天津市六校(天津外大附校等)2020届高三数学上学期期末联考试题

1、天津市六校（天津外大附校等）2020届高三数学上学期期末联考试题一、选择题：共 9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设集合A x|x 2A. 0,1 U 2,4C.2 . “0 x 1” 是 “ log2(xA.充分不必要条件C.充要条件3 .过点M (3,1)作圆x2 y2A. x y 4 0C. x y 2 04 .已知数列 anb1 b6 bii 7A. 15 .设正实数a,b,c分别满足( )A. b c2 ,B2一一一一 -一-x x3x20,则 AI CRB(B.1,2D.,0 U 4,1） 1” 的（）B.必要不充分条件D.既不

2、充分也不必要条件2x 6y 2 0的切线l ,则l的方程为（）B. x y 4 0 或 x 3D. *丫20或乂3是等比数列，数列bn是等差数列，若a2 a6 a10,则 tan -b2一"°一 的值是()1 a3 a9B 、, 2C ' 2B C.22a 2a1,b log2 b 1,c2 ；a B. c b aC. cabD. 、. 3c1 ,则a, b,c的大小关系为D. a c b6.已知函数f(x) cos2xA. f (x)的最小值为 1 ；J3sin2x ,则下列说法中，正确的是（）B. f （x）在区间0，言上单调递增；kC. f（x）的图像关于点（

3、一 一，0）,k Z对称6 21D.将f (x)的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 一，可得到g(x) 2 cos( x). 2322x7.抛物线y = 2Px(p> 0)的焦点与双曲线a2y1(a> 0,b> 0)的右焦点F重合, b且相交于A, B两点，直线 AF交抛物线与另1| AF |二 | FC | ,则双曲线的离心率为( 2A.B.、,2C.D.8 .设函数fR上可导，xR,有fx f xx (0,x x恒成立，则上学x1> 一的解集为2A. ( 2,0)(0,2)B.(,2)(2,C. ( 2,0)(2,D.(,2)(0,2)9.在四边形 ABCD中,A

4、D 5BC3,60，点E在线段CB的延长线上,且ae be，点M在边CD所在直线上,则AM ME的最大值A.714二、填空题：本大题共B.2451C.D.3010.复数4每小题5分，共30分.1 i .z12i'则1z111.曲线12.在ABCDEF ,且 六 边 形 ABCDEF 是 边 长 为f (x) 2sin x cosx在点 ，f()处的切线方程为81x 五 的一项展开式中，含 x2项的系数是13 .已知六棱锥 P ABCDEF的七个顶点都在球 。的表面上，若 PA 2 , PA 底面14 .若 m n 0 ,15 .已知定义在1f(x) 22 x的正六边形，则球。的体积为

5、1的最小值为(m n)nR上的函数f (x),02x,满足 f (x 2) f(x 2),且当 x ( 2,2时，x 2,若函数g(x)x 0f (x) loga x ,(a 1) 在x (0,5)上有四个零点，则实数 a的取值范围为.三、解答题：本大题共 5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 .(本小题满分14分)在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c .已知asinA 4bsin B ,ac .5(a2 b2 c2).(I)求cos A的值；(II)求 sin(2 B A)的值.17 .(本小题满分15分)菱形 ABCD 中，ABC 120o EA

6、平面 ABCD , EA/FD , EA AD 2FD 2 ,(I)证明：直线 FC/平面EAB ；(n)求二面角E FC A的正弦值；（出）线段EC上是否存在点 M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为 叵?若不存在,»十+ 十 EM右存在,求 MC18 .（本小题满分14分）22x y 已知点A, B分别是椭圆C ： 二 1 （a b 0）的左顶点和上顶点，F为其右a b、，1焦点，BA BF 1,且该椭圆的离心率为 一； 2（I）求椭圆C的标准方程；（ii）设点p为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点m为直线ap与y轴的交点，线段AP的中垂线与X轴交于点N ,若直线OP斜率

7、为kOP ,直线MN的斜率为 kMN , 且 kOP kMN8b2 一8b-（。为坐标原点），求直线AP的方程. a19 .（本小题满分16分）已知数列an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和，S3 7 ,且a1 3,TT 13a2, a3 4成等差数列.数列 bn的前n项和为Tn,n N满足，n 1 n 2且 bi 1 ,（I）求数列an和bn的通项公式;,n为奇数(II )令Cnbn bn 2,求数列cn的前2n项和为Q2n ；an bn,n为偶数(ill )将数列an, bn的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a

8、i,b,b2,a2,a3,b3,b4, a4,a5,b5, bs,L ,求这个新数列的前 n 项和 Pn.20 .(本小题满分16分)已知 f (x) x2 4x 6ln x ,(I)求f(x)在1, f (1)处的切线方程以及 f(x)的单调性；1(n)对 x 1, ，有xf(x) f(x) x2 6k 1 -12恒成立，求k的最大整x数解；(出)令g(x) f (x) 4x (a 6)ln x ,若g(x)有两个零点分别为 为*2(为 x2)且x0为g(x)的唯一的极值点，求证：为3x2 4x0.20192020学年度第一学期期末六校联考高三数学参考答案、选择题：共 9小题，每小题5分，共

9、45分.15: AACDB 6 9: BDCA二、填空题:本大题共6小题，每小题5分,30分.10. 12x y 1 212. 7013 414.15. （3,4U（5,三、解答题:本大题共5个小题，共75分.16.（本小题满分14分）解:（i）由 asinA 4bsinB,及 sinAsinB 'a 2b. （2分）（n）由 ac '一 5 a2 b22 一 .、 一 c 及余弦定理，得cosA,22b c2bc由（I）,可得sinA亭,（7分）代入asinA4bsinBasinA 信 sinB 4b（8分）由（I）知,A为钝角,所以cosB 1. 2 , sin B于是si

10、n2 B2sinBcosB4二，（10 分）5cos2 B 1232sin B -， 5（11分）故sin 2B Asin2 BcosA cos2 BsinA17.（本小题满分15分）5ac5 ac,J.5（6分）亚.（9分）53 2.5（14 分）uur uuuruuur解：建立以D为原点，分别以 DA, DT （T为BC中点），DF的方向为x轴，y轴,轴正方向的空间直角坐标系（如图），（z 1分）则 A 2,0,0 , B 1,73,0 , C1,出,0 ,D 0,0,0 ,E 2,0,2 ,0,0,1 . （2分）1,73,0 ，uuuuuur（I）证明：EA 0,0, 2 , ABr设

11、n x, y, z为平面EAB的法向量,2z 0x 3y 0r uuu皿 n EA 0贝U r uur ，即n AB 0可得 n73,1,0,（3 分）uuir又FC1, .3,r uur1，可得n FC又因为直线FC 平面EAB,所以直线FC平面EAB; （5分）uuuruuir一 uur（n） EF 2,0, 1 , FC1,J3, 1 , FA 2,0, 1 ,IT设n1 x, y, z为平面EFC的法向量，ir uuurn1 EF 则 ur uuurn1 FC2x z 0ur,可得n1x J3y z 03,73,6 , （6 分）ur设n2x, y,z为平面FCA的法向量,uu uuu

12、n2 FA 0则 uu uuur,即n2 FC 02x z 0uul,可得n2x 、. 3 y z 01,73,2 , （7 分）ur uu所以 cos： n1，n2ur urni n24（8分）所以二面角E FC A的正弦值为 亍 ；（9分）uuuu uur一（出）设 EM EC 3 ,V3 , 2 ，则 M 2 3 ,73 ,2 2, （10分）uuul uuuur一则 BD 1, <3,0 , DM 2 3 ,V3 ,2 2, （11 分）rn设n3 x, y,z为平面BDM的法向量，ur uuurn3 BD 0x 3y 0则 uu uuuur，即，n3 DM 02 3 x ,3

13、y 2 2 z 0uu 233可得 n3瓜 1,23 , （12 分）1uur由EB2 ,得uur uu cos EB, n32 3 22 33-28（13 分）17EM1斛信 一或 一（舍），（14分） 所以 -.（15分）48MC 318.（本小题满分14分）解：（I）依题意知：A（ a,0）, B（0,b）, F（c,0）, BA （ a, b） , BF （c, b）, （1 分）2贝U BA BF ac b1 , （2分）又b .3,（3 分），椭圆C的标准方程为2 y_3（4分）（II ）由题意A（ 2,0）,设直线AP的斜率为k,直线AP方程为yk（x 2）所以 M（0,2k）,

14、设 P（xp,yp）, AP 中点为 H（xH，yH）, N（xn,0）k（x2 y32）消去 y 得（3 4k2）x2 16k2x 16k2 12 10 （ 5 分）xp_ 2-16k123 4k2 P（6 8k22，一4k 3 H（8k26k3 4k2 ,3 4k工）（9分）AP中垂线方程为：y6k3 4k28k2行）令y0得xN2k23 4k2. N（43 4k2,0） （10 分）koP也 xp6k八2，（11 分）3 4kkMN2k2k24k23 4k2（12 分）kOP kMN （上）（3 4k23 4k2-）8 b212k2解得3 八（13 分）2，直线AP的方程为y3/-（x2

15、2）3x2y（14 分）19.（本小题满分16分）（I ）由已知,a a2 a3（a； 3） （%7,4）a1a1a?6a2a3 7a3也即3a2a1（1a1（16qq2）q2）解得a1 1q 2故数列an的通项为an2n 1. （2 分）7（1分）7（II）aTn 1TnnTn是首项为1,公差为n1 ，1的等差数列，（3分）2Tn bnQ2n(C1(n(nn2n1391)- U Tn22* N ) (5分)一 ,n为奇数21,n为偶数(5分)n(n 1)(n*.N ) (4 分)C3 Lc2n 1) (C2 C4 LC2n )2n 193n J 4-19(9分)3n 14n2n 191 (1

16、0 分)（ill ）数列an前n项和Sn2n1,数列bn的前n项和Tnn(n 1)当2k (k N),PnSkTk2k1 k(k 1)n2"当4k-3(k当1 时，P nP1当2时,n(n 2) 八(11 分)8PnS2k 1T2k 222k(2 k 2)(2 k21)(n1)(n 1) 八-(13 分)8当n 4k-1 (kPnS2k 1T2k22k 1_n 1(2k)(2k 1) 2-22(n3 (15 分)8综上Pn20.（本小题满分nn(n 2)22 1,n 2k8on2" (n 1)(n 1)2 2 1,n 4k 381,n 12、1 (n 3)(n 1),n 4

17、k 1 816分)(16 分).一6.解：(I) f (x) 2x 4 ; (1 分)xf (1)8, f(1)3; (2 分)所以切线方程为y(3分),2f (x) -(x 1)(x x(5分)3）,所以f （x）的单调递减区间为（0,3）单调递增区间为（3,）.(n) xf (x)f(x)6k 1x xln x12等价于k h(x)min ；(6 分)h (x)ln x-2-1(7分)记 m( x)ln x, m (x)0,所以m（x）为（1,）上的递增函数,(8分)且 m(3)In 30, m(4)In 40 ,所以 x0(3,4), st m(x0)即Xo2lnXo0 , (9 分)所

18、以h（x）在（1,xo）上递减,在（%,）上递增,Xo Xo ln Xo 且 h(x)min h(x0)Xo 1Xo(3,4); (10 分)所以k的最大整数解为3. （11分）(“)g(x) x2 a ln x, g (x) 2x - x、2x . a 2x 、，a /日0，得Xo(12 分)当 x(0，杼,g'(x) °, x (J2),g '(x) 0 ；所以 g(x)在(0, la)上单调递减，(Ja,)上单调递增，而要使g(x)有两个零点，要满足g(x°) 0,a In a 0 a 2e ； (13 分)网月 0 xi , x2 祗，令 x2 t(t 1)'22由 f(xi)f(x2)xialnxi x2 aln x2 ,22 22 a ln t即：x1 a ln x1 t x1 aln tx1x1,t2 1