C = 35 o例9?在(1 -x) 54- (1 -x) 6+ (1 -x) 74- (1 -x) 8的展开式中,含x的项的系数 是()(A) 74(B) 121(C) -74(D) -121解析：(1 - x)5 +(1- %)6 +(1- %)7 +(1-8 二(一(1

9、 小=(1 a)5(l?X l-(l-x)x(1-x)5 中 F 的系数为 C; =5,-(1-x) 9 中/的系数为一 c； =-126, 126+5 二一 121，故选Do评注：例8的解法是先求出各展开式中/项的系数，然后再相加；例9则 从 整体出发，把原式看作首相为(1-%)5,公比为(1-x)的等比数列的前4项和，用等比数 列求和公式减少项数，简化了运算。例 8和例9的解答方法是求(a + b)m + (a + b)m+l +? + (" + b) n(m,neNl<m<n)的展开式中某特定项系数的两种常规方法。六、求展开式中若干项系数的和或差例 10.若(1 2

10、x)JX>4 = a。+ atx + Ct 2x +. 十 八2004-八(x e R),则(a。+ 绚)+ So+ “)+(a0+ 7+ - +(5 + o 2004 ) =。(用数字作答)解析：在(1-2A)2,X>4 = a0 +ax + a 以2 +. + a 2W)ixM 中,令 x = 0,则 a。= 1,令x = 1,贝0 +q+d2+a3+-+o2?04 = (-1)2<>"4= 1故(“0 + 5 ) +(+) +(q +“)+( “O =2003 a0 + 5+4 + + + + 2(x)4 = 2004。例 11. (2x+J5)4 =a

11、0+ax+&x24-Ax3+&x4、贝U(a。 +a2 +a4)2 -(a t +a3)2 的值为()(A) 1(B) -1(0 0(D) 2解析：在(2x4->/3) 4 = a() AcAx+cAx 2 + 03 JE +5 JE 中、令 x = 1,可得 5 +q +a2 +a3 +a4 = (2 + >/3)4,令 x = -1,可得 ci 0_q + “2 + 5 = (2 - A/3)4所以，(“0 + "2 + 4 )- - (al + )-二(“0 +d2 + "4 + "1 + 3)( “0 +2 +"4 3 )二(tzo + a + ai + CI3 + 4 )(a () - " + ci?> a、 + ci (2 + a/3) 4 (2 1,选 Ao评注：求展开式中若干项系数的和或差常