八年级同步第12讲：一元二次方程章节复习

1、一元二次方程是初中数学计算的一个重要工具， 一元二次方程思想也是初中数学中重要的解题思想， 它与初三所学的二次函数有着密切的关系， 同时在有求未知数的题目中， 经常运用方程思想求解， 这就要求同学们一定要把现在的一元二次方程基础夯实，为以后的综合学习奠定良好的基础1 一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程2 一元二次方程的一般形式一般形式： ，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项3一元二次方程的解法解法 1：直接开平方法： 适合类型： ，当时，原方程无实数解解法2：因式分解法：（ 1 ）将方程右边化为；（ 2 ）将方程左边的二次

2、三项式分解为两个一元一次方程；（ 3 ）令每一个因式分别为，得到两个一元一次方程；（ 4 ）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解法3： 配方法 ：（ 1 ）先把二次项系数化为：方程两边同除以二次项的系数；（ 2 ）移项：把常数项移到方程右边；（ 3 ）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；（ 4 ） 当时，用直接开平方法解变形后的方程解法 4：公式法：（ 1）把方程化为一般形式，进而确定的值（注意符号）2）求出的值（先判别方程是否有根）3）在的前提下，把的值代入求根公式，求出方程的根4、 一元二次方程的根的判别式是当时， 方程有两个不相等的实数根， ；当时，

3、方程有两个相等实数根；当时，方程没有实数根5、 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根，由求根公式法得： ， ；则这是一元二次方程根与系数的关系6、二次三项式的因式分解：（ 1 ）形如（都不为）的多项式称为二次三项式；（ 2 ）当，先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式；当，方程没有实数根，在实数范围内不能分解因式7、一元二次方程的应用列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同， 但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义， 凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去列一元一次方程解应用题的步骤： 审题；设未知数；找等量关系；列方程

4、；解方程；写答句.1】 如果关于的方程和有相同的实数根,那么的值是（） A B 或CD【难度】B【解析】关于的方程和有相同的实数根，解得：，.【总结】本题主要考查一元二次方程的解的概念.2】 若是关于的一元二次方程的根，且，则的值为（ ）AB CD【难度】A【解析】是关于的一元二次方程的根，,即【总结】本题主要考查一元二次方程的解的概念.3】 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A B C D【难度】A【解析】配方时，方程两边是加上一次项系数一半的平方.【总结】本题主要考查对配方法的理解及运用.4】 一元二次方程的根的情况为（ ） A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 只有一个

5、实数根D 没有实数根【难度】B一元二次方程的根的判别式为，则方程有两个不相等的实数根【总结】本题主要考查利用根的判别式不解方程判定方程根的情况.）5】 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（ABCD【难度】C【解析】关于的一元二次方程没有实数根，,解得：.【总结】本题主要考查利用方程根的情况根据判别式求字母系数的取值范围.6】 若方程中，满足和，则方程的根是（ ） A B C D 无法确定【难度】CC 中满足这个方程，则 1 和 -1 是这个方程的两个根。 【总结】本题主要考查利用方程的根的概念及其应用.7】 已知关于的方程有两个相等的正实数根，则的值是（）ABC 2 或 D 【

6、难度】A【解析】.关于的方程有两个相等的正实数根，,整理得：，解得：当时，方程为，解得： ， 当时，方程为，解得： 所以注意正实数根）本题主要考查利用方程根的情况根据判别式求字母系数的取值范围，的要求.8】 某商品原价元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是（ABCD【难度】B= 原来的量（ a 为降低率，为期数） 【总结】本题主要考查增长率的运用.9】某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035 张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（ ） ABCD 【难度】C210】 如果一元二次方程的两个根为，那么与的值分别为（ ） A B CD【难度】B

7、【解析】方法一：解一元二次方程，再计算两根之和、积；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系，得， 【总结】本题主要考查一元二次方程的根的问题.11】 若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足则的值为（） A 或BC D 不存在【难度】C，.，解：，.当时，方程为，其判别式小于零，则不符合题意；当时，方程为，其判别式大于零，符合题意。【总结】本题主要考查对韦达定理的理解及应用.12】 关于 x 的方程，当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程【难度】【解析】考查一元二次方程和一元一次方程的定义.13】 已知方程和，有共同的根，则 ， 【难度】，【解析】是方程和的根，且，联立后可得：，.【

8、总结】两个方程有共同的根，则说明这个根同时满足这两个方程.14】 已知是关于的方程的一个根，则 【难度】-2 或 1 【解析】是关于的方程的一个根，解：或 1.【总结】本题主要考查一元二次方程根的概念.15】 已知方程有两个相等的实数根，则 【难度】【解析】.方程有两个相等的实数根，【总结】本题主要考查利用方程根的情况根据判别式求字母系数的值.16】 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是【难度】【解析】关于的一元二次方程没有实数根，,贝U.【总结】本题主要考查利用方程根的情况根据判别式求字母系数的取值范围.17】 若方程的两个根是和，则的值分别为 【难度】，【解析】方法一：由韦达定理

9、得：，；方法二：因为方程的两个根是和，则， ，解得： ， 【总结】本题主要考查对方程的根的概念的理解和运用.18】 已知关于的一元二次方程的一个根是，那么的值为 【难度】-1 【解析】关于的一元二次方程的一个根是，,则，则.【总结】本题一方面考查一元二次方程根的概念，另一方面考查一元二次方程的概念.19】 当时，关于的方程可用公式法求解【难度】【解析】关于的方程可用公式法求解，则说明方程有两个实数根.即，解得： 【总结】本题主要考查对公式法的准确理解.【习题20】 若一元二次方程有实数根，则的取值范围是 【难度】【答案】 【解析】方程可化为： ，.方程有实数根，.，解得：.注意要先将方【总结】

10、 本题主要考查利用方程根的情况根据判别式求字母系数的取值范围，程化为一般式之后，才能求根的判别式的值21】 若，则 = 【难度】-4 或 2 【解析】若，则，则或2.【总结】本题主要考查换元思想的运用.22】 已知的值是，则代数式的值是【难度】19【解析】，.【总结】本题主要考查整体代入思想的运用.23】 如果是一个完全平方式，则 【难度】2【解析】如果是一个完全平方式，则有两个相等的实数根，.，整理得：，解得.【总结】本题主要考查根判别式的运用，以及对完全平方公式的准确理解.24】 在实数范围内因式分解： 【难度】，【总结】本题主要考查如何利用一元二次方程分解二次三项式.25】 某食品连续两

11、次涨价后价格是元,那么原价是【难度】【解析】设原价为，则，则.【总结】本题主要考查增长率的应用.26】 长方形铁片四角各截去一个边长为的正方形, 而后折起来做一个没盖的盒子，铁片的长是宽的倍,作成的盒子容积为立方分米, 则铁片的长等于 ，宽等于【难度】【答案】宽为20 cm,长为40cm.【解析】设铁片的宽为，则长为，根据题意，可得：整理得： ，解：， （舍去） 则铁片的宽为20cm,长为40cm.【总结】本题主要考查一元二次方程应用中的面积问题.27】 已知一元二次方程的两根分别为，那么的值为 【难度】19 ， ，则【总结】本题主要考查对韦达定理的理解及应用.28】 已知，则的值为 【难度】

12、2010【解析】，【总结】本题主要考查整体代入思想的运用.29】 用适当的方法解下列方程：（ 1） ；（ 2） ；（3） ；（4） 【难度】【答案】见解析（ 1） ，开平方得： ，则， ；（ 2） ，十字相乘可得： ，则， ；（ 3） ，提取公因式： ，则， ；（ 4） ，方程的判别式，则方程无实数根次方程的根.【总结】本题主要考查如何选择合适的方法求解30】 用适当的方法解下列方程：（ 1 ） ；（ 2） 【难度】【答案】见解析（ 1）方程的判别式为，则， ；（ 2）方程的判别式为，则，【总结】本题主要考查如何选择合适的方法求解一元二次方程的根.31】 在实数范围内将下列二次三项式分解因式：

13、（ 1） ；（ 2） ；（ 3） ；（ 4） 【难度】【答案】见解析.（ 1）；（ 2）的两根为， ，则；（ 3）方程的两根为，则；（ 4）方程的两根为，则【总结】本题主要考查利用一元二次方程的求根公式进行二次三项式的因式分解.（ 2】 解方程： 【难度】，【解析】，即.，或.当时，此方程无解；当时，解得： ， .原方程的解为：，.【总结】本题主要考查对换元思想的理解及应用.33】 求证：不论为何值，关于 x 的方程总有两个不相等的实数根【难度】【答案】见解析.【解析】，不论为何值，关于 x的方程总有两个不相等的实数根.【总结】本题主要考查如何利用根的判别式不解方程判别原方程的根的情况.34】

14、 关于的一元二次方程1 ）当取何值时，此方程有两个不相等的实数根；2）当取何值时，此方程有两个相等的实数根；3）当取何值时，此方程没有实数根【难度】（1） 且 ； （2）； （3） 【解析】方程判别式.（ 1）当方程有两个不相等的实数根，则，解得：，且要满足，即，所以且；（ 2）当方程有两个相等的实数根，则，解得：；（ 3）当方程没有实数根，则，解得：【总结】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的根的关系，注意二次项系数要不为零.（ 5】 已知关于 x 的一元二次方程没有实数根， 试判断关于的一元二次方程根的情况，并说明理由【难度】【答案】有两个不相等的实数根.【解析】.关于X的一元二次方程没

15、有实数根，.，则关于的一元二次方程的判别式.，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.【总结】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的根的关系.（ 6】 已知为实数，且， ，求及的值【难度】7； 1【解析】，.，或 4.【总结】本题主要考查换元思想的运用.37】 说明：不论取何值，代数式的值总大于，再求出当取何值时，代数式的值最小？最小是多少？【难度】【答案】见解析.，当时，有最小值为【总结】本题主要考查配方法的运用.38】 据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，年的利用率只有， 大部分秸杆被直接焚烧了， 假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变， 且合理利用量的增长率相同，要使2

16、008 年的利用率提高到，求每年的增长率（取 ）【难度】41【解析】设每年的增长率为，则有，解得：.每年的增长率为41%.【总结】本题主要考查增长问题的解法.39】 品牌的香烟每条的市场价格为元，不加收附加税时, 每年产销万条；若国家征收附加税，每销售元征税元（ 叫做税率 ） ， 则每年的产销量将减少万条要使每年对此项经营所收取附加税金为万元， 并使香烟的产销量得到宏观控制， 年产销量不超过万条，问税率应确定为多少?【难度】6，整理得： ，解得： ， 当时，舍去；当时，符合题意所以税率应确定为 6 【总结】本题类似利润问题，解题时要认真审题，理解题意，难度较大.40】 某商场将进货价为元的台灯

17、以元售出，平均每月能售出个调查表明：这种台灯的售价每上涨元， 其销售量就将减少个 为了实现平均每月元的销售利润， 这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 【难度】50 元时，应进货500 台；售价定为 80 元时，应进货200 台【解析】设应涨价元，则销售量将减少个.由题意可得： ，整理得： ， 解得： ， 当时，售价应定为元，此时销售量为；当时，售价应定为元，此时销量为。.售价定为50元时，应进货500台；售价应为80元时，应进货200台。【总结】本题主要考查一元二次方程应用中的利润问题.41】 机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为千克， 用油的

18、重复利用率为， 按此计算， 加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克为了建设节约型社会， 减少油耗， 该企业的甲、 乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关1 ）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到千克，用油的重复利用率仍然为问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上， 润滑用油量每减少千克， 用油量的重复利用率将增加 这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到千克问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复

19、利用率是多少？【难度】（ 1） 28 千克； （ 2） 75 千克， 84（ 1）由题意得： ，甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克；（ 2）设乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是千克由题意可得：整理得： ，解得： ， （负值舍去）.用油的重复利用率为：.【总结】本题的难度较大，主要是考查学生的理解能力，因此要认真审题.1】 如果一元二次方程有一个根为0 ，则 m= 【难度】-20，.,解得： ，【总结】本题主要考查一元二次方程的根的概念以及一元二次方程成立的条件.2】若关于的一元二次方程中，满足，则 该方程有一根是【难度】【解析】将代入到方程中成立.【总

20、结】本题主要考查一元二次方程的解的概念.3】如果二次三项式是一个完全平方式，那么 m 的取值是 【难度】3 或-5 ，则或 -5【总结】本题主要考查对完全平方公式的准确理解.4】方程中， = ，根的情况是 【难度】0；两个相等的实数根，则【总结】本题主要考查根的判别式的概念以及根的判别式与一元二次方程的根的关系.5】 已知方程没有实数根，那么代数式【难度】2【解析】方程没有实数根,整理可得： ，则，当时，无解；当时， ；本题主要考查了根的判别式与一元二次方程的根的关系， 其中涉及了一元二次不等式的考查，注意选择性讲解6】用适当方法解下列一元二次方程：（1） ；（2）；（ 3） ；（ 4 ） ；

21、（ 5） ；（ 6） 【难度】（ 2） ， 十字相乘可得： ， 解得： ， ；4） ，提取公因式可得：，解得： ， ；次方程的根.【答案】见解析.（ 1 ） ， 两边开平方可得： ， 解得： ， ；（ 3 ） ，十字相乘可得：，解得： ， ；（ 5 ） ，整理得：，则；（ 6 ） ，提取公因式可得：，解得： ， 【总结】本题主要考查如何选择合适的方法求解一元（ 】 用适当的方法解下列方程：（1） ；（2） ；（ 3） ；（ 4） 【难度】【答案】见解析.（ 1）原方程变形得： ，十字相乘可得： ，整理得： ，.原方程的解为：，.（ 2 ）对原方程整理得：，十字相乘得： ，则：或，解得： ， ，后面一个方程