函数恒成立存在性与有解问题

1、函数恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：a > f (x )恒成立:a a f (xmax； a M f(x)恒成立二a M f (x in2、能成立问题的转化：a > f (x )能成立=a a f (xmin; a < f(x他成立=a < f (x axfa > f (x衽M上恒成立3、恰成立问题的转化:a > f (x成M上恰成立 仁a > f (x)的解集为 g V ' '一' '' 'a<f (xCRM 上恒成立另一转化方法：若xwD,f(x)之A在D上恰成立，等价于f(x)

2、在D上的最小值fmin(x) = A，若xw D, f(x)wB在D上恰成立，则等价于f (x)在D上的最大值fmax(x)=B.4、设函数f(x'g(x ),对任意的 x w la , b ,存在 X2 三 C , d 】，使得f (x1)之 g(x2 ),则 fmin (x)> gmin(x)5、设函数f(x卜g(x ),对任意的 x1 w 匕，b，存在 x2 w C, d】，使得f (x1 )< g(x2),则 fmax(xgmax(x)6、设函数f(x卜g(x )，存在 x W a, b，存在x2 W C,d 】，使得 f(x1户 g(x2 ),则 fmax(x )

3、之 gmin(x )7、设函数f(x卜g(x 卜存在 Xi W L b，存在x2 W C,d ，使得 f (Xi)Wg(x2 ),则 fmin(x gmax(x)8、若不等式f(x)>g(x港区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y=f(x)和图象在函数y=g(x)图象上方；9、若不等式f(x)cg(x/区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y=f(x)和图象在函数y=g(x)图象下方；例题讲解：题型一、常见方法2a1、已知函数 f (x) = x 2ax+1, g(x)=，其中 a >0 , x #0 .x1)对任意xw1,2,都有f (x) >g(x)恒成立，求实数a的取

4、值范围；2)对任意x1 w1,2,x2 w 2,4,都有f(x1) Ag(x2yi1成立，求实数a的取值范围；a ._ 11 一2、设函数h(x) = +x +b ,对任意a u一,2,都有h(x) <10在x = 一,1恒成立，求实数b的取值范围. x243、已知两函数f(x)=x2,数m的取值范围为Xi乏b,2，存在X2三1,21使得f (Xi) > g(x2 ),则实题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足p <2的所有实数p,求使不等式x2 + px + 1 > p +2x恒成立的x的取值范围。2、已知函数f(x) Tn(e

5、x 4a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数 g(x尸” (x)+sinx是区间L1,1上的减函数, (I)求a的值；(n )若g(x) M2+与+依xP,1 上恒成立，求t的取值范围；题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)1、当xw(1,2)时，不等式x2+mx+4 M0恒成立，则m的取值范围是题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)1、若对任意xw R,不等式|x七ax恒成立，则实数a的取值范围是 2、已知函数f (x )=x2 -2kx+2 ,在x之恒有f (x庐k ,求实数k的取值范围。题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法

6、若在区间D上存在实数x使不等式f (x )>A成立，则等价于在区间D上f(x)max>A； max若在区间D上存在实数x使不等式f (x )< B成立，则等价于在区间D上的f (x)min < B.1、存在实数x ,使得不等式x+3 -+jx-1 Na2 -3a有解，则实数a的取值范围为 。12、已知函数f (x ) = ln x-一 ax'2x(a # 0 )存在单调递减区间，求 a的取值氾围 2小结：恒成立与有解的区别恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。不等式f(xJ<M对XWI时恒成立二f

7、max(x) <M?, XWI。即f(X)的上界小于或等于M ;不等式f(XJ<M对XWI时有解 仁fmin(x)<M?,X曰。或f (X)的下界小于或等于M ;不等式f(x)>M对XWI时恒成立 U fmin (x) >M?, XWI。即f(X )的下界大于或等于M ;不等式f(X)>M对XWI时有解U fmax (x) >M , XI . O 或f (X )的上界大于或等于M ;课后作业：1、设a >1,若对于任意的x三a，2a,都有y w a,a2满足方程loga x+ loga y = 3,这日a的取值集合为()(A) a1 <a&

8、lt;2(B) a|a>2(C)a|2<a<3( d) 2,3X - y < 02、若任意满足<x+y-520的实数x, y ,不等式a(x2+y2)M(x + y)2恒成立，则实数a的最大值是 .y -3 ,03、不等式sin 2 x _4sin x+1 _a父0有解，则a的取值范围是 4、不等式ax 4 Jx(4 _x )在xw 10,3】内恒成立，求实数 a的取值范围。5、已知两函数 f(X )=7x2 _28x _c , g(x )=2x3+4x2 -40x。(1)对任意x f-3,3,都有f (x )Wg(X )成立，求实数c的取值范围;(2)存在xW，

9、3,使f(x0(x贼立，求实数c的取值范围；(3)对任意 人 ,X2 W -3,3 都有f (X1 Jg (X2 ),求实数C的取值范围；(4)存在Xi , X2 e U,3 ,都有f (Xi )<g (X2 ),求实数c的取值范围；6、设函数 f(x) = -1x3 +2ax2 -3a2x +b (0 <a < 1, bR)3,(i)求函数f (x )的单调区间和极值；(n)若对任意的xWa+1,a+2,不等式f'(x，Wa成立，求a的取值范围。7、已知 A B、C是直线1上的三点，向量 OA Ob, O：满足：oA _|y+2f'(1%oB+ln(x+1)

10、QC=0.(1)求函数y=f(x)的表达式；2x(2)若 x>0,证明：f(x) >x+ 2 ；(3)若不等式1x2 wf仅2 )+m2 2bm 一3时x W匚1,1 及b W匚1,1次时亘成立，求实数 m的取值范围.28、设 f (x )=px - -2ln x ,且 f(e )=qe - -2 (e 为自然对数的底数) xe(I)求p与q的关系；(II)若f(x庇其定义域内为单调函数，求p的取值范围；(III)设g(x)=丝，若在1,e】上至少存在一点xo,使得f(X。)>g(xo )成立，求实数p的取值范围函数专题4:恒成立问题参考答案:题型一、常见方法1、分析：1)思

11、路、等价转化为函数 f(x)g(X)A0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决.2 )思路、对在不同区间内的两个函数a 简解：(1)由 X2 2ax+1 >0 = xf (x)和g(x)分别求最值，即只需满足 fmin(x> >gmaXx)即可.x3 x一 一x3 x . 一 . 一a <一 成立，只需满足 邛(x) =一 的最小值大于 a即可.对3中(x) = x 2 x 求导，5'(x) =2x 12x422(2x2 1)22>0,故中(x)在xW 1,2是增函数，中min (x)=5(1)=,所以a的32x 12x 12取值氾围是0 <a

12、<一.32、分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数.以本题为例，实质还是通过函数 求最值解决.方法 1：化归最值，h(x) <10 hmax(x)<10；ao万法 2：变量分离，b <10 ( +x)或 a wx2 +(10 b)x ； x11方法 3：变更王兀，中(a) = a+x+b-10<0, a w ，2x2.(但一心”,x xa .间解：方法 1：对 h(x) = g(x) + x + b = +x+b 求导, x1 .1-由此可知，h(x)在1,1上的最大值为h(1)与h(1)中的较大者. 44h(1) <1014a+1

13、+bE101bM39Ta17，“ 4= $4=> 44,对于任意a亡一,2,得b的取值范围是b <-,h(1) .101 a b _10b _9-a243、解析：对任意 x 0,2，存在x2 = 1,2，使得f(x1)之g(x2 )等价于g(x) = - ； -m在1,2】上的最小值1 -m不大于f(x)=x2在0,21上的最小值0,既1mM0,，m之1444题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、解：不等式即(x-1 )p+x22x+1 >0,设 f ( p )= (x 1 )p + x22x+1 ,贝U f ( p )在-2,2上恒大于 0,

14、 f -20- lx -4x 3 0- lx 3或x；1故有：«=4=4=x<-1 或 x>3f 2 0x2 -1 0x 1或x < -12、( n)分析：在不等式中出现了两个字母：儿及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将 儿视作自变量，则上述问题即可转化为在(叼-1】内关于九的一次函数大于等于 0恒成立的问题。(n)略解：由(I)知：f (x) =x ,，g(x) =Zx+sin x , ： g(x)在T,1 上单调递减，g'(x) =?+cosx E0,九 M-cosx 在 Li,i上 恒成立，.九E1,b(x) lax =g

15、(-1)=-Zsin1 ,二只需一九一sin1Wt2+ 用+1,.(t 十)九十t2+sin1+120(其中九E1)恒成t 1 -0立，由上述结论：可令f(Aj=(t +1)九+t +si n什生/0(手7则42,T -Lt 飞口1 _1 _0t2 -t +sin 色惬成立，,t ET。题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)1、当xw(1,2冲，不等式x2+mx+4 <0恒成立，则m的取值范围是2 .解析：当 xw(1,2)时，由 x2 +mx + 4<0得 m<-x 4 . - m< -5. x题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、

16、根的分布法)1、解析：对 v xw R,不等式| x|之ax恒成立、则由一次函数性质及图像知1 Ea E1 , gp -1<a<1 o2、分析：为了使f (x )>k在xw口,也)恒成立，构造一个新函数F(x )=f (x J-k , 则把原题转化成左边二次函数在区间口,也归恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。解：令F (x )=f (x廿=x2 _2kx+2_k ,则F (x心0对xw"丑胆成立，而F (x运开口向上的抛物线。当图象与 当图象与fx轴无交点满足 A<0 ,即A=4k2 -2(2 -k/0 ,解得二(心

17、1。x轴有交点，且在XW 口,也)时F (x户0 ,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得:-： ,0牛庐0解得-2k .- 1,2-3 <k <-2,故由知 4生父1。小结：若二次函数2a ,02y =ax，bx-ca -0)大于0恒成立，则有标0,同理，若二次函数y=ax2+bx+c(a=0yj、于0, , a ： 0恒成立，则有 L 。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识 . -：二0求解。题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法若在区间D上存在实数x使不等式f (x )>A成立，则等价于在区间D上f (x)maxA

18、；若在区间D上存在实数x使不等式f (x K B成立，则等价于在区间D上的f (x)min < B.1、解：设 f (x )=x +3 +x -1 ,由 f (x )Wa2 -3a 有解，=a2 4a >f (x 品，又 x +3 + x 1 2(x +3 )x 1 jj=4 ,.a2 3a >4 ,解得 a 24或 a Wo 22、解：因为函数f (x而在单调递减区间，所以f'(x)=1_ax_2 = _ax-丝二1<0xx12_ 12(0,收 府解.即a > = (x=(0,8)能成立,设u(x ) = =.x2 xx2 x,1212由 u (x )=

19、 2 一1 一1 信，umin (x-1.于是，a >-1,x2 x x由题设a#0,所以a的取值范围是(1,0m(0,收)课后作业:a31、B。解析：由方程logax十loga y =3可得y =，对于任意的x23x匚a,2 a ,可得 w w a2 ,依题意得2 x2a ：上a 2 = a»22a之a、25. . o oo a M12、答案： 石。解析：由不等式 a(x +y )E(x + y)可得2x . y ,由线性规划可得1E2。x 2y x3、解：原不等式有解=a>sin2 x-4sin x 力=(sin x2 j3(TsinxM1行解，而(sinx -2J-

20、31=-2,所以 a>2。4、解：画出两个曲数 y =ax和y = Jx(4 _x)在xw0,3上的图象如图知当 x=3时y=J3, a=433当aw立,xw"3 时总有ax Jx(4x)所以aw叵 3335、解析：(1)设 h(x 内(xJ_f (x)=2x3-3x2 _12x+c,问题转化为xw_3,3时，h(x)之。恒成立，故hu (x利0。令h(x)及x2-6x_12=6(x+1jx_2)9,得x=或2。由导数知识，可知 h(x取_3,_1单调递增，在 口,2 单调递减， 在2,3 惮调递增，且 h(-3)=c45,h(x$大值=h(-1Tc+7 ,h(x 小值=h(2

21、)=c 20 ,h(3)=c9，.二储 x 产卜 3cji5,由 c -45 >0 ,得 c >45。(2)据题意：存在x = E3,3 ,使 f(x)Eg(x)成立，即为：h(x g(x)-f(x/0 在 xw_3,3有解，故hmax(x)之0,由(1)知hmax (x尸c+7如，于是得c 4。(3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意xW匕,3,都有f(x1 )<g(x2成立,不等式的左右两端函数的自变量不同，x2的取值在33上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是：fmax(x)«gmin(x)?x-3?3。f Jx )=7(x -

22、2) -c 28,x U,3/. f (x max =f(-3 )=147 -c , g'(x )=6x2 +8x0=2(3x+101x2 ), . . g'(x 尸0在区间 口,3上只有一个解 x =2。 g(x min =g(2)=乂8,147_c<48,即 c 2 195.(4)存在 心,3,都有 f(x1 声色),等彳介于 fmin (Xi )<gmax(x2 ),由(3)得 fmin(x)=f(2)=-c-28, gmax (x2 尸g(-3) = 102, c28 4102m c > -130点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径

23、庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使 用其成立的充要条件。6、解：(I) f (x) =x2+4ax3a2(1 分)令f '(x) a0,得f (x)的单调递增区间为(a,3a )令f'(x) <0,得f(x)的单调递减区间为(一 8，a)和(3a, +8)(4分)当 x=a 时，f (x)极小值= 3a3 +b;4当x=3a时，f (x)极小值=b.(6分)(n)由 | f '(x) | Wa,得aw x2+4ax3a2Wa.(7 分)0<a<1 ,a+1>2a.，f'(x)=x2 + 4ax 3a2 在a+1,a+2上是减函数.

24、(9 分). f (x)max = f (a 1) =2a-1.f (x)min = f(a 2) =4a-4.于是，对任意X Wa +1,a +2,不等式恒成立，等价于a 4a 4,44，解得一EaE1.又 0<a<1,. 4 <a <1.©之 2a -1.557、解：(1) . OAv y + 2f /(1)OB+ ln(x + 1)OC> 0, . . M y + 2f /(1)OB - ln(x + 1)OC由于 A、B C 三点共线 即y+2f/(1)+ ln(x +1) =1 2分.y = f(x) =ln(x +1) + 1 2f/(1)

25、11f /(x)=XT7，得 f /(1)=2，故 f(x) =ln(x +1) 4分2x12(x + 2) 2x x2(2)令 g(x) =f(x) x+2，由 g/(x) =x+1 (x + 2)2=(x + 1)(x +2)2,- x>0,g/(x) >0, g(x)在(0 , +8)上是增函数 6分故 g(x) >g(0) =02x即 f(x) >x+2 8分1(3)原不等式等价于 2x2 f(x2) < m2 2bm- 310分112x x3 - x令 h(x) =2x2 f(x2) =2x2 ln(1 +x2),由 h/(x) = x 1 + x2 =

26、 1 + x2当 xC 1, 1时，h(x)max =0,，m2 2bm 3> 0Q(1) =m2- 2m- 3>0令 Q(b) = m2- 2bm 3,则，(1)=m2+ 2m 3>0得 m> 3 或 m< 3 12 分qP _118、解：(I) 由题思得 f(e)=pe 2lne=qe2n (pq). e + - 1=0而3 + ¥0,所以 p = q eeee2(II) 由(I) 知 f (x)=px2ln x,(x 户 p+4一= px _2x P 4 分 xx x x令h(x )= px2 2x + p,要使f(x )在其定义域(0,+ 内为单

27、调函数，只需 h(x)在(0,+ 6)内满足：h(x)> 0或h(x) < 0恒成立5分2当p40时，px M0,2x<0= h(x)<0,所以f (x )在(0,+ s)内为单调递减，故p<0；C21当pA0时，h(x)=px 2x+p ,其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x= w(0,+R),pf 7x)>0,p>1 或 p < 02-x = p (1 +.111 LK 1 - rrhmin (x ) = h =p，只需 pA0,即 p> 1 时，h(x) >0, pP) ppf (x) 在(0,+ 内为单调递增，故p >1适合题意.综上可得，pp另解：(II) 由(I) 知 f (x) = px x 2ln x f ' (x) = p +x-2"要使f (x) 成立.在其定义域(0,+ oo)内为单调函数,只需f ' (x)在(0,+ 内满足：f' (x) > 0或f ' (x) w 0恒p >(1 )max , x > 0x + X(1 )max = 1x + x2xu p W (x 2 + 1 )min , x > 0p w 0时，由(II) 知f (x) 0 < p < 1 时，由 x w 1,