曲线曲面积分方法小结

1、求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用 格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、 利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进 行计算等方法。例一.计算曲线积分ydx xdy,其中L是圆x2 y2 2x(y 0)上从原点0(0,0)到LA(2,0)的一段弧。本题以下采用多种方法进行计算。x x,i x解1: 0A的方程为.L由0 A, x由02, dydx.y 2x x ,. 2x x2分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化

2、为求定积分进行计算的，选用的参 变量为x.因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量 积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。0B的方程为 y xy,1. 1yBA的方程为xy,1 j解2:在弧0A上取B(1,1)点，y .=L 由 0 B, y 由 01, dx i dy.y2,1 y2y2" L 由 B A, y 由 1 Q dx dy.y ,1 y2分析：解2是选用参变量为y,利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。不同的是以y为参数时，路径L不能用一个方程表示，因此原曲线积分需 分成两部分进行计算，在每

3、一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分 的下限。解3: OA的参数方程为x 1 cos , y sin , L由O B A,由 0,dx sin d , dy cos d .解4: OA的极坐标方程为r 2cos，因此参数方程为x r cos 2cos2 , dy r sin 2 sin cos , 1由0 B A, 由一 0,22. 2dx 4sin cos d , dy 2(cos sin )d .分析：解3和解4仍然是通过采用变量参数化直接计算的。可见一条曲线的参数方程不是唯一的，采用不同的参数，转化所得的定积分是不同的，但都需用对应曲线起点的参 数的起始值作为定积分的下

4、限。解5:添加辅助线段A0 ,利用格林公式求解。因P y, Q x, -Q 二 1 1 0,于是 x y0而 口 ydx xdy 0dx 0,AO故得 ydx xdy0.LL AO AO分析：在利用格林公式口 P(x, y)dx Q(x,y)dy ( P)dxdy将所求曲线积分转化Ld x y为二重积分计算时，当所求曲线积分的路径非封闭曲线时，需添加辅助曲线，采用“补路封闭法”进行计算再减去补路上的积分，但 P, Q必须在补路后的封闭曲线所围的区域内有阶连续偏导数。L是D的正向边界曲线。解5中添加了辅助线段AO,使曲线L AO为正向 封闭曲线。解6:由于P y, Q x, 1,于是此积分与路径

5、无关，故 x y分析：由于P,Q在闭区域D上应具有一阶连续偏导数，且在 D内-Q 上，因此所求 x y积分只与积分路径的起点和终点有关，因此可改变在l上的积分为在OA上积分，注意o点 对应L的起点。一般选用与坐标轴平行的折线段作为新的积分路径，可使原积分得到简化。解7:由全微分公式ydx xdy d(xy),分析：此解根据被积表达式的特征，用凑全微分法直接求出。 x2 y2 1.例一.计算曲线积分q(z y)dx (x z)dy (x y)dz,其中C是曲线'从zCx y z 2,轴正向往z轴负向看C的方向是顺时针的。解1:设 表示平面x y z 2上以曲线L为边界的曲面，其中的正侧与

6、L的正向一致，即 是下侧曲面，在xoy面上的投影区域Dxy： x2 y2 1.由斯托克斯公式解2:利用两类曲面积分间的联系，所求曲线积分了可用斯托克斯公式的另一形式求得出1z 2的法向量向下，故取n 1,1, 1, cos 一，于是上式 3223 ds ,3,1 ( 1)2 1dxdy 2 .y2 1分析：以上解1和解2都是利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分计算的。dydzdzdxdxdy在利用斯托克斯公式o Pdx Qdy Rdz计算时首先应验证函数LP,Q, R在曲面 连同边界L上具有一阶连续的偏导数，且L的正向与 的侧符合右手规则。在计算空间曲线积分时，此法也是常用的解3:将积

7、分曲线用参数方程表示,将此曲线积分化为定积分。cos , y sin ,贝Uz 2 x y 2 cossin ,从 20.例三.计算口（x2y2 2z)ds,其中2为曲线x x222y z r , y z 0.原式（x22z)ds R2 ds z2ds 2 zds再由对称性可得 z2dsR232 R （同解1）,于是解1:由于当积分变量x,y,z轮换位置时，曲线方程不变，而且第一类曲线积分与弧的 方向无关，故有 由曲线 是球面x2 y2 z2 R2上的大圆周曲线，其长为2 R.故由于 关于原点对称，由被积函数为奇函数，得 zds 0.于是z2R2 ，解2:利用在上式R2 2 R分析：以上解1解

8、2利用对称性，简化了计算。在第一类曲线积分的计算中，当积分 变量在曲线方程中具有轮换对称性（即变量轮换位置，曲线方程不变）时，采用此法进行 计算常常是有效的。2c例四.求 ydx xdy,其中L为椭圆曲线（-y2 1上在上半平面内从L x y9解：添加辅助线l为x2 y2A( 2,0)B(4,0)的弧。2的顺时针方向的上半圆周以及有向线段 AC, DB ,其中是足够小的正数，使曲线2包含在椭圆曲线"二2y2 1内。由于9( 2 x 2) x x y22x y/ 222 ，(x y )由格林公式，有L ACDB 0.设 y sin , xcos，有再由咚学AC x y0,ydxxdy2

9、2DB x y0.于是分析：利用格林公式求解第二类曲线积分往往是有效的，但必须要考虑被积函数和所考虑的区域是不是满足格林公式的条件。由于本题中在（0,0）点附近P -y x yQ 二无定义，于是采用在椭圆内部（0,0）附近挖去一个小圆，使被积函数在相应的区 x y域上满足格林公式条件。这种采用挖去一个小圆的方法是常用的，当然在内部挖去一个小椭圆也是可行的。同时在用格林公式时，也必须注意边界曲线取正向。例五.求八分之一的球面x2 y2 z2 R2, x 0, y 0, z 0的边界曲线的重心，设 曲线的密度 1.解：设边界曲线L在三个坐标面内的弧段分别为Li, L2, L3,则L的质量为设边界曲

10、线L的重心为(X, I Z),则由对称性可知x y z .3分析：这是一个第一类曲线积分的应用题。在计算上要注意将曲线L分成三个部分：L1 : y 0,0 x R, z 一 R2 x2,L2 :z 0,0 x R, y . R2 x2,L3 :x 0, 0 y R, z 相一y2.另一方面由曲线关于坐标系的对称性，利用可x y W简 化计算。二.曲面积分的计算方法与技巧计算曲面积分一般采用的方法有：利用“一投，二代，三换”的法则，将第一类曲面 积分转化为求二重积分、利用“一投，二代，三定号”的法则将第二类曲面积分转化为求 二重积分，利用高斯公式将闭曲面上的积分转化为该曲面所围区域上的三重积分等

11、。例六.计算曲面积分 zdS,其中 为锥面z 、，x2 y2在柱体x2 y2 2x内的部分。解：在xOy平面上的投影区域为D:x2 y2 2x ,曲面 的方程为因此zdSx2 y2、1 (zx)2 (zy)2dxdy2 , x2 y2dxdy.DD对区域D作极坐标变换x r cosy sin则该变换将区域D变成(r,)坐标系中的区域,0 r 2 cos ,因此 2分析：以上解是按“一投，二代，三换”的法则，将所给的第一类曲面积分化为二重 积分计算的。“一投”是指将积分曲面投向使投影面积不为零的坐标面。“二代”是指将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。“三换”是指将

12、dS换成投影面上用直角坐标系中面积元素表示的曲面面积元素，即 dS 1 ()2 (-z)2dxdy,或 dS Ji ()2 (-y)2 dzdx,或 dS Ji ( y)2 ()2dxdz.x yx z. x z上解中的投影区域在xOy平面上，因此用代换dS 1(-z)2 ()2dxdy,由于投影区域是x y圆域，故变换成极坐标计算。例七.设半径为R的球面 的球心在定球面x2 y2 z2 a2 (a 0)上，问R为何值时， 球面 在定球面内部的那部分的面积最大？解：不妨设 的球心为(0, 0, a),那么 的方程为x2 y2 (z a)2 R2,它2222与定球面的交线为'I z ,

13、，即 x2 y2 (z a)2 R2,设含在定球面内部的上那部分球面i在xOy面上的投影区域为D,那么2 / / 22、D : x2 y2R (4a 2 R),且这部分球面的方程为4a则i的面积为2a R以下只需求函数S(R) 2 R2召在0,2a上的最大值。2a3R244由令S(R) 2 (2R -R-) 0,得唯一驻点R -a,且S(4a)40.由问题的实际2a33意义知S(R)在R 4a处取得最大值。即R 4a时，i的面积最大，为32a2 3327分析：本题是第一类曲面积分的应用题，在计算中关键是利用了球面的对称性，和确定了含在定球面内部的上那部分球面i在xOy面上的投影区域D。在此基础

14、上，按上题分析中的“一投，二代，三换”的法则即可解得结果。例八.计算曲面积分 (2x z)dydz zdxdy,其中S为有向曲面z x2 y2 (0 z 1),S其法向量与z轴正向的夹角为锐角。解1:设Dyz, Dxy分别表示S在yoz平面，xoy平面上的投影区域，则，所以其中Dyzsin t一21y dydz dy1.z y2Dyz(x2Dxy(2xSdydzz y2dz 42、y )dxdy24cos0tdtz)dydz zdxdy分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，常按一型化为二重积分这里的“一投”是指将积分曲面i 0(12y2)3dyrdr投,法则将各单投向单一型中已指定的坐标面代”

15、是指将的方程先化为投影面上两个变量的显函数，再将这显函数代入被积表达式。符号，当的定侧“三定号”是指依曲面的定侧向量，决定二重积分前的“ +”，“ - ”向量指向坐标面的上(右，前)方时，二重积分前面取+"，反之取解2:利用dS 5dz生dx cos cos地化组合型为单一型. cos(2xSz)dydz zdxdycos(2x z) zdxdy.Scos因S的法向量与z轴正向的夹角为锐角，取n 2x, 2y,1,故有cos2x,cos于是原式 (2x z)( 2x) zdxdy S因为2x(x2 y2)dxdy 0,所以x2 y2 1上式 4x2 (x2 y2)dxdy x2 y2

16、 1分析：计算第二类曲面积分，若是组合型，也可利用公式dS 5dz 胆x 照，cos cos cos先化组合型为统一的单一型，再按“一投，二代，三定号”法则将单一型化为为二重积分求得。解3:以Si表示法向量指向z轴负向的有向平面z 1(x2 y2 1) , D为Si在xoy平面上的投影区域，则设 表示由S和§所围成的空间区域，则由高斯公式得3因此(2x z)dydz zdxdy()22PQR分析：利用同斯公式 o Pdydz Qdzdx Rdxdy ( 一)dxdydz ,可将曲面积 xyz分化为三重积分求得。但必需满足 P,Q, R在闭区域 上有一阶连续的偏导数， 是边界曲 面的外

17、侧。本题中的曲面S不是封闭曲面，故添加了 使S &为封闭曲面，并使S & 的侧符合高斯公式对边界曲面的要求。例九：计算曲面积分I x(8y 1)dydz 2(1 y2)dzdx 4yzdxdy,其中是由曲线z . y 1, 1 yx 02解：设1: x y由高斯公式得因此 I dxdydz3八,绕y轴旋转一周而成的曲面，其法向量与 y轴正向的夹角恒大于一.2z2 2j,表小y 3上与y轴正向同侧的曲面，由 和i所围立体记为.3x(8y 1)dydz 2(1 y2 )dzdx 4yzdxdy.1由于 在xOz面上的投影区域为D ： x2 z2 2.注意到1在xOz面，yOz面上的投影不构成区域，且在 1上y 3,从而 ：x2 z2 1 y 3, (x, y) D,分析： 是旋转曲面y x2 z2 1, 1 y 3且指向外侧，在 上补上曲面221 : x z 2,指向与y轴正向相同，那么由高斯公