高中数学课件精选--随机变量的方差1

1、2.3.22.3.2离散性离散性随机变量的方差随机变量的方差温故而知新温故而知新1、离散型随机变量、离散型随机变量 X 的的均值均值（数学期望）（数学期望）1niiiEXx p2、均值的性质、均值的性质()E aXbaEXb3、两种特殊分布的均值、两种特殊分布的均值（1）若随机变量若随机变量X服从两点分布，则服从两点分布，则EXp（2）若若 ，则，则( , )XB n pEXnp反映了离散型随机变量取值的反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平.二、探究二、探究要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标

2、靶的环数根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数 的分布列为的分布列为1X1XP56789100.030.090.200.310.270.10第二名同学击中目标靶的环数第二名同学击中目标靶的环数 的分布列为的分布列为2X2XP567890.010.050.200.410.33请问应该派哪名同学参赛？请问应该派哪名同学参赛？1,EX 2EX 88发现两个均值相等发现两个均值相等因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.（一）、随机变量的方差（一）、随机变量的方差（1）分别画出分别画出 的分布列图的分布列图.12,XXO5 6 71098P1X0.

3、10.20.30.40.5O5 6 798P2X0.10.20.30.40.5（2）比较两个分布列图形，哪一名同学比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？的成绩更稳定？ 除平均中靶环数以外，还有其他除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？刻画两名同学各自射击特点的指标吗？1 1、定性分析、定性分析第二名同学的成绩更稳定第二名同学的成绩更稳定2 2、定量分析、定量分析怎样定量刻画随机变量的稳怎样定量刻画随机变量的稳定性？定性？样本的稳定性是用哪个量刻画样本的稳定性是用哪个量刻画的？的？方差方差方差反映了这组方差反映了这组数据的波动情况数据的波动情况 在一组数：在一组数：

4、x1 1, ,x2 2 , , ,xn 中，各数据的中，各数据的平均数为平均数为 ，则这组数据的方差为：，则这组数据的方差为：x 222212211()()() 1nniiSxxxxxxnxxn 类似于这个概念类似于这个概念, ,我们可以定义随机变量的方差我们可以定义随机变量的方差 复习复习 离散型离散型随机变量取值的方差和标准差随机变量取值的方差和标准差: :22211()()()iinnDxEpxEpxEp 则称则称为随机变量为随机变量 的方差的方差. .21()niiixEp 一般地一般地, ,若离散型随机变量若离散型随机变量 的概率分布列为：的概率分布列为：P1xix2x1p2pipn

5、xnp 称称D 为随机变量为随机变量 的标准差的标准差. . 定义定义 2()即DE 22()EE3 3、对方差的几点说明、对方差的几点说明（1 1）随机变量的方差和标准差都反映了随机随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值变量取值偏离于均值的平均程度偏离于均值的平均程度. .方差或标准差方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小. .（2 2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？区别？随机变量的方差是常数随机变量的方差是常数，而，而样本的方差样本的方差是随是随着样本的不同而着样本的不同而变化变化的，

6、因此样本的方差是的，因此样本的方差是随机变量随机变量. .对于简单随机样本，随着样本容量的增加，对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此样本方差越来越接近总体方差，因此常用样常用样本方差来估计总体方差本方差来估计总体方差. . 1. 已知随机变量已知随机变量x的分布列的分布列x01234P0.10.20.40.20.1求求D 和和 . 0 0.1 1 0.22 0.43 0.24 0.12E 解：解：22222(02)0.1 (12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.11.2D 1.21.095D2. 若随机变量若随机变量x 满足满足P（xc）1，其中

7、，其中c为常数，为常数，求求Ex 和和 Dx.Exc1cDx（cc）210 练习练习 结论结论1： 则则 ; ;,ab 若若EaEb 结论结论2：若：若B(n，p)，则，则E= np.2()则 D aba D 2( ,)1若，则（)B n pDnpp 结论结论 1,若ab（3）若若 服从两点分布，则服从两点分布，则(1)Dpp结论结论3：若若 服从两点分布，则服从两点分布，则Ep1.已知随机变量已知随机变量x的分布列，则的分布列，则Ex与与Dx的值为的值为( ) (A) 0.6和和0.7 (B)1.7和和0.3 (C) 0.3和和0.7 (D)1.7和和0.212.已知已知xB(100,0.5

8、),则则Ex=_,Dx=_, x=_. E(2x-1)=_, D(2x-1)=_, (2x-1)=_ 12P0.30.7D5025599100103、有一批数量很大的商品，其中次品占、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现，现从中任意地连续取出从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为件商品，设其次品数为X，求，求EX和和DX.2，1.98 练习练习 4.若随机变量若随机变量 服从二项分布，且服从二项分布，且E =6， D =4,则此二项分布则此二项分布是是 。设设二项分布为二项分布为 B(n,p) ,则则E =np=6D =np(1-p)=4n=18p=1/3 试比较两名射手的射击水平试比

9、较两名射手的射击水平.如果其他对手的如果其他对手的射击成绩都在射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪环左右，应派哪一名选手参赛？一名选手参赛？ 例例1 1、已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，、已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数所得环数x x1 1、x x2 2的分布列如下：的分布列如下：x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4 如果对手如果对手在在8环左右环左右,派派甲甲. 如果对手如果对手在在9 9环左右环左右, ,派派乙乙. .例例2 2随机抛掷一枚质地均

10、匀的骰子随机抛掷一枚质地均匀的骰子, ,求求向上一面的点数的均值、方差和标准差向上一面的点数的均值、方差和标准差. .解：抛掷散子所得点数解：抛掷散子所得点数X X 的分布列为的分布列为161616161616P6 65 54 43 32 21 1X1111111234563.5666666EX 2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5)2.9266DX 从而从而;1.71XDX.还还有有解解法法不？不？例例3:3:有甲乙两个单位都愿意聘用你有甲乙两个单位都愿意聘用你, ,而你能而你能获得如下信息：获得如下信息：甲单位不

11、同职位月工资甲单位不同职位月工资X1/元元1200140016001800获得相应职位的概率获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概率获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解：1400,140021 EXEX112000,4000021 DXDX 因为因为 ，所以两家单位的工资均，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单

12、位不同职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位的工资职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位差距大一些，就选择乙单位1212,EXEXDXDX小结小结2、求离散型随机变量、求离散型随机变量X的方差、标准差的一般的方差、标准差的一般步骤：步骤： X根据方差、标准差的定义求出根据方差、标准差的定义求出 DX理解理解X 的意义，写出的意义，写出X 可能取的全部值；可能取的全部值；求求X X取各个值的概率，写出分布列；取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义

13、求出根据分布列，由期望的定义求出 EXEX； 1、熟记方差计算公式、熟记方差计算公式21()niiiDXxEXp2()E XEX22()EXEX5 5、对于两个随机变量、对于两个随机变量 和和 在在 与与 相等或等或很接近时，比较很接近时，比较 和和 ，可以确定哪个随，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要的需要.1X2X1EX2EX1D X2D X4 4、掌握方差的线性变化性质、掌握方差的线性变化性质2()D aXba DX3、能熟练地直接运用两个特殊分布的、能熟练地直接运用两个特殊分布的方差公式方差公式（1 1）若）若 X X

14、服从两点分布，则服从两点分布，则(1)DXpp（2）若若 ，则，则 ( , )XB n p(1)DXnpp课本第课本第68页习题页习题2.3 A组第组第1，5题题课后作业课后作业补充作业：一厂家向用户提供的一箱产品共补充作业：一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就

15、立即停止抽检，并且用户拒绝接收这次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品箱产品(1)若这箱产品被用户接收的概率是若这箱产品被用户接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的条件下，记抽检的产品件数为的条件下，记抽检的产品件数为X，求，求X的分布列和的分布列和数学期望数学期望机动练习机动练习117100.8 ppnBX,n1.6,DX8,EX),(1则则，、已知、已知 DD则则，且，且、已知、已知,138132 3. 3.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现出现1 1，你赢，你赢8 8元；出现元；出现2 2或或3 3或或4 4，你输，

16、你输3 3元；出元；出现现5 5或或6 6，不输不赢这场赌博对你是否有利，不输不赢这场赌博对你是否有利? ? 1111830 .6236E 对你不利对你不利! !劝君莫参加赌博劝君莫参加赌博. .830P161213解：输赢金钱为随机变量解：输赢金钱为随机变量 则有分布列为：则有分布列为：4随机变量随机变量X的分布列如下：的分布列如下： 其中其中a，b，c成等差数列若成等差数列若E(X) ，则，则D(X)的值是的值是 _X101Pabc解析：解析：abc1.又又2bac，故故b由由E(X)故故aD(X)答案：答案：11,33ac , ,得得 对随机变量对随机变量X的均值的均值(期望期望)的理解

17、：的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；(2)E(X)是一个实数，由是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随的分布列唯一确定，也就是说随 机变量机变量X可以取不同的值，而可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是是不变的，它描述的是 X取值的平均状态；取值的平均状态；(3)E(X)的公式直接给出了的公式直接给出了E(X)的求法的求法 (2010衡阳模拟衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有件，其中有n件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否件次品，用户先对产品进行抽检以决定是

18、否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产取出的产品不放回箱子品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品用户拒绝接收这箱产品(1)若这箱产品被用户接收的概率是若这箱产品被用户接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的条件下，记抽检的产品件数为的条件下，记抽检的产品件数为X，求，求X的分布列和的分布列和数学期望数学期望（1）利用古典概型易求）利用古典概型易求.（2）X的

19、取值为的取值为1、2、3，求出分布列代入期望，求出分布列代入期望 公式公式.【解【解】(1)设设“这箱产品被用户接收这箱产品被用户接收”为事件为事件A，n2.(2)X的可能取值为的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=X的概率分布列为：的概率分布列为：X123P1828109()123.5454545E X 1(2010河南六市联考河南六市联考)甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格 就就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签签约；

20、丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是约设每人面试合格的概率都是 ，且面试是否合格互不，且面试是否合格互不影响求：影响求： (1)至少有三人面试合格的概率；至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率；恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望签约人数的数学期望解：解：(1)设设“至少有至少有3人面试合格人面试合格”为事件为事件A，则则P(A)(2)设设“恰有恰有2人签约人签约”为事件为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事件为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约

21、”为事件为事件B2；则：则：BB1B2P(B)P(B1)P(B2)(3)设设X为签约人数为签约人数X的分布列如下：的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X01234P52024161620()01234.81848181819E X (2010贵阳模拟贵阳模拟)有甲、乙两个建材厂，都想投标有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：拉强度指标，其分布

22、列如下：举一反三举一反三1. 某有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得奖金3万元，答对问题B可赢得奖金6万元.规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对后才能解答下一个问题，否则中止答题.假设你答对问题A、B的概率依次为 、 .若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数额的分布列及期望值E.1213039p解析： 若按先A后B的次序答题，获得奖金数额的可取值为0,3(万元)，9（万元）.P（=0）= , P（=3）= ,P（=9）= . 的分布列为111221111233111236121316题型二题型二 求随机变量的方差求随机变量的方差【例2】编号1，2，3的三位学生随意

23、入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.（1）求随机变量X的概率分布列；（2）求随机变量X的期望与方差.的数学期望为E（）= 1110392.5236 分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;（2）直接利用数学期望与方差公式求解.X013P解 （1）P（X=0）= ,P（X=1）= ,P（X=3）= ,故X的概率分布列为 (2)E(X)= D(X)= 33213A133312CA33116A1312161110131326 2221110 11 13 11326举一反三举一反三2. 设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数.（1）求X的分布列；（2）求X的均值E(X)和方差D(X).学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤：（1）写出X的所有取值；（2）计算P（X=xi）; (3)写出分布列，并求出期望E(X)；（4）由方差的定义求出D(X).解析： (1)P(X=0)= , P(X=1)= ,P(X=2)= .故X的分布列为 (2)X的均值E(X)和方差D(