点差法弦长公式

1、点差法1.过点(1 , 0)的直线I与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为 彳的 椭圆C相交于A、B两点，直线y=*x过线段AB的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线I对称，试求直线I与椭圆C的方程.命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的 方法，设计新颖，基础性强，属级题目知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问 题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式解法二，用韦

2、达定理.解法一：由e=- ,得兰占 -从而a2=2b2,c=b.a 2a 2设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(xi,yi),B(X2,y2)在椭圆上.贝S Xi2+2yi2=2b2,X22+2y22=2b2,两式相减得,(x/ - X22)+2(yi2 -y22)=0,2i2.xi x22(yi y2)设 AB中点为(xo,yo),则 kAB=,又(xo,yo)在直线 y=-x上, yo= -xo,2yo22于是Xo2yo1Kab= 1,设 l 的方程为 y= x+1.右焦点(b,0)关于I的对称点设为(x，y),丄11则x b解得xy x by 1 b12 2 由点(1,1 b)在椭圆上

3、，得 1+2(1 b)2=2b2,b2二詈2所求椭圆C的方程为 竺 空y2 =1,l的方程为99 2 2解法二：由e=c二，得丄a 2a2,a8 .y=-x+1.91,从而 a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x 1),将I的方程代入 C的方程，得(1+2k2)x2 4k2x+2k2 2b2=0,则Xl+X2二4k 22 y+y2=k(x1 1)+k(x2 1)=k(x1+x2) 2k=-1 2k12k2k2直线I: y=2x过AB的中点(宁，今)，则2221 2kk=0,或 k= 1.若k=0，则I的方程为y=0,焦点F(c,O)关于直线I的对称点就

4、是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k= 1,直线I的方程为y= (x 1),即y= x+1,以下同解法2.()已知圆C1的方程为(x 2)2+(y2 2T)2二手,椭圆C2的方程为笃 笃=1>b>0),3a bC2的离心率为 亍，如果G与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为 圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.解：由e=,可设椭圆方程为鸟善=1,2 2b b又设 A(xi,yi)、B(X2,y2),则 Xi+X2=4,yi+y2=2,22 22又 Xiyii X2y22牙 1 22b b 2bb2两式相减得2 2X1X22b22 2 yi y2 =o -=

5、0,即(xi+X2)(xi X2)+2(yi+y2)(yi y2)=0.x1x2化简得X1吃二1,故直线AB的方程为y= x+3,代入椭圆方程得3x2 12X+18 2b2=0.有 A=24b2 72>0,又|AB|= . 2 .(x%2)2一4*2 . ?,得血匸¥ ,V 9 32故所求椭圆方程为11620解得b2=8.21=1.89b 0)的离心率e -, A、B是椭圆上关于坐标不对称的3两点，线段AB的中垂线与x轴交于点P1 0)(1设AB中点为C(x0, y0),求沧的值。)若F是椭圆的右焦点，且AF| |BF 3,求椭圆的方程(1)令 A (x1 , yj、B ( x

6、2, 贝UX1 X2y1y2X1X22xq, y11 Xqyoy2)y22yo又A、B在椭圆b2X12 b2X22 b 2(x (X1 X2)c 2a 32x2a2 2 a y1a2 2 a y2yJ2b2a2b2：b2y1 竺X2X1X2)( X1 x2)b2xo a2b2xo-2a yoa2(y1yo(y1 y2)5Xq9 yoAFX1eelc-X1x1x2x2eo2Xx05y2)(y1y2) 0o9Xex12 2所求椭圆方程为亠1952 2(2006年江西卷)如图，椭圆Q 笃+ 爲=1 (a b 0)的右焦点 F (c, 0),过点F的一 a b动直线m绕点F转动，并且交椭圆于 求点P的

7、轨迹H的方程A、B两点，P是线段AB的中点在 Q 的方程中，令 a = 1 + cos + sin , b = sin(0?),确定的值，使原点距椭圆的右准线I最远，此时，设I与x轴交点为D,当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形 ABD的面积最大？2 2解：如图，(1)设椭圆Q:务+芯=1 (a b 0)a b上的点A (xi, yi)、B (X2, y2),又设P点坐标为P (x, y),则.2 2 丄 2 222b x<i+ a y1 = a b (1)b x2+ a y2= a b (2)1当AB不垂直x轴时，xi X2,由(1) ( 2)得2 2b (xi X2)2x + a

8、(yi y2) 2y = 02yi y2 _ b x _ y 2Xi X2 a y x c22|222八/cb x + ay b cx _ 0 (3) 2当AB垂直于x轴时，点P即为点F,满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2 + a2y2 b2cx _ 02（2）因为，椭圆 Q右准线I方程是x_ ，原点距Ic222222的距离为，由于 c _ a b , a _ i + cos + sin , b _ sin ( 0ca2i + cos + sin则一_c 、i + cos_ 2si n (l)24当_ 时，上式达到最大值。此时22 2a _2，b _ i，c_ i，D (2，0)，

9、|DF| _ i2设椭圆Q: + y2_i上的点A (Xi，yi)、B ( X2，y2 )，三角形ABD的面积21 iiS_ |y i| + - |y 2| _ |y i y2|2 222设直线 m的方程为x_ ky + i，代入X+ y2_i中，得(2 + k2) y2+ 2ky i _ 02k22由韦达定理得 yi+ y2_ 一 2，yiy2_ 一 -2+ k22+ k4S _(y i y2)2_( yi + y2)2 4 y iy2_8 (k2+i)(k2+2)2i，得 4S?_8t(t+i)2-_2，当t _ i，k_ 0时取等号。4因此，当直线 m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形 A

10、BD的面积最大。2 2（2006年湖南卷）已知椭圆 Ci：红432i,抛物线 C2： (y m) 2px( p 0),且 C、C2的公共弦AB过椭圆Ci的右焦点.(I )当AB丄x轴时，求m、p的值，并判断抛物线 C2的焦点是否在直线 AB上；(n )是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线 AB上？若存在，求出符合条件的 m、 P的值；若不存在，请说明理由45. ( I ) m =0, p解(I)当AB丄x轴时，点AB关于X轴对寸称，所以m= 0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为(1,-)或(1 ,-3).22因为点A在抛物线上，所以92p ,即p948此时C2的焦点坐标为(,

11、0)，该焦点不在直线 AB上.16(n)解法一 当C2的焦点在AB时，由(I)知直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方 程为 y k(x 1).y k(x 1)由 x2 y2 消去 y 得(3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0 .143设A、B的坐标分别为(X1,yJ ,(X2, y2)则X1,X2是方程的两根,X1+ X2 =8k23 4k2因为AB既是过C的右焦点的弦，又是过111所以 AB (2 2X1)(22X2)4 1(X1AB (X1 号)(X2 pX X2p.从而 nx2p 4(n2X2).所以X)X24 6p3，即8k23 4k2解得k26,即k 晶.因为C2的焦点F(

12、?,m)在直线y k(x 1)上，所以m - k .3 3即m 6或m6 .33当m 时，直线AB的方程为y ,6(x 1)；3 当m 6时，直线AB的方程为y . 6(x 1).3解法二 当Q的焦点在AB时，由(I)知直线 AB的斜率存在，设直线 AB的方程 为 y k(x 1).28由(y m) 3x消去 y 得(kx k m)28x .y k(x 1)323k2因为C2的焦点F (-,m)在直线y k(x 1)上，所以mk(- 1)，即1 mk.2k 2代入有(kx仝)28X .3333即 k2x2-(k22)x4k2 0.39设A、B的坐标分别为(X1, y1),(X2, y2),则X

13、1,X2是方程的两根,X1+ X2 =4(k22)y k(x 1)消去y得(314k2)x28k2x 4k212由于X1,X2也是方程的两根，所以X1+ X2 =8k23 4k22 2从而坐 A = -8.解得 k2 6,即 k.6 .3k23 4k2、 2 1 因为O的焦点F (-，m)在直线y k(x 1)上，所以m k .3366即m或m.33当m 6时，直线AB的方程为y 6(x 1);3当m 时，直线AB的方程为y > 6(x 1).3解法三 设A、B的坐标分别为(X1, y1), (X2, y2),因为AB既过G的右焦点F(1,0)，又是过G的焦点F (-,m),3即 X1X

14、22(4 p)39由（I）知x1 x2，于是直线AB的斜率y2yix2x13m ,且直线AB的方程是y 3m（x所以 y1 y23m(x1 x2 2)1),2m亍2 2又因为 3x； 4y； 12，所以 3(X1 X2)3x2 4y2124(yiy2)y2yix2x10.将、代入得m2|，即mm罟时，直线AB的方程为y,6(x 1);当m于时，直线AB的方程为y.6(x 1).弦长公式1已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F,M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为 2,椭 圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且IM1M2I二号，试求椭 圆的方程解:|

15、MF|max=a+c,|MF|min=a- c,则（a+c）（a c）=a2- c2=b2,2 2-b2=4,设椭圆方程为与 号1a 4设过M1和M2的直线方程为y= - x+m将代入得：（4+a2）x2 2a2mx+a2m2 4a2=0设 M1（X1,y1）、M2（x2,y2）,M1M2 的中点为（x°,y。）,则 xo=2(Xl+X2)=4a2,yo二一xo+m=4m4 a22代入尸X,得上爲4 a4m4 a2由于a2>4,.m=0,.由知Xi+X2=0,XiX2=4a22 ,a又 |MiM2|=： 2 (x x2)2 4x1x2代入Xi+X2,XiX2可解a2=5，故所求

16、椭圆方程为:2y- =1.42.( 2008全国一 21).(本小题满分 12分)双曲线的中心为原点 O ,焦点在X轴上，两条渐近线分别为11,l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交h, l2于A B两点.已知uuuuurOA、AB、OBuuuuuu成等差数列，且BF与FA同向.求双曲线的方程.OB m dAB m,(I)求双曲线的离心率；(n)设AB被双曲线所截得的线段的长为 4, 解: (I)设 OA m d ,由勾股定理可得:(m d)2m2 (md)21得：d 4m,tan AOFAOB tan2AOFAB 4OA 3由倍角公式2bab 2丄,则离心率e2.52(n)过 F直线方程为

17、b(Xc)，与双曲线方程2X2a2y_1联立将 a 2b,c '、5b代入，化简有152852 XX4bb21X1X2(为 X2)2 4X1X2将数值代入，有532上5b 2428b-,解得 b 32 y92故所求的双曲线方程为 36(山东卷)设直线l: 2x y20关于原点对称的直线为l，若I与椭圆x22-1的交41丄的点P的个数为(2点为A b,点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(福建卷)已知方向向量为v (1, . 3)的直线l过点(0, 2 32CAa1(a b 0)的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上(I)求椭

18、圆I"/ MO悴0 ( O为原点).若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由(I )解法一：直线l : y 3x3、. 3 ,(H)是否存在过点 E (- 2, 0)的直线m交椭圆C于点M N,满足OM ON过原点垂直l的直线方程为y3解得x .2椭圆中心(0, 0)关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上,a22 33.c 2直线l过椭圆焦点,该焦点坐标为(2, 0)2 2c 2, a 6, b2 22.故椭圆C的方程为-1.6 2解法二：直线l : y设原点关于直线l对称点为（p，q），则23P 2 32 解得p=3.椭圆中心（o, o）关于直线I的对称点在椭圆qPC的右准线上,

19、1.直线I过椭圆焦点,该焦点坐标为（2, 0）.2 2c 2, a 6,bx22.故椭圆C的方程为一62y-1.2(II )解法一：设 M( xyi), n ( X2, y2)当直线m不垂直x轴时，直线m : y k(x2）代入，整理得(3k21)x212k2x 12k26 0,XiX2212k22, X1 X23k 112k263k21| MN |k2 (x1 x2)2 4x1x21k212k2 )23k21),12k26423k2 12 6(1 k2)23k21点O到直线OMON - <6 cot MON ,即3|OM| ON | cosMON 4 6COS MON 0,3 sin

20、MON|OM | |ON |sin MON即4-6 |k| k24.6,34 . 6(3k23S OMN263|MN | d -V6,3整理得_33当直线m垂直x轴时,也满足故直线m的方程为y1).OMN2.332.经检验上述直线均满足 OM ON'0.所以所求直线方程为、32.3x33解法二：设M ( xi, yi)，N ( X2, y2).当直线m不垂直x轴时，直线m:k(x2）代入，整理得(3k2i)x2 i2k2x i2k260,xiX2i2k23k2 E (- 2, 0)是椭圆C的左焦点, |MN|=|ME|+|NE|= e(a- Xi) e(H X2) -(xi X2) 2

21、a + (cca.6i2k23k2 i2 6(k2 1)3k2 i以下与解法一相同解法三：设M ( xi, yi)，N ( X2, y2).设直线x ty 2，代入，整理得（t23)y24ty0.yiy24t2口,欣口I yi y2 I.(yi y2)4yiy2(t24t3)2 t2824t224(t23)2OMONMON ,即|OM | ON | cosMON 4.6cOS MON 0,3 sin MON|OM |ON | sinMON-V6,3S OMNS OMNS OEMS OENi2I0EI| yiy21224t24(t23)2 .J _=-V6，整理得t4. (t23)233t2.解

22、得t .3,或t 0.故直线m的方程为y经检验上述直线均满足 OM ON 0.22,或 x3所以所求直线方程为 y 3 x 2- ,或y3 3（广东卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2X上异于坐标原点O的两不同动点A、E满足AO BO （如图4所示）.（I）求 AOB得重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（n） AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.解：（I ）设厶AOB的重心为 G（x,y）,A（xi,y i),B(x 2,y 2),则x1 x23-OAL OB - - koA koB又点A, B在抛物线上，有x；)所以重心为G的轨迹方程为yx

23、1x2yy22X1 ,y2X2 ,13(X1X2)2-223x代入（2）yi1,即化简得X1X22x1x21(3x)23x2由（I ）得S1|OA|OB|31(x12 2 2力)(X2y2)1 22 222 "2 X1y22 2X212 21 y2AOB1)6当且仅当X； X；即x1x21时，等号成立。2 2(2006年安徽卷)如图，F为双曲线C:冷爲 1 a 0,b 0的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于 x轴上方，M为左准线上一点， 0为坐标原点。已知四边形 OFPM 为 平行四边形，PF OF。(I)写出双曲线 C的离心率e与的关系式;(n)当1时，经过焦点F且平行于0P的直线交双曲线于A B点，若AB12,求此时的双曲线方程。解：四边形 OFPM是丫 ,/ |0F | |PM |c,作双曲x线的右准线交PM于H,则 | PM | | PH |e叱|PH |0F |c2c