反对称张量在N维空间中的几何意义

1、反对称 X 量在 N 维空间中的几何意义By wxy目录 推广的猜测、通过平面构造二阶 X 量 面量的根本性质 面量的模 单位面量面量的“方向、意义 面量的“点乘 构造四维二阶 X 量 四维空间中平面间的位置关系 射影面积定理推广 四维空间中平面间的夹角位置术语 高维空间“叉乘推广 向量间的叉乘：求法平面 标量与面量间的叉乘：求平面的法平面 叉乘与点乘的关系 1 标量与标量间的叉乘：得置换 X 量 面量与面量间的叉乘：得标量 面量与面量间的叉乘的几何意义 叉乘与点乘的关系2面量与奇异面量面量之和有意义的条件面量与向量的叉积：得到向量 推广的猜测、通过平面构造二阶 X量X量是向量的推广。在N维空

2、间中向量有N个分量，而X量那么有N的阶数次方个分量。 因为X量、向量在欧氏空间中具有平移不变性，所以我们干脆只讨论已经平移到坐标原点的X量。标量0阶X量可以表示N维空间中有“大小、“正负的原点；向量一阶X量可以表示N维空间中过原点的一条有方向有“大小'长度的直线；由前面的例子我们希望二阶X量能代表有“大小有“方向的过原点的平面，但我们该 怎么来具体表示呢？让我们先从我们已经熟知的表示方法开场。两个在平面内的不共线线性独立的基底 a (x,乙禹,)、b (x2,y2,z2,t2,.)，我们怎 样表示这个平面？n维空间中最一般的平面表示方法是p a b。但这个式子实际上是个极其简陋原始的方

3、 程组，用起来不方便，我们平时熟知的在三维空间中表示平面的方法是表示它的法向量，即 n a b,但这条路在四维空间中走不通。因为四维空间中与平面完全绝对垂直的也是平面！“绝对垂直即在两平面中各取任意一条直线，它们都垂直，详见后面“四维空间中平面间的位置关系。我们希望二阶X量能表示“大小，即a和b间围成的平行四边形的“面积， 我们假定面积也能正交分解，投影。考察任意一个坐标面如 xOy平面，a和b间围成的平行四 边形的面积在这个坐标面的投影为 x2 X2%，我们可以构造一个X量F，使Fi,j aibj biaj， 即F a b a b。为了方便，我们记ab a b a b。正反并矢积之差面量的根

4、本性质面量的模X量F即表示向量a和b所决定的平面，我们称F为“面量，记为“ F 。三维空间中:0exyexz0X”2 丫兀X1z2NX20zyn (x, y,z)，Fexy0eyz=%X2X20%Z2 阴2z0X 0我们exzeyz0Z1X2X1Z2%Z2 铝0yX0这样定义的所有面量都是反对称X 量,面量的模为基向量a和b间平行四边形的面积，即F Jx2 y2 z2。注意F既不等于det(F)，也不是F中每项元素的平方和开方，而是 F中每 项元素的平方和除以2再开方，那是因为二阶反对称 X量有一半的项只相差了正负号，而本质 上是重复的，在计算时我们其实只需要一半的数据，故用2除去。面量的加法

5、就是对应项相加单位面量0 1000100 0我们记单位面量Exy100 ,Exz000 ,Eyz001，那么任意一个面量都能写0 001 0001 0成aExy bExz cEyz的形式三维空间中反对称 X量都能对应平面，但在四维空间中并不是每个反对称X量都是面量，详见后面高维空间叉乘推广。面量的“方向、意义0 10010设基底 a (1,0,0)、b (0,1,0)，那么 ab=EXy1 00，而 ba1 00ab= EXy Eyx0 00000我们可以这样理解Exy和Eyx间的关系：它们都表示xOy平面面积为1的面量，但一个是顺时针，一个是逆时针。即一个面量不仅表示了过原点的平面和它的大小

6、面积，还表示了一种旋转的方向。易知：两个非零面量 A,B，A,B表示的过原点的平面一样A kB(k R,k 0)。虽然面量的大小代外表积，但它不储存任何形状信息，所以我们不能规定面量代表的具体形状，它 代表一个面积大小为面量的模的大小的任意一个有旋转方向的图形 面量的“点乘"规定两面量间的点乘：F G FjGj/2，即对应项积之和除以二。除以二的原因也一样：去掉反对称X量重复的分量。规定cos F ,G，不难证明F, G为F , G所表示的两平面的夹角一面量在另一面量上投影的旋转的方向与另一面量旋转方向一样为锐角，相反为钝角。点乘满足乘法分配率F (G H) F G F H点乘用同样

7、的定义，但FGF G却不是简单的两面量间夹角余弦值了。要解释清楚四维面量间的构造四维二阶X量0exyexzext0eyzeyt由Fxyyz易知，任意一个面量都能写成aExy bExz cExt d Eyz eEyt f Extexzeyz0eztyyyexteytezt0的形式。但并不是每个四维反对称X量都是面量，详见后面高维空间叉乘推广两面量间的点乘的几何意义，我们首先得搞清四维空间中平面间的位置关系四维空间中平面间的位置关系共胞共重合无数交点三维空平行无交点，平移后可重合间相交有一条交线一般的二面角2mBA2m异胞共点只有一个公共点相离不平行无交点，平移后可共点或相交四维空间中平面A、B间

8、的角度关系需要用两个参数描述。我们在一个平面 A（或B）上取遍所有 直线m, m与B（或 A）间所夹的线面角会有一个最大值 i和最小值2。线面角取最大值时的直线 m与线面角取最小值时的直线 m'相互垂直。射影面积定理推广三维空间中的射影面积定理在四维空间中同样成立，只是正方形面积元投影时两边在夹角 最大值方向和最小值方向上都要乘上角度的余弦值导致面积变为原来COS 4 COS 2倍。而数量积本质是一个面量乘以另一个面量在它上面的投影，所以我们得到四维空间面量间的点乘的几何 意义：F G = F G COS F,G max COS F,G min。而当两个平面共胞时最小角为2= 0它们的

9、交线方向为最小角方向，最大角为它们的二面角二面角的平面角的边方向垂直于它们的交 线，即最大角方向，COS 4COS 2 =COS 4 COS0=COS 4，此时退化为三维空间中的射影面积定理。四维空间中平面间的夹角位置术语平行绝对平行：1= 2=0；即两平面通过平移能真正完全重合。二面垂直半平行半垂直：1 = ,2=0；即两平面通过平移能形成直二面角2绝对垂直:1= 2=；即两平面中任意直线均相互垂直。2共胞共三维空间、半平行、成二面角：2=0；两平面中存在直线相互平行 半垂直：i=；两平面中存在直线垂直于另一平面。2等角：1= 2；两平面中任意直线与另一平面所成线面角为一定值。高维空间“叉乘

10、推广三维空间中两向量叉乘得到的新向量是原来两向量所决定的平面的法向量。而在四维空间 中两向量叉乘得到的是新的二阶X量一一是原来两向量所决定的平面的法平面！我们可以类推 到N维空间中m阶X量叉乘n阶X量：得到的是一个表示原来两 X量所决定的空间的法空间 的N (m n)阶X量，因为原来两 X量所决定的空间的维数为 m n,而法空间的维数为N (m n)。ab.ijkl.rstu. yzN个Bkl.rse tu.yzn个N (m n)个m! n!&为置换符号这个新X量的模为原来两X量所围成的平行多胞体的体积，且新X量的方向符合右手螺旋 定那么。这些高阶X量仍是反对称X量交换角标置换符号反号

11、所致。所有叉乘都满足乘法 分配率向量间的叉乘：求法平面易证：abba。0ztytyzzt0xtxzytxt0xyyzxzxy0ai bj ijkl 命其展开式为:这里为了简便，我们把 x°2 yiX2简单记作xy，其余同理 标量与面量间的叉乘：求平面的法平面NN (N 1)Nj jklekl/(2!)由于标量不占置换符号角标上的位置，所以标量位置变动不变号。叉乘与点乘的关系1将式子展开可证：a b ab 1 o这个式子的意义是两向量的叉乘等于两向量所决定的平面的法 平面面量。这个式子在N维空间中均成立如三维空间两向量的叉乘等于两向量所决定的平面的法向量标量与标量间的叉乘:得置换X量在

12、我们的印象当中，11=1 1=1，这是雷打不动的 真理。但在我 们规定的叉乘运算中,=(1 1)=ijkl ejkl。面量与面量间的叉乘：得标量 两面量间的叉乘为两面量所围成四维图形的“四维体积，且“四维体积的正负服从右手定那么即置换符号。两面量所围成四维图形即两面量代表图形的的直积图形。这个图形体积与 两面量代表图形选取的形状无关，只与两面量代表图形的面积有关。易证：A B BA。即满足正交换律！因为面量占两个置换符号的位置，这种交换被抵消，不变号。面量与面量间的叉乘的几何意义 通过求两面量间的叉乘为两面量所围成四维图形假设为平行八胞体的“四维体积我们可 计算出两面量对应平面间的夹角关系。为

13、了方便，我们选两面量代表图形为两条边平行于两平 面间最大角和最小角方向的单位正方形。 平行八胞体四维体积V4 v3h。V3指平行八胞体中任意一个平行六面体胞的三维体积,H为这个胞在平行八胞体中所对应的高。 而V3 Sh。由几何关系：假设H msin 1，Bsin A, B max sinA BcosA,B max cos那么 h m'sin 2A,BA,Bminmin联立式子1 2可计算任意两平面间夹角1和2HBA叉乘与点乘的关系2将式子展开可证：A B (AB) 1=(B 1) A (1 A) B (A 1) B。这有点像向量混合积的类比,但由于标量不占置换符号，二阶 X量占偶数个，

14、所以随便交换不变号。根据面量叉乘的几何意义，一个面量自身的叉乘应为0xyxzxt0ztxy0yzytzt0F F F (1 F)xzyz0ztytxtxtytzt0yzxzdet(F) (xy zt xz yt0xyxzxt0。设一面量Fxy0yzytJxzyz0ztxtytzt0ytyzxtxz=xy ztxz ytyzxt=0。而0xyxy0X量行列式值都为0。我们称yz xt)2=(F F)2，显然不是所有反对称行列式不为零的反对称X量为奇异面量。任意一个奇异面量都能写成两个面量的和面量之和有意义的条件 设F,G为两个非奇异面量，即F F=0,G G=0。而F G的奇异性那么通过下式表达

15、:G非奇异的充要条件为(F G)(F G) = F F F G G F G G 2F G。故可得 FF G=0。即两面量共胞。所以四维空间中只有共胞面量相加才有意义面量与向量的叉积：得到向量面量与向量的叉积得面量与向量决定的三维空间胞的法向量，模为围成的平行六面体F a F sin体积。几何意义：丨1 这里的 是平面与向量的线面角，只有一个。混合积与点积的推广面量与向量的叉积代原始公式计算麻烦，下面给出化简式：F a (F a) 1=(1 F) a但新问题又来了： 1 F是二阶X量，a是一阶X量向量我们得规定两不同阶向量间的点乘运算。为了使化简式成立，我们先看化简式左边，先硬性展开。设0xyxzxtxy0yzytxzyz0ztxtytzt0a (x,y,z,t)，那么 Fyztyt zzt yxz txt zzt xxy txt yyt xxy zxz yyz x竖着写是为了书写方便a再整理一下得0 xzt yyt zyztzt x0 yxt zxz tyt xxt y0 zxy tyz x