幂级数求和函数方法概括与总结

1、常见哥级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了 “割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了 级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早 来自于14世纪印度的马德哈瓦，他首先发展了幕级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林 级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性 方法。到了 19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数 理论全面发展起来。中国传统

2、数学在幕级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董佑 诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幕级数展 开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践 中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一 种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。幕级数是一类最简单的函数项级数，在幕级数理论中，对给定幕级数分析其收敛性， 求收敛幕级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一 问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幕级数 求和中的诸多类型问题感

3、到无从下手。事实上，求幕级数和函数的方法与技巧是多种多 样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高 的有趣的数学问题。一、哥级数的基本概念(一)、幕级数的定义11、设Un(x)(n 1,2,3 L )是定义在数集E上的一个函数列，则称Ui(x) u 2(x) L Un(x) L ,x E为定义在E上的函数项级数，简记为 Un(x)0n 12、具有下列形式的函数项级数an(x xo)n ao d(x xo) a2(x %)2 L a0(x %)n Ln 0称为在点X0处的幕级数。特别地，在 an(x xJn中，令x Xo x,即上述形式化为 n 0n2nanXa

4、oaiX a2xLanXLn 0称为在0点的幕级数。(二)、幕级数的和函数2若对幕级数中的每一个 X都有a &X 3X2 &X3 L s(x),则称s(x)为幕级数的 和函数。幕级数的部分和记为Sn( x)aoai x2 3a2xa3XLnanX且部分和Sn(x)有如下性质lnim Sn (x)s(x)二、哥级数求和函数的几种方法以下所要介绍的几种方法旨在分析不同类型的幕级数该如何进行求和，并且帮助大 家掌握解题技巧。(一)、定义法3对于幕级数anXn ,若前n项和函数列&(X)有极限，即nim sn(x)存在，则n 0此事级数收敛，且anXn lim Sn (x)。n 0n例1：求幕级数 a

5、 xn的和函数，其中a 0, |x 1。 n 0解：当X 1时 n n a ax a s(x) lim Sn (x) lim( a ax L ax ) lim nnn 1 X 1 X(二)、分项组合法我们通过观察可以发现有些幕级数具有某些明显的特征，比如可以将已知级数的通项拆项组合，再计算所拆得各项的和函数，从而求得该级数的和函数例2:求s( x)3 n x n 0 (n 1)!的和函数。s(x)( anxn)n 0/ n(anx )n 0n 1nanxn 1解:易知该级数的收敛域为（ 当 x 0时，s(x) 0当x 0时/ x (n 1)n(n 1) n 1 1 n s(x) -x2 n 2

6、(n 1)!2 (n 2)!x n 2 (n 1)!x 211e x(x2 1 ) x 2 x x0 0所以s(x) w、e x (x21) x 2x x（三）、逐项求导与逐项积分法若幕级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘的形式，可考虑用“先积分， 再求导”的做法；若幕级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数，可 考虑用“先求导，再积分”的做法。定理4：设幕级数anxn在（RR）内的和函数为s（x）,则n 0求导后的幕级数与原幕级数有相同的收敛半径R 。2、5a）在（R,R）内可以积分，且有逐项积分公式:xxnx nan n 10 s(t)dt0(antn)dtanotndt

7、工 xn 5以）在（R,R）内每一点都是可导的，且有逐项求导公式:n 0n 0n 0 n 1其中x是(R,R)内任意一点，积分后的幕级数与原幕级数有相同的收敛半径R在函数项级数一致收敛的前提下，对其进行逐项微分或积分。通过逐项求导或逐项 积分将给定的幕级数化为已知和函数的级数形式，从而得到新级数的和函数；将得到的 和函数做与之前相反的分析运算，便得到所求幕级数的和函数。例3:求幕级数n(n 1)(n 2)xn的和函数s(x)。n 1解：易知该级数的收敛域为(1, 1),在任意区间上可以逐项积分s(x) x n(n 1)(n 2)xn 1n 1S1 (x)n (n1)( n2) xnS2(x)：

8、S1(t)dt(n 1)(n 2)xnn 1x- n 1S3(x)0 S2(t)dt(n 2)xn 13S4(x):S3(t)dtxn 2-n 11 x所以3S3(x)S4(x)广)3x2 2x3(1 x)2S2(x) S3(x)236x 6x 2x(1 x)35(x)S2(x)6(1x)4从而可得所求和函数6 xS(x)xS1(x)(1x1)例4:求幕级数n 21) xn 1 n (2 n 1)的和函数S(x) 0解：易知收敛区间为1,10时,s(x) 0y(x)x /、2 s(x)n 2n 1(1) xn 12n(2n 1)得出综上所述y (x)y (x)y (x)y (x)s(x)(1)

9、ns(x)2n x2nn 2n 11) x-ty dt 1 t2加11-xln(1ln(1x2)ln(1x1 x212-ln(1 x )t2)dt2xx ) arctan x2arctanx2 2arctan xx )x（四）、代数方程法此种方法目的在于建立以所求幕级数的和为变量的代数方程，并解之，从而得到原 幕级数的和函数。例 5：设有等差数列：a,a b,a 2b,a 3b,L ,a (n 1)b,L23n1. 一 等比数列：c,cx,cx ,cx ,L ,cx ,L则各项为等差数列、等比数列对应项的乘积所构成的级数为23n 1ac (a b)cx (a 2b)cx (a 3b)cx ,L

10、 ,a (n 1)bcx ,L求其和函数s(x)，其中a,b,c为常数 解：易知此级数的收敛域为(1, 1)xs(x) n / a (n 1)bcxn所以s(x)(1 x)s(x) ac bcx bcx2bcx3 L Lacbcxac bcx1 x (1 x)2例6：求幕级数 Hm(n)xn的和函数，其中Hm(n)为n的 m 次多项式n 0解：记Sm(x)Hm(n)xnxsm(x)Hm(n)xn1n 0n 0则(1 x)Sm(x)Hm(0) Hm(n 1) Hm(n)xn1n 0Hm(0) x Hm1(n)xnn 0其中Hmn)为n的m 1次多项式再使用一次以上的运算方法可得-n 1x(1 x

11、)&(x) xH m (0) x Hm1(n)xn 0-得(1 x)20(x) Hm(0)(1 x) x Hm1(n)xnHm1(n)xn1n 0n 0Hm(1 x) xHm1 n0Hm1(n D Hm1Hm(0)(1 x) xHmi(0) x Hm2(n)xn n 0其中Hm2(n)为n的m 2次多项式反复使用以上的方法可以得到(1 x)m.(x) (1 x)m1Hm(0) (1 x)m2xHmi(0) (1 x)m3xHm2(0)L L (1 x)xm2H2(0) xm1H1(0)xnn 1这样就可以求得Sm(x)Q(五)、微分方程法在幕级数中，有一类含有阶乘运算的幕级数，这种幕级数的和函

12、数的求法，在现行 高等数学教材中涉及的不多，因此成为很多同学学习的一个盲点。此方法将通过实例介 绍这类幕级数和函数的求法，把幕级数求和问题划归为求解微分方程的问题，也就是把 幕级数的和函数微分后，再与原来幕级数作某种运算，得到一个含有幕级数和函数以及 和函数导数的关系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函数。例7：求幕级数口 0*0在下列情况下的和函数S(x)：f(n) (n 1)d ,即公差为d的等差数列，其中d为常数;f (n) qn,即公比为q的等比数列，其中q为常数解：易知该级数的收敛域为(，)/ 、 (n 1)d n s( x) xn 0 n !(n 1)d n 1s (x) x

13、n 1 (n 1)!d 2 d 3s (x) s(x) d dx x2 x3 L L 2!3!dexs(0) d的一阶常系数的线性微分方程，解此微分方程得xs(x) de (1 x)易知该级数的收敛域为(，)n(q ns ( x )xn 0 n !这是一个满足初始条件s (x)nq n 1xn 1 (n 1)!s(x) s(x)(q 1) (q 1)qx (q 1)q2x2 L(q 1)eqx这是一个满足初始条件s(0) 1的一阶常系数的线性微分方程，解此微分方程得s(x)eqx(六)、柯西方法5n 0a，其中an bn 0n 0n 0如果级数an与 bn都绝对收敛，作这两个级数的乘积n 0n

14、 0Cnaobnabn 1 Lanb0 ,则 Cn也绝对收敛，且必有 Cnn 0n 011,1、n ,例8:求号级数的和函数s(x) (1二二L-)x , x 1。n 123n解：令 an xn,n 0,1 ,2, L , x 1则anxn ：(x 1)为绝对收敛级数n 0 n 01 x再令 bn为ln(1 x)的泰勒级数: n 0ln(1 x)(0L ), x此级数在(1, 1)内是绝对收敛的nn 1xxn 1n从而Cn(1 x L x x x o)nn 1(11 nln( 1 x)1 x一)x n所以 s( x)Cnan bn 0n 0n 0(七)、差分算子求和法此方法适用于通项系数是以n

15、为自变量的有限次多项式的幕级数求和问题。若f(x)为任意实函数，为差分算子，则定义函数f(x)的一阶差分为f(x) f (x 1) f(x)n 阶差分为nf(x) ( n 1f (x), n 2,3, L定理6 ：设p(x)为m次多项式，则当|x 1时n 0 p(n)xn收敛，而且其和函数m kxks(x) kP(0) rrk 0(1 x)k 1定理证明：当|x 1时，幕级数n0P(n)xn收敛，现在定义单位算子I及位移算子E分别为 If(x) f (x) Ef (x) f (x 1)则 f (x) Ef (x) If (x) 即 E I由于 p(n) Enp(0) ( I)n p(0)n n

16、(n 1)L (n k 1)不k 0k!m n(n 1)L (n k 1) k k ok!,、,、n m n(n 1)L (n k 1) k 小、n所以 s(x) p(n)xp(0)xn(n 1)L (n k 1)kp(0)xnn 0n 0 k 0k!k!km P(0) kpxk1 2L k 2 3L (k 1) L k 0 k!kkm kp(0) k dk “!-Lx r(1 xk 0 k! dxkk .m p(0)xk d ( 1 ) k 0 k!dxk 1 xkm kp(0) k k!k 0 k! x (1 x)k 1kp(0)k 1(1 x)例9:求幕级数2n n 1 nxn 1 n的

17、和函数s(x)所以由定理得S1 (x)1 2x21 x (1 x)22x2(1 x)3,(x1)2n则 s(x) xs (x)解：令 &(x)(n n 1)xn 12p(n) n n 1故 p(n) 2n 22 P(n) 221r 1 2x2x2 23 x 1 x (1 x)2 (1 x)p(0) x p(0) x p(0),231 x (1 x) (1 x)则s(x) 1n六夫仆1)三、哥级数求和函数各种方法特点分析与评价以上介绍了七种求幕级数和函数的方法， 这也只是若干种求幕级数和函数方法中一部分，其他更多的方法还有待探索发现，在此不再进一步探究。下面就以上七种方法再做一点讨论：（一）定义

18、法的特点：此方法是根据求幕级数部分和函数列的极限得出的，所以它 自然适用于一切形式的幕级数求和。但是问题在于，对于一些通项比较复杂的幕级数，（1）nn3 n事级数部分和数列的极限很难求出，则此方法就会失效。例如幕级数n , 八x 的n 0 （n 1）!部分和数列是否收敛就难以判断，假如要用定义法进行求和，那么就会相当困难而得不 出结果。（二）分项组合法特点：要运用这一方法我们首先要对所求幕级数的各项进行细心 的观察。当逐项观察时发现不了什么规律，这时可以隔一项甚至两项、三项再次观察， 也可以把通项稍作变形再观察。如果发现了一题中存在不止一种规律，那么就把符合同 一种规律的各项组合在一起进行分别

19、计算，最终再联列得出所求级数的和函数。这种方 法在对通项进行拆项上技巧性很强，一般可以利用已知和函数的幕级数来进行。（三）逐项求导与逐项积分法，这一方法使用起来比较简单。遇到一个级数，第一 步将其通项单独拿出来分析。如果开始比较复杂无从下手，可以试着进行逐次求导、逐 次积分、先求导再积分、先积分再求导，经过几次运算以后可以变成比较简单、容易求 和的级数的话，那么先求出新级数的和，接着再做与之前所做的相反的运算就可以得出 原来的级数的和函数。这种方法运用时要熟记常见函数的麦克劳林展开式，此时的展开 式就是常见幕级数的和函数公式，这种求幕级数和函数的方法还可以用来求一些简单的 数项级数的和。（四）

20、代数方程法，看到所求幕级数时，要仔细观察相邻两项之间是否存在有明显 的关系，比如：前后两项之间只相差一个倍数，前一项乘以自变量、自变量的倍数或自 变量的事得到后一项。一旦发现这些规律时我们就可以果断的运用代数方程法求此事级 数的和函数，这样可以节约大量计算时间、带来很大的方便、提高效率。同样对于微分 方程法，所求幕级数的一般项中通常含有阶乘因子，使用之前先对原来的和函数做一定 的变形，求其一阶导数、必要时还要求其二阶导数、三阶导数，将所得结果与原来和函 数联列。如果容易得到一个微分方程，那么就可以转化为求解此微分方程的初值问题解： 容易求出初值解，则此解为要求的幕级数的和函数； 若不易求初值解

21、，此法就不再适用。（五）柯西方法、差分算子求和法，这两种方法的适用条件比较明显。只要所求级 数的通项可以表示为另外两个级数前 n项相应乘积之和，且这两个级数的和函数容易 求得，那么就可以使用柯西方法将已求得的两个和函数相乘而得到所求幕级数的和函数。如果遇到通项系数是以 n为自变量的有限次多项式的幕级数，那么就可以尝试使用差分算子求和法对其进行求解。上面是对七种求和函数的方法分别介绍的，但不是说对于任何一题只要使用其中的一种方法就可以得出结果，有时候会碰到稍微复杂的题目，这时可能使用以上任何一种方法都不能得出结果，而是要综合使用其中的两种、三种甚至四种方法才可以顺利解答。例10:求幕级数和函数3

22、2 xS(x) x 2x3!65 x n5x L x6!(n 1)xn 1n 2x .L其中(n 2)! 八十n 1,4, 7,10 L L解：令s(x)Si(x)S2(x)S3(x)其中S(x) x xL ,n1,4,7L所以S2(x)3- xS2(x)(1x3)S2(x)S2(x)S3(x)S3(x),、S3(x)252x 5x582x 5xnnxn 3 nxx2 3x2 3x5(13 x3!L ,n 2,5,8,LL ,n 2,5,8L3xn L ,n 2,5,8,L3x232x )2x31 x6!n xn!L ,n3,6,9,L2!5!n 1x(n 1)!L ,n3,6,9,L4x .x L4!n 2x(n 2)!L ,n3,6,9,Ln x x 以上三式相加得s3(x) S3(x) S3(x)e 1n 1 n!这是一个满足初始条件S3(0) 0,S3(0) 0的二阶常系数的线性微分方程，解此微分方程从而s(x)2x31 x例1