2004年春季高考.安徽卷.理科数学试题及解答

1、2004 年全国普通高等院校春季招生考试（安徽卷）数学试卷（理科）及解答一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共计 60 分.21.5(4+ = (2004 年安徽春(1)5 分)i(2+ i)A. 5(1 38i)B. 5(1 + 38i)C. 1 + 38iD. 1 38i答：D2.不等式| 2x2 1|W1 的解集为(2004 年安徽春(2)5 分)A. x|1WxW1B. x|2Wxw2C. x| 0WxW2D. x|2WxW0答：A2 23.已知 FF2为椭圆字+ y2= 1( a b 0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF1垂直于 x 轴，且/ F1MF2=60o,则椭圆的离

2、心率为（2004 年安徽春（3）5 分）A.2答：CA. 0B. 32C. 27D. 27答：C5.等边三角形 ABC 的边长为 4, M、N 分别为 AB、AC 的中点，沿 MN 将厶 AMN 折起，使得 面 AMN与面 MNCB 所成的二面角为 300,则四棱锥 A MNCB 的体积为（2004 年安徽春（5）5 分）A. |B. 3C. 3D. 3答：A6.已知数列 an满足 a。= 1, an= a+ a1+.+ an-1(n1)，则当 n 1 时，an= (2004 年安徽春(6)5 分)A. 2nB.2 n(n +1)C. 2n1D. 2n 1答：C7.若二面角alB为 120o,

3、直线 m 丄a则B所在平面内的直线与 m 所成角的取值范围是(2004年安徽春(7)5 分)A.( 0, 90oB. 30o, 60oC. 60o, 90oD. 30o, 90o4.lim(n 2)2(2 + 3n)(1 n)53-=(2004 年安徽春(4)5 分)答：D8.若 f( sinx) = 2 cos2x，贝 U f( cosx) = (2004 年安徽春(8)5 分)A. 2 sin2xB. 2+ sin2xC. 2 cos2xD. 2 + cos2x答：D9.直角坐标 xOy 平面上，平行直线 x= n(n = 0,1,2,5)与平行直线 y= n(n= 0,1,2,5)组成的

4、图形中，矩形共有(2004 年安徽春(9)5 分)A. 25 个B.36 个C. 100 个D. 225 个答：D10.已知直线 l: x y 1 = 0, 1 仁 2x y 2 = 0,若直线 I?与 h 关于 I 对称，则 S 的方程是(2004年安徽春(10)5 分)A. x 2y+ 1 = 0 B. x 2y 1 = 0 C. x+ y 1 = 0D. x+ 2y 1 = 0答：B11.已知向量集合 M = 卞 Ia= (1, 2) +?(3, 4),入 R , N = |a= ( 2, 2) + 久 4, 5),入 R.则 MAN= ( )(2004 年春安徽(11)5 分)A.(

5、1, 1)B.( 1 , 1) , ( 2, 2)C.( 2, 2)D. $答：C12.函数 f(x) = sin4x+ cos2x 的最小正周期为(2004 年安徽春(12)5 分)AnB.nC.nD. 2n42答：B二、填空题：本大题共计4 小题，每小题 4 分，共 16 分13._抛物线 y2= 6x 的准线方程是.(2004 年安徽春(13)4 分)14.在 5 名学生(3 名男生，2 名女生)中安排 2 名学生值日，其中至少要有1 名女生的概率是_ .(2004 年安徽春(14)4 分)答：0.715.函数 y=$ x(x0)的最大值为 _ .(2004 年安徽春(15)4 分)答:

6、答:x=116.若(x + - 2)n的展开式中常数项为_ 20,则自然数 n=.(2004 年安徽春x(16)4 分)19.答：3三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分.17.解关于 x 的不等式：logaxv3logaX(a0 且 1)(2004 年安徽春(17)12 分)本小题主要考查对数、不等式解法等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分12分解：令 logax=y,则原不等式化为y33yv0解得yv3 或 0vyv3即 logaXV3 或 0vlogaXV3当 0vav1 时，不等式的解集为x|xa3Ux| a3vxv1当 a 1 时，不等式的解集为x|0vxva3Ux

7、| 1vxva318.已知正项数列bn的前 n 项和 Bn= 4( bn+ 1)2,求bn的通项公式.(2004 年安徽春(18)12 分)4本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查运算能力满分 12 分.解：当 n = 1 时，B1= b1.1o b1=(b1+1)2，解得 b1= 14当 n2 时，bn= Bn Bn-11212=(bn+1)(bn-1+1)44=(bnbn1+2bn2bn-1)4整理得：bn bn1 2bn 2bn-1= 0(bn+bn-1)( bnbn-12)=0Tbn+bn-10,bn bn-1 2 = 0 bn是首项为 b1= 1,公差 d = 2 得等差

8、数列bn= 2(n 1) + 1 = 2n 1即bn的通项公式是 bn= 2n 1.已知 k 0,直线 l1：y= kx,l2：y= kx.(2004 年安徽春(19)12 分)(1)证明：到 h、l2的距离平方和为定值 a(a0)的点的轨迹 是圆或椭圆；(2) 求到 11、12的距离之和为定值 c(c 0)的点的轨迹. 本题主要19.考查直线、圆、椭圆的方程和性质，曲线预防成的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知 识的能力满分 12 分.解：(1)设点 P(x，y)为动点，则因此，当 k= 1 时，动点的轨迹为圆；当 心 1 时，动点的轨迹为椭圆(2

9、)设点 P(x, y)为动点，则| y kx| + | y+ kx| = c 1 + k2整理得：*22(1 + k2) a+(1 + k2)a=122k21 + k2|y kx|2i + k2+|y+ kx|当 yk| x|时,y kx+ y+ kx= c1 + k2, 即卩 y=；c 1+ k2;当 ywk| x| 时,kx y y kx= cJ1 + k2, 即卩 y =；c 1 + k2;当一 k| x|vyvk| x| 且 x 0 时,kx y+ y+ kx= c 1 + k2，即当一 k| x|vyvk| x| 且 xv0 时,综上所述，动点的轨迹为矩形20.已知三棱柱 ABC A

10、1BQ1中底面边长和棱长均为a,侧面A1ACC1丄底面ABC, A1B=a.(2004 年安徽春(20)12 分)(1) 求异面直线 AC 与 BC1所成角的余弦值.(2) 求证：A1B 丄面 AB1C.本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查逻辑 推理能力和空间想象能力满分 12 分.解：过点 B 作 B0 丄 AC,垂足为 0,贝 U BO 丄侧面 ACC1A1,. ? 63连结 AQ，在 RtAA1BO 中，A1B =2a, BO =2a3a-A1O= 2 a，又 AA1=a,AO= 2A1AO 为直角三角形， A1O 丄 AC, A1O 丄底面 ABC. 解法一：(1) A1

11、C1/ AC/ BC1A1为异面直线 AC 与 BC1所成的角.x= 2 讥 1 + k2y kx y kx= c 1 + k2，即B$i ACcos0=.=|BiCi| |AC| 哆a.a异面直线 AC 与 BCi所成角的余弦值为i05也寸 3（2）Ai（0，0，2a），B（2a，0，0）-ATB=（号 a，0，乌），AC= （0，a，0）- AiB 丄 AC又 ABBiAi为菱形-AiB 丄 ABiTAiO 丄面 ABC, AC 丄 BO-AC_LA BAiCi丄 AiB.在 RtAA1BC1中,AiBha, AiC=1=aBC1=i02acos/ BCiAi=i05异面直线 AC 与 B

12、Ci所成角的余弦值为i05（2）设 AiB 与 ABi相交于点 D-ABBiAi为菱形，ABi丄 AiB又 AiB 丄 ACABi与 AC 是平面 ABiC 内的相交直线，所以，AiB 丄面 ABiC.解法二：（i）如图，建立空间直角坐标系，原点为BO 丄 AC 的垂足 O，由题设条件可得B（3a2a，0，0），Ci（0，a，23a），A（0，aa-2，0），C（0，2，0） BCi=（-乎 a，a，a），AC= （0，a，0）设 AC 与 BCi的夹角为0,则i05又因为 ABi 与 AC 为平面 ABiC 内的两条相交直线, 所以，AiB 丄平面 ABiC.21.已知盒中有 10 个灯泡，

13、其中 8 个正品，2 个次品，需要从中取出 2 个正品，每次取出 1 个， 取出后不放回，直到取出2 个正品为止，设E为取出的次数，求E的分布列及 EE(2004 年安徽春(21)12 分)本题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. EE=2XP(E=2)+3XP(E=3)+4XP(片4)=229722.已知抛物线 C:y= x2+ 4x+ 过 C 上一点 M，且与 M 处切线垂直的直线称为C 在点 M 处的法线.(2004 年安徽春(22)14 分)1(1)若 C 在点 M 处的法线斜率为一I求点 M 的坐标 M(x, y);(2)

14、设 P( 2, a)为 C 对称轴上的一点，在 C 上是否存在点，使得 C 在该点的法线通过点P ?若有，求出这些点，以及这些点的法线方程；若没有，请说明理由本题主要考查导数的几何意义和应用，直线方程以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分.解：函数 y= x2+ 4x+7的导数为 y = 2x+ 4C 上点(xo, yo)处的切线的斜率为 ko= 2x0+ 4I所以一2(2X0+4) = 1p(鼻 4) -1-48 -45451-15即所取次数的概率分布列为E234P28451414515加 9x8+和 9x8=解:P(即 9=411445p(1由已知，过点(x0, y)的法线斜率为一2解得xo= 1, yo= 2故点M的坐标为(一 i, 2)(2)设 M(x, y)为 C 上一点，1(i)若 xo= 2,贝 U C 上点 M( 2,；)处的切线斜率为 k= 0过点 M( 2,2的法线方程为 x= 2此法线过点 P( 2, a)(ii)若 xo 2,则过点 M(xo, yo)的法线方程为yyo=2xo+ 4(xX。)若法线过 P( 2, a)，贝 V a yo=2 xo)即(x+ 2)2= a若 a0,贝 U x0= 2 a,从而27 2a 1yo=xo+4xo+ 2=2将上式代