半角旋转模型

1、内容：半角旋转模型，三垂直模型，以及旋转相似模型探究：(1)如图1 ,在正方形 ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且/ EAF = 45 °试判断 BE、 DF与 EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结 果：；(2) 如图2,若把(1)问中的条件变为 在四边形ABCD中，AB = AD，/ B+Z D= 180E；,1F分别是边BC、CD上的点，且Z EAFd Z BAD”则U (1)问中的结论是否仍然成立 ？若成2立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3) 在(2)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线 上时，如图3所示，其它条件不变

2、，则(1)问中的结论是否发生变化?若变化，请给出结论并予 以证明.小伟遇到这样一个问题如图1,在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，D，连结 EF,求证：DE+BF=EF.图2ADEB C图3小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题他的方法是将 ADE绕点A顺时针旋转90。得到 ABG (如图2),此时GF即是DE+BF.请回答:在图2中，/GAF的度数是DADkD参考小伟得至C的结论和思考问题的方法,解决下列问题:E(1)如图3,在直角梯形 ABCD中，AD /BC (AD

3、 >BC),OB x B F C G B F C /D=90 图 4AD=CD=10 ,图是 CD 上一点,若 JBAE=45 ° ,DE=4 ,则 BE=(2)如图4,在平面直角坐标系xOy中，点B是x轴上一 动点，且点A ( 3 , 2),连结AB和AO,并以AB为边向上作正方形ABCD,若C (x, y),试用含x的代数式表示y,已知：正方形ABCD中， MAN 45°,绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC(或它们的延长线)于点M、N (1)如图1，当 MAN绕点A旋转到BM DN时，有BM DN MN 当MAN绕点A旋转到BM DN时，如图2，请问图1

4、中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2)当 MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM, DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明.24 .如图1 ,在等腰直角 ABC中，/BAC=90 °,AB=AC=2，点E是BC边上一点，/DEF=45。且角的两边分别与边 AB,射线CA交于点P, Q.(1) 如图2,若点E为BC中点，将ZDEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P, EF与CA的延长线交于点 Q.设BP为x，CQ为y，试求y与x的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围；(2) 如图3，点E在边BC上沿B到C的方向运动(不与B，

5、C重合)，且DE始终经过 点A,EF与边AC交于Q点.探究：在ZDEF运动过程中， AEQ能否构成等腰三角 形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由.海淀25 .如图DE2， AB1，两个等腰直角三角板 ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，1 .将直线EB绕点E逆时针旋转45，交直线AD于点M 将图1中的三角板ABC沿直线I向右平移，设C、E两点间的距离为k .D/L_ .4解答问题：(1) 当点C与点F重合时，如图2所示,可得处的值为；DM在平移过程中，jAM的值为(用含k的代数式表示)；DM(2) 将图2中的三角板 ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变当点A落在线段DF上

6、时，如图3所示，请补全图形，计算jAM的值;DM(3) 将图1中的三角板 ABC绕点C逆时针旋转 度，0<90,原题中的其他条件保持不变计算如的值(用含k的代数式表示).DM昌平22.阅读下面材料小伟遇到这样一个问题：如图1 ,在正三角形 ABC内有一点 P,且PA=3 , PB=4 ,小伟是这样思考的PC=5 ,求ZAPB的度数.如图2,利用旋转和全等的知识构造 APC ,连接PP ,得到两个特殊的三角形，从而将问题解决图1BC请你回答：图1中ZAPB的度数等于 .参考小伟同学思考问题的方法 ，解决下列问题：(1)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= 2 2，PB=1，PD=，

7、则ZAPB的度数等于 ,正方形的边长为 ;(2)如图4,在正六边形 ABCDEF内有一点P,且PA= 2 , PB=1 , PF=13 ,则ZAPB的度数等于 ,正六边形的边长为 .通州24. ( 9分)在平面直角坐标系 xOy中，点B(0, 3)，点C是x轴正半轴上一点，连结 BC,过点C作直线CP/y轴.(1) 若含45。角的直角三角形如图所示放置 .其中，一个顶点与点 O重合，直角顶点D 在线段BC上,另一个顶点E在CP上.求点C的坐标；(2) 若含30。角的直角三角形一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC 上,另一个 顶点E在CP上,求点C的坐标.yBPBBAEOr Cx Ox Ox

8、第24题图备用图备用图(西城19)如图所示,在平面直角坐标系 xOy中，正方形PABC的边长为1 ,将其沿x轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形 PABC顺时针旋转90。得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形 ，第n个正方形.设滚动过程中的点 P的坐标为(x, y).(1) 画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标；(2) 画出点P(x, y)运动的曲线(0总4),并直接写出该曲线与x轴所围成区域的面积.东城24.问题1：如图1,在等腰梯形 ABCD中，AD /BC, A

9、B=BC=CD,点M , N分别在1AD, CD 上,若dMBN= ZABC,试探究线段 MN , AM , CN有怎样的数量关系？请2直接写出你的猜想，不用证明；问题2 :如图2,在四边形 ABCD中，AB=BC,ZABC+ ZADC=180。，点M , N分别在DA, CD的延长线上，若ZMBN= - ZABC仍然成立，请你进一步探究线段2MN ,专业资料.学习参考AM , CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明昌平24 .在厶ABC中，AB=4 , BC=6，/ACB=30 °，将 ABC绕点B按逆时针方向旋转, 得到 Ai BCi.( 1)如图1 ,当点Ci在线段C

10、A的延长线上时，求/CCiAi的度数；(2) 如图2,连接AAi, CCi.若厶CBG的面积为3,求厶ABAi的面积；(3) 如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在厶ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点Pi，直接写出线段 ER长度的最大值与最小值图3朝阳24 .在Rt ABC中，ZA=90 °, D、E分别为AB、AC上的点.(1)如图 1 , CE=AB, BD=AE,过点 C作 CF/EB,且 CF= EB,连接 DF交 EB于点 G, eb连接BF,请你直接写出一一的值；DC1，求k的值2(2)女口图 2, CE=kAB, BD=kAE, _E

11、BDCC西城24 在Rt ABC中，/ACB=90 °,ABC=，点P在厶ABC的内部.(1) 如图 1, AB=2 AC, PB=3，点 M、N 分别在 AB、BC 边上，则 cos = PMN周长的最小值为-(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA= .2，PB= 10，PC=1，求厶ABC的面积；(3) 若 PA= m, PB= n , PC= k ,且 k mcosn sin ,直接写出 ZAPB 的度数.门头沟24 .已知：在厶ABC中，AB= AC,点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，点 M 在线段 DF 上, 且 ZBAE=ZBDF,

12、ZABE=ZDBM .(1 ) 如图1 ,/ABC = 45。时段 DM 与AE之间的数量关系(2 )女口图2 ,ZABC = 60。时段 DM 与AE之间的数量关系（3如图3,当 ABC(0 << 90 ）时，线段DM与AE之间的数量关系在（2）的条件下延长BM 至U P,使 MP = BM ,连结 CP,若 AB= 7, AE=求sin ACP的值.图1BDC图2BDC图3顺义24 .如图1 ,将三角板放在正方形 ABCD上,使三角板的直角顶点 E与正方形 ABCD的顶点A重合.三角板的一边交 CD于点F ,另一边交CB的延长线于点G.(1) 求证：EF EG ;(2) 如图2

13、,移动三角板，使顶点E始终在正方形 ABCD的对角线AC上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立 ？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图3,将(2)中的正方形ABCD "改为 矩形ABCD "，且使三角板 的一边经过点 B ,其他条件不变，若AB a , BC b，求旦匚的值.EG朝阳22 阅读下列材料小华遇到这样一个问题 ，如图1, ABC中，/ACB=30o , BC=6 , AC=5 ,在厶ABC内部有一点 P,连接PA、PB、PC,求PA+ PB+ PC的最小值图1A图3小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段

14、 分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据两点之间， 线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2,将厶APC绕点C顺时针旋转60o ,得到 EDC,连接PD、BE则BE的长即为所求(1) 请你写出图2中，PA+ PB+ PC的最小值为 ;(2) 参考小华的思考问题的方法 ，解决下列问题：如图3,菱形ABCD 中, ZABC=60o,在菱形 ABCD内部有一点 P,请在图3 中画出并指明长度等于PA+ PB+ PC最小值的线段(保留画图痕迹，画出一条即可)；若中菱形ABCD的边长为4，

15、请直接写出当PA+ PB+ PC值最小时PB 的长丰台24 .在Rt ABC中，AB=BC,/B=90。，将一块等腰直角三角板的直角顶点0放在斜边AC上，将三角板绕点 0旋转.（1）当点0为AC中点时， 如图1,三角板的两直角边分别交 AB, BC于E、F两点，连接EF,猜想线段AE、 CF与EF之间存在的等量关系 （无需证明）； 如图2,三角板的两直角边分别交 AB, BC延长线于E、F两点，连接EF,判断 中的猜想是否成立.若成立，请证明；若不成立，请说明理由；2）当点0不是AC中点时，如图3,三角板的两直角边分别交 AB, BC于E、F两点，若A0 1AC 7求的值.OF 朝阳期末25已知：在 ABC中 ACB 90 , CD AB于点D，点E在AC上，BE交 CD于点G, EF BE交AB于点F。C图2C如图甲，当AC BC时，且CE EA时，则有EF EG ;(1) 如图乙，当AC 2BC时，且CE EA时，则线段EF与EG的数量关系是：EF EG；(2) 如图乙，当AC 2BC时，且CE