求值域的10种方法

1、求函数值域的十种方法一 直接5去(观察5去)：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1 .求函数丫 =.X 1的值域。【解析】.、X_0,、. X1_1 ,-函数丫=丫茨-1的值域为1,：)。【练习】1 .求下列函数的值域： y =3x2(1 - X_1)； f (X)=2、4 X ；X2 y= ；s)y = (x_1)-1, XE (_1,o,1,2hX+1【参考答案】1,5:2,：)：(一：，1)11(1,： : ); -1,0,3)。二.酉己方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如2F (XnaF(X) bf (X) C的函数的值域问题，均可使用配方法。例

2、2 -求函数y = -X 4X2( X, -1,1)的值域。【解析】y = -X2 4x 2 = -(x2产6。 , 一 1 乞 X 乞 1 , £ 乞 X 21 , 1 乞(x2)2 乞 9 , 一 3 空一(x 2产 6 空 5 , ,3乞y冬5。2.函数 y = -X 4x2(-1,1)的值域为-3,5。例3 .求函数y =2_J_X2 + 4X(XE 0,4 )的值域。【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：f(x) = -X2 4x(f (x) _0)配方得：f(x) = -(x-2)2 - 4(x-。4)利用二次函数的相关知识得f(x)- 0,4 I

3、从而得出：y 0,2 K说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：f(x) - 0。例4 若X 2y =4, X 0, y 0 ,试求lg x lg y的最大值。【分析与解】本题可看成第一象限内动点 P（x,y）在直线X 2八4上滑动时函数Igx - lg y = lg Xy的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2X (0,4), y (0,2),而 lg Xlgy=lgXy = I gy(4 - 2y) = lg -2(y -1)2，y=i 时x。y 取最大值 lg 2。【练习】2 .求下列函数的最大值、最小值

4、与值域：© y -4X 1 ；(2)y=x 4x 1,x=3,4；(3)y = x - 4x 1, X ： = 0,1; y = x2-4x1,X 三0,5 ；© A xj: y X2-2X3。73【参考答案】-3,：-2,1:-2,1 ： -3,6:6:0,24三.反函数，去：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于其它易反解出自变量的函数 类型。2x例5 .求函数y的值域。X + 1分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出X，从而便于求出反函数。2

5、xr反解得故函数的值域为（-：,2） U （2, 二）。【练习】2x +31 .求函数y的值域。3x2ax q bd2 .求函数丫=, c = 0, X的值域。ex +d IC）22aa【参考答案】l. L3）% ； ） ； LVUQ T。四.分离变量法：适用类型1:分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。第12页共12页1 _X例6：求函数y的值(2Xil-x_ y2225)2x5-0，2x52x52 2x51 X1y的值域为 yIy )。2x52适用类型2:分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为y = k 二 f (x)(k 为常

6、数）的形式。2例7 :求函数丫= 3*X*的值域o分析与解：观察分子、分母中均含有X2 _ X项，可利用分离变量法；贝u有x2-xX2-x 1X2X 1X2-x 1=1一不妨令：f（x）=（x-j）2 234, g(x)13(f(x) = 0)从而 f(x)一,:。f(X)_4注意：在本题中若出现应排除f （X） = O ,因为f（X）作为分母所以g（x） 八1】、y 二，1。另解：观察知道本题中分子较为简单，可令X2 -X1,=1 ;-21 2V V，求出t的值域，进而可得到值域。【练习】2的值域。2x 2x3X2X1【参考答案】L （2,吗 3五、换元，去：对于解析式中含有根式或者函数解析

7、式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例&求函数y =2x - -.1 -2x的值域-0),贝UX= y = 12tl =-(1一122)"5 解：令 t =t1 2X (t -4r 1355T当t ,即X时 ，ymax，无最小值。函数y=2x： 1-2X的值域为(:,。284,4例9 :求函数y=X.2 J(X1)2的值域。解：因 1 -(x 1)A0，即(X-1)2 乞 1。故可令 八二CoS -，-0,二， y = C

8、0Sy1 .)1-cos2 ： =Sin > COSy 1 - 2sin( ： )1。1， 0_、2sin() 1 _144ii5t0 一 ： i,- < sin(44 42故所求函数的值域为。,1 +逅。3例10,求函数 x -X的值X4 2X2 1域 °解：原函数可变形为：1 2X 1-X2一一一一一一一一一一一一一一 一一一2 1 X2 1 X2可令X八则有务二J件十二贰1 1Sip| A COS ASi当b ="_±时，y2 8max当，时，y28mm而此时tan有意义。故所求函数的值域为L_L"1 44j,的值域。IL122例 11

9、.求函数y=(SinX1)(CoSXAl), X解：y = (SinX1)(cosX1)=Sin XCosx Sinx CoSX 1令 SinxCoSX=t，则 %XCOS_2(t2 I)由 t =Sin X cos X 2 Sin( x )当, 时y 1=72 max故所求函数的值域为一35 C|42 *2 *例12 ,求函数y =X+4+的值域。解：由5-X2 _0，可得I X |乞,5故可令X i 5 COS八J0,二y =、5 cos ：4、5 sin ： =10 sin() 4当 T 时，ymax =44当：二二时 »min =4_ 5故所求函数的值域为：4 -'.

10、5, 4 .10六、判另U式，去：把函数转化成关于X的二次方程F (x,y) =O ;通过方程有实数根，判别式乙'_0,从而求得原函数的值域，形如y r -(、a2不同时为零)的函数的值域，常用此方a?X +bzX+Q法求解。例13 :求函数x-x T解：由 v X 灯变形得(y -t)x2 -(y -T)x y -3 = 0 ,y 2Y Y q 1当y二T时，此方程无解；2当 y -1 时，X R ,=(y-t)2 4(y1)(y3)_0 ,H11解得 1 _y，又 y =1 5 1 ： ： ： y_33.函数江 的值域为y |1 ： 丫乞#X2-X 1七、函数的单调性，去：确定函数

11、在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性，求出函数的值 域。例14:求函数y = X - 1 -2x的值域。解：t当X增大时，1 -2x随X的增大而减少，-11 -2x随X的增大而增大，1函数y=x，1-2x在定义域(：上是增函数。1 -1 -y 1-22、2 21函数y = x-, 1-2x的值域为(-：,。2例15 .求函数百的值域。解：原函数可化为：y =dx +1 +Jx -1令丫 =4+1。？=小丁，显然力诙在1,叼上为无上界的增函数所以y=，+y2在1AC上也为无上界的增函数2242y21sin x(x ： ) =3y即 sin x(x + B) = xW RSin X(X I)即

12、一 1 “：；3y_j解得：4故函数的值域为注：该题还可以使用数形结合法。例18 :求函数 上&的值域。1 2X-Ur近拒i一彳一COSX COSX0Sin X3 Sinx3，利用直线的斜率解题。所以当X=1时，y = y丫2有最小值,2，原函数有最大值显然y>o，故原函数的值域为(。,但适用类型2 :用于求复合函数的值域或最值。(原理：同增异减)2例16 :求函数y = log2 (4x-X )的值域。2分析与解：由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成，故可令：t (x) - -X2 - 4x (t (x) _0)配方得：t (x八-(X-2)4

13、所以t (x) (0,4)由复合函数的单调性(同增异减)知：y三卜2,)。八、利用有界性- 一般用于三角函数型，即利用 Sin 1,1,CoSXE卜1刀等。COSX例17 :求函数讨三的值域。Sin X -3解：由原函数式可得：ysin cos X- 3y，可化为：解：由y二匕2x解得2乂 =-、1+2X1 +y12xo，e o ,1 ,函数行一的值域为词(-1,1)。九、图像，去(数形结合法)：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例19 :求函数y=|X-3- IX -51的值域。-2x 2 （

14、x ： -3）解： y =|x 3| |x -5|二 8（一 3 乞 x ：5）,2x-2 （x_5） y Hx3| |x -5|的图像如图所示，由图像知:函数y =|x -3| - |x5|的值域为8, :：)例20.求函数y厂22 厂87的值域。BPI胡解：原函数可化简得：y= I X-2 I - I X-8上式可以看成数轴上点P (X)到定点A ( 2), B8)间的距离之和。由上图可知,当点P在线段AB上时，y = X-2|*|x- 8|=| AB |=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=|x_2|-|X-8|AB10故所求函数的值域为：10,烟例二求函数厂X2二6x、3

15、XA4八5的值域。解：原函数可变形为：YfX-3)2(0-2产.(X2)2(0 1)2上式可看成X轴上的点P(xQ)到两定点A(3,2), BG2, T)的距离之和，由图可知当点P为线段与X轴的交点时,ymin=IAB I(3 2)2 (2 1)A ,43 ,第18页共12页故所求函数的值域为W43,图1。3,2)xG2r-1)例22.求函数y =, X2.6x13f2 4x5的值域。解:将函数变形为：y =(X 3)2 (0 2)2 . (X 2)2 - (0 -1 )2上式可看成定点A( 3，2)到点P(X，0)的距离与定点B2,1)到点P(xQ)的距离之差。即：y=| AP | |BPI

16、由图可知：(1)当点P在X轴上且不是直线AB与X轴的交点时，如点*则构成：abp',根据三角 形两边之差小于第三边，有|AP，|BP1|： ： ： |AB | =4(3 2产(2-1产*26即：.26 ： ： y-26(2)当点P恰好为直线AB与X轴的交点时,有| AP | | BP |=| AB "、： 26综上所述，可知函数的值域为：(J26, J26例23、：求函数y =2- COSXk =将原分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式函数视 X2- x/为定点(2，3)到动点(cosx,sinx)的斜率，又知动点(COSX,Sin x)满

17、足单位圆的方程，从而问题就转 化为求点(2，3)至U单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而 解得：3点评：本题从函数本身的形式入手，弓I入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。例24 .求函数y= 1-X.J X的值域。分析与解答：令 U = 1 X , V=.1x ,则 UO5v_O , u2 vA2 , UAy,原问题转化为：当直线U*v = y与圆， 丫2 =2在直角坐标系UoV的第一象限有公共点时，求直线的截距的取 值范围。由图1知：当U V =y经过点(0,2)时，ymm = .2 ;当直线与圆相切时, ymax= OD = J20C

18、 = (J2 2 = 2 o所以：值域为12乞y乞2V十:不等式法:利用基本不等式a A2.ab,a b A330bC(a,b,c R )，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平 方等技巧。例 25.求函数 y = (sinx -)2 (cosx 1j2 - 4 的值域。Sin Xcosx解：原函数变形为：y = (Sin2 X cos2 x)2cos X1SinX22=1 CeS X SeC X=3 tan2 X cot2 X-3 2 tan2 xcot2 X=5当且仅当tan X=COtX即当X = k一时(k-Z)，等号成立 4故原函数的值域为：54田)例26.求函数y = 2sin XSin 2x的值域。解：y