山东省诸城市桃林镇中考数学压轴题专项汇编专题27函数与线段

1、12专题27函数与线段破解策略常见的有三类问题：1 .距离问题(1)点到直线的距离：如图，点P到直线l的距离，可线求出 PAB的面积，则该三角形AB边上的高线就是点P到直线l的距离.B x1 ,mx2 nx1 c ,则 AB2xi当点A, B横坐标相同时,AB |kx0 b mx2 nx1 c(2)点到点的距离(线段长度)：22育八、AXo, y0, BXi,y1,则 AB yXoXiy。yi；若点 A在直线y kx b上，点 B在抛物线 y mx2 nx c 上，设点 A xo, kxo b ,.22kx0 b mx2 nx1 c ,当点A, B纵坐标相同时， AB |x0 x1| .2 .

2、线段定值问题(1)单独的线段定值：线段的定值可以成点到点的定值.(2)多个线段加、减、乘、除组合定值：通过两点间的距离公式表示出对应的线段，再代入多个线段加、 减、乘、除组合的式子中,通过计算得出一个常数；通过全等或相似找出线段间的关系，进行加、减、乘、除、运算后得到一个常数.3 .线段垂直问题(1)代数法：证明两条线段垂直时，可以将两条线段所在直线的表达式求出.例如，L : y Kx b , I2: y k?x b2 ,则 K k21 .(2)几何法根据几何图形的性质证明.例如，根据等腰三角形三线合一，菱形的对角线互相垂直平分 等性质进行证明；利用相似或全等的性质，将等角转移，从而得到90。

3、角.例题讲解1例1如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线y -x 1与抛物线y ax2 bx 3交于A, B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3, P是线段AB下方的抛物线上的一个动点(不与点A, B重合),过点P作x轴的垂线交直线 AB于点C,彳PD AB于点D.(1)求 a, b 及 sin / ACP的值；(2)求出线段PC PD长的最大值.1解：(1)由,x 1 0,得到x=- 2,所以点A的坐标为2,0,1 一由2x 1 3,得到x = 4,所以点B的坐标为4,3因为抛物线 y ax2 bx 3经过A, B两点, .1所以a 2,b1 2'设直线AB与y轴交于点E,则点E的坐

4、标为0,1 , AE= 75 -因为PC/ y轴，所以/ ACP= / AEO所以sin ZACP= sin Z AEO=OAAE2.5(2)由(1)可知，抛物线的表达式为1 21y -x -x 3,22121_ .一一 一一，设点P的坐标为m,- m 12m, 一 m m 3 ,点C的坐标为221m2m 4211 2 1PC= - m 1 m - m 3222所以当m= 1时，PC有最大值2 .在 RtAPCD, PD= PC- sin / ACP 5 m 1 2 55因为 Y5 0 ,所以当m= 1时，PD有最大值 还. 55例2如图，在平面直角坐标系 xOy中，开口向上的抛物线与 x轴交

5、于A B两点，D为抛物 线的顶点，O为坐标原点.若A, B 0A OB两点的横坐标分别是方程 x2 2x 3 0的两根, 且/ DAB= 45 .(1)求抛物线对应的二次函数表达式；(2)若C点坐标为5,6 ,过点A任作直线l交线段CDT点P,若点C, D到直线l的距离分别记为di,d2,试求di d2的最大值.解：(1)解方程x2 2x 3 0得Xi1,X2 3,而 OA OB ,则点A的坐标为1,0B的坐标为如图1,过点D作DDix轴于点D,则D为AB的中点,所以点D,的坐标为1,0 .因为/ DAB= 45° ,所以 AD= DD= 2所以点D的坐标为1, 2 .令抛物线的表达

6、式为 y=a(x1) 22,因为抛物线过点 A(1, 0),所以0 = 4a2,得a= 1,所以抛物线的表达式为y= - (x1) 2-2.22(2)由已知条件可得 AJ 672 , AD= 2 72 , DC 44,所以AC+ aD= DC,所以/ CAD= 90° ,如图，过 A作AML CD于点M因为 1 AC AD= 1 DC AM 所以 AM= _24 = 6/5224,55因为 &ADkSaapd+ &apg 所以 1AC AD= 1AP- di+ 1AP- d2, 222di + d2= 24 & 24 = 24X a_ = 4j5,即此时di+

7、d2的最大值为4J5.AP AM 6.51 22 例3已知：如图，抛物线 y x2 -J3x 3与坐标轴交于 A B, C三点，点A在点B左 33侧，点C为抛物线与y轴的交点，/ BAC勺平分线 AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D11的直线l与射线AC AB分别交于点 M N.证明：当直线l绕点D旋转时，'均为AM AN定值，并求出该定值.1y解 设直线AC的表达式为y=mx+ 3.将点A的坐标代入得J3 3 0,解得m33 , 所以直线AC的表达式为y J3x 3.所以/ CA® 60° , D (0, 1).设直线MN勺表达式为y=kx+1,所以点N的坐标为

8、1,0 .k所以AN1 kk将y J3x 3与y= kx+ 1联立得x2所以点M的横坐标为2k 3过点M作MG_ x轴，垂足为G,则AG= 2J3 .k .3因为/ MAG 60 , / AG附 90 ,所以 AM= 2A生 一4-= 243 2辰 2k 3k 、3故 11k _3 k 3k _3_3 3k 1_3AMAN2>/3 273k1 273k 22 T3k 12 '例4如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 M (0, 1),与x轴交于A, B两点.(1)求抛物线的表达式；(2)判断 MAB勺形状，并说明理由；(3)过原点的任意直线(不与 y轴.重合)交抛物线于 C

9、, D两点，连结 MC MD试判断是 否MCL MD并说明理由.解：(1)因为抛物线y= x2+bx+c的顶点坐标为 M (0, 1), 所以抛物线的表达式为 y = x2-1.(2) MAB1等腰直角三角形.理由如下：因为点A的坐标为(一1, 0),点B的坐标为(1, 0),所以OA= OB= OM= 1.所以/AMO/MA® / BM® /MB6 45 ,所以/ AMB= 90 , BM= AM所以 MAB1等腰直角三角形.(3) MCL MD.理由如下：如图，分别过点 C, D作y轴的平行线，分别交 x轴于点E, F,过点M作x轴的平行线，交 EC延长线于点G交DF延

10、长线于点H.设点D的坐标为(rq m21),点C的坐标为(n, n21),所以 OE= n, CE= 1-n2, OF=3 DF= m1,因为 OM= 1,所以 C& n2, DH= mi.CE 因为EG/ DH所以CE ：DFCG n2因为= n,GMn2,OE1nn1，.即 2,所以 mn= - 1,即 m=一 .OFm1mnMHm1CGMH= 2 = n,所以=.DHm2 mGMDH因为/ CGMZ MHD= 90 ,所以 CGM5MDH 所以/ CMG / MDH因为/ MDH/ DMH= 9Q ,所以/ CMG / DMH= 90 ,所以/ CMD 90 ,即 Md MD进阶

11、训练1.已知抛物线y=ax2+bx+ c的顶点坐标为（1,0）,与y轴的交点坐标为（0,1），R（1,41）是抛物线对称轴l上的一点.（1）若P是抛物线上的一个动点 （如图1）,求证：点P到点R的距离与点P到直线y=- 1 的距离恒相等；（2）设直线PR与抛物线的另一交点为 Q, E为线段PQ的中点，过点P, E, Q分别作直线y =1的垂线，垂足分别为 M F, N （如图2）.求证：PF± QF1.略.【提示】（1）题意可得抛物线表达式为设点P的坐标为（x2x 1 ),则PM=1- x414由两点间距离公式得pR=(x1) 2+（2）因为QN= QR PR= PM所以PQ= PR

12、+ QR= PMb QN根据题意可得 EF为梯形PMNQj中，、八 r11位线，即EF= 1 （QW PM = -PQ所以EF= EQ= EP,即点F在以PQ为直径的圆上，所以22PF± QF2、如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y x2 2x 3与x轴交于A, B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C,抛物线上有一动点 P,过动点P作PE± y轴于点E,交 AC于点D,过点D作x轴的垂线，垂足为 F,连结EF,当线段EF的长度最短时，求出点 P 的坐标.ff答案：当EF最短时，点P的坐标是（2、103）或（2 "10 国）2' 22' 2

13、提示：如图，连结OD因为四边形 OFD厚矩形，所以OD= EF,所以当ODLAC时，ODt短， 即EF最短.根据 OC= OA可以彳#到点 P的纵坐标.一. ._ 3 . 一一.3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABL x 轴于点 B, AB= 3, tan / AOB=-,将 OA璘着原点O逆时针旋转90。，得到 OAB,再将AOAB绕着线段OB的中点旋转180。，得到 OAB,抛物线y ax2bx c a 0经过点B, B, A.（1）求抛物线的表达式;（2）在第三象限内，抛物线上是否存在点2Q使点Q到线段BB的距离为艺?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.1x 43或（一

14、3, 2）答案：（1）抛物线的表达式为 y 1x23（2）存在点Q的坐标是（一1, 4）提示：（2）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（ xo, y°）使点Q到直线BB的距离为连结BB ,过点Q作QD± BB于点D,过Q作QE± X轴于点E ,S QEB1S 四边形 BQB1OS OBB12xo 3QBBi1一4）或（-3, 2）.点A C在x轴上，点B坐标为（3,m (m> 0),线段AB与y轴相交于点D,以P (1, 0)为顶点的抛物线过点B D.(1)(2)(3)求点A的坐标(用 求抛物线的表达式; 设Q为抛物线上点m表不)；P至点B之间的一个动点，连结

15、 PQ并延长交BC于点E,连结BQ并延长交A5点F,证明:FC?AC EC的值为定值.答案:(1)点A的坐标为(3m 0); (2)抛物线的表达式为2x 2x 1 (3)略提示:(3)如图，过点 Q作QML AC于点M过点Q作QNL BC于点N,设点Q的坐标为(x2 2x+1),则 QMkCN= (x1) 2, MC= QN= 3-x,因为m= 4,所以BC= AC= 4,因为x,QM/CE,所以 PQmAPEC从而QMEC2PM,即2L工PC EC得 EC= 2 (x1).因为 QN/ FC.所以 BQNb ABFC 从而 QNFCBNBC即骨得 FCAC8,所以FCx (AJ EC的值FC ? ACEC5、如图，折叠矩形OABC勺一边BC使点4x 14 2x1C落在OA&的点D处，已知折痕BE= 5<5 ,且ODOE4,以312一 x16为原点，OA所在的直线为 x轴建立平面直角坐标系，抛物线c经过点E,且与AB边相交于点F.若M是BE的中点，连