勾股定理试题分类

1、A/S3/Si/BS2XA、VS3Si/BCS2AB.根据此图证明勾股定理数学八年级下册第十七章勾股定理【题型一】勾股定理的验证与证明1. 如图，每个小正方形的边长是1,图中三个正方形的面积分别是S、S2、S3,则它们的面积关系是 ，直角 ABC的三边的关系是参考答案：用数方格的方法或用面积公式计算三个正方形面积，得出s+S2= S3,从而得到：aB+bC=aC.2. 如图，每个小正方形的边长是 1,图中三个正方形的面积分别是S、S2、S3,则它们的面积关系是 ，直角 ABC的三边的关系是.参考答案：对于S3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法”或“相 加法”用面积公式计算三个正方形面积，得

2、出Si+S2= S3,从而得到：ab+bC=aC.3. 如图，是由四个全等的Rt拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗?参考答案：由 S大正方形=4®厶+S小正方形，得2 1 2c = 4 x - ab+(b a)22 , 22二 a +b = c .4. 如图，是由四个全等的 Rt拼成的图形，你能用它证明勾股定理吗?参考答案：由 S大正方形=4®厶+S小正方形，得2 1 2(a+b) = 4 x ab+c22 . 22 a +b =c.5. 如图，已知/ A=Z B= 90°且厶AEDA BCE A、E、B在同一直线上参考答案：先证明 DCE是等腰直角三角形，再根据

3、梯形面积为三个 三角形面积之和得1 2 1 1 2(a+b)2222 . 2 2- a +b = c.6. 如图，一个直立的火柴盒倒下来就可以证明勾股定理，请你根据图形，设计一种证明方法参考答案：方法类似第5题.7.（ 2011温州） 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”后人称其为“赵爽弦图”（如图1 1）.图1 2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图1 2中正方形 ABCD正方形EFGH正方形MNKT的面积分别为 S, S,S3,若S1+S+S=10,贝y S的值是参考答案:103來朮喬竇-8. （ 2010湖北孝感）问题情境勾股定理是一条古老的数学定理

4、，它有很多种 证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利 用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出 把数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作 为地球人与其他星球 人”进行第一次谈话”的 语言。定理表述图12请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）尝试证明以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图 2）,请你利用图2，验证勾股定理;知识拓展利用图2中的直角梯形，我们可以证明：i 2.其证明步骤如下:丁 BC =a +b, AD =又在直角梯形 ABCD中有BC AD （填大小关系），即c参考答案：定理表述2 丄22如果直角三角形的两直角边

5、长分别为a、b,斜边长为c,那么a b = c ,尝试证明Rt ABE 也 Rt ：ECD, AEB 二 EDC,又.EDC . DEC =90 ,. . AEB . DEC =90.AED =90 .'S梯形 abcd = SRt ABE ' SRt.DEC ' SrAED ,1 111 (a b)(a b) ab abc2.2 22 22 2 2整理，得a b =c .知识拓展AD - . 2c, RC ： AD, a b ：、2c【题型二】以勾股定理为基础的有趣结论1. 如图， 根据所标数据，确定正方形的面积A=参考答案：10,144, 1600.2.如图，直线l

6、积分别为5和11,则b的面积为多少?参考答案：先证两直角三角形全等，得 正方形b的面积为16.3.如图，以直角三角形的三边向形外作等边三角形，探 究S、Sb和Sc之间的关系.上有三个正方形 a、b、F参考答案：显然Sa bce= 13 a2,4S =巧 b2 S =Sa acd=b , Sa abf42 2 2又 a +b =c二 Sa+Sb= Sc.4.如图，以直角三角形的三边向形外作等腰直角三角形, 探究S、Sb和Sc之间的关系.B参考答案：类似上一题5. 如图，以直角三角形的三边向形外作半圆，探究Sa、Sb和Sc之间的关系参考答案：类似上一题6. 如图，已知 ABC中，/ ACB= 90

7、°，以 ABC的各边为长边向形外作 矩形，使其宽为长的一半，则这三个矩形的面积S、S2、S3之间有什么关系，并证明你的结论参考答案：类似上一题7. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形边长为7cm,则正方形 A、B C D的面积之和为多少？参考答案：49cm2.8. 如图，在水平面上依次放置着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是 a、b、c,正放置的四个正方形的面积依次是Si、S2、S3，贝VS1 +S2+S3+ S4=. 参考答案：a+c【题型三】利用勾股定理求边长和进行论证【选择题】1. 在 Rt ABC中，/ C= 90°

8、;, a= 12, b= 16,贝U c 的长为（）A.26B.18C.20D.21参考答案：C2. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（3,4），则0P的长为（）A.3B.4C.5 D.7参考答案：C3. 在 Rt ABC中，/ C= 90°,/ B= 45° ,c = 10,贝U a 的长为（）A.5 B.C.参考答案：C4.等边三角形的边长为则该三角形的面积为（C. 2'、3D.3参考答案：B5. 若等腰三角形的腰长为A.6B.7C.8参考答案：C6. 若一个三角形的三边长为10,底边长为12，则底边上的高为（D.93、4、x,则使此三角形是直角三角形的x的

9、值是（A.5 B. 6 C.-7D.5 或 7参考答案：D7. 下列各组数中以A.a=2 , b=3, c=4c=5 参考答案：A8. 要从电杆离地面A.10mB.11m参考答案：C9. 现有两根木棒，长度分别为44 cm和55 cm .若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（）.A.22 cmB.33参考答案：B10. 个直角三角形，有两边长分别为6和8,下列说法正确的是（A.第三边一定为 1010参考答案：D11. 直角三角形的斜边为A . 27cm B. 30cm C.参考答案：D12将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ A 直角三角形 B 锐角

10、三角形 C 钝角三角形 参考答案：A13. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口 A出发向东北方向航行，船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A. 25海里B. 30海里参考答案：D14. （2010山东临沂）如图，AABC和 DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接 BD，则BD的长为（a,b, c为边的三角形不是 Rt 的是()B.a=7, b=24, c=25C.a=6,b=8, c=10D.a=3,b=4,A.参考答案:5m处向地面拉一条长为 13m的电缆，则地面电缆固定点与电线杆底部的距离应为C.12mD

11、.13mB2、3cmB.20cm,40cmC.44cmD.55cm三角形的周长为 25 C.两条直角边之比为 3 : 4,D.48cmC. 35海里D. 4.3）三角形的面积为48 D.那么这个直角三角形的周长为（D. 40海里第三边可能为15. (2010BC= 8 cm,广西钦州市）如图是一张直角三角形的纸片， 两直角边AC= 6 cm 现将 ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为 DE贝U BE的长为A.4 cm参考答案：B.5 cm C.6 cm D.10 cmB( )16.（2010广西南宁）图中，每个小正方形的边长为1, ABC的三边a,b,c的大小关系式（A. a : c : b

12、B. a : b : c C. c a : b D. c b a 参考答案：C17.（ 2011山东烟台）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心 0到三条支路的距离相等来连接管道，则0到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心0为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m参考答案：C18. （2011湖北黄石）将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角 板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为（）A. 3cm B. 6cm C. 3.

13、2 cm D. 6, 2 cm参考答案：D19. （2011贵州贵阳）如图， ABC中，. 是BC边上的动点，贝U AP长不可能是（参考答案：D20. 直角三角形三边的长分别为3、4、x,A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.C=90°, AC=3 / B=30°,点 P）则x可能取的值有（）.无数多个参考答案：B斜边可以为4或x,故两个答案.21.如果Rt两直角边的比为5 : 12，则斜边上的高与斜边的比为（A.60 : 13B.5 : 12参考答案：D22.直角三角形一直角边长为A.121B.120C.132 D.参考答案：CC.12 : 13D.60 : 16

14、911，另两边均为自然数，则其周长为（以上答案都不对【填空题】1.已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为参考答案：12或7 +7 提示：因直角三角形的斜边不明确,结合勾股定理可求得第三边的长为5 或' 7 ,所以直角三角形的周长为3 + 4+ 5= 12或3 + 4+ 7 = 7+ 7 .2. 直角三角形两直角边长分别为3和4,则它斜边上的高为 .12参考答案：53. 直角三角形两直角边长分别为 5和12,则它斜边上的高为 .参考答案：60，提示：设斜边的高为 x，根据勾股定理求斜边为122 5 . 169 =13，再利用面13积法得，1 5 12 = 13 x, x60

15、;22134. 如图，学校有一长方形花圃，长4m,宽3m。，有极少数人为了避开拐角走捷径，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少了 步路（2步为Im），却踩伤了花草.参考答案：4.5. 图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角 形围成的若 AC=6 BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图 2实线部 分）是 参考答案：76.6. 如图，将一根长 24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯外的长度为h cm，则h的取值范围是 参考答案：11 < h&l

16、t; 12.7. 在 Rt ABC中，/ C=90° ,AB=15,BC:AC=3:4,贝U BC=.参考答案：9.8. 已知：如图，在Rt ABC中，/ B=90°, D E分别是边 AB AC的中点，DE=4 AC=10, 则 AB=.参考答案：6.9. 已知两条线段的长为 9cm和12cm,当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形参考答案：15或3 T10. 在 RtABC中，/ C=90°, (1 )若 a=5, b=12，贝U c=; (2) b=8, c=17，贝U SBC =.参考答案：136011 . （2010辽宁丹东市）已知

17、ABC是边长为1的等腰直角三角形，以 Rt ABC的 斜边AC为直角边，画第二个等腰 Rt ACD再以Rt ACD的斜边AD为直角边，画 第三个等腰Rt ADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 .参考答案：（2）n12. （2010浙江省温州）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.l955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中， 已知/ ACB=90，/ BAC=30 , AB=4.作 PQR 使得/ R=90°,点H在边QR上，点D, E在边PR上，点G, F在 边_PQ上

18、，那么 PQR的周长等于 .参考答案：27 + 13.3.13. （2010湖北鄂州）如图，四边形 ABCDK ABACAD E是CB的中点，AE=ECBE/ BA（=3Z DBC BD=6运+6苗，贝U AB.参考答案：1214. （2010 河南）如图， Rt ABC中，/ C=90° ,/ ABC=30 , AB=6.点 D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点 B C重合），且DA=DE则AD的取值范 围是.参考答案：2 WAD < 315. （2010山东淄博）如图是由 4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为-5的

19、线段参考答案：816. （2010黑龙江绥化） RtAABC中，/ BAC=90, AB=AC=2以AC为一边，在 ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为.参考答案：4或2,5或1017. （2011重庆綦江）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米，坡2 2角/ A= 30°/B= 90°,BC= 6米.当正方形 DEFH运动到什么位置，即当AE=米时，有DC = AE +BC2.参考答案:14【解答题】1.如图，在 Rt ABC中，/ ACB=9C° , CD!AB BC=6, AC=8, 求AB CD的长参考答案：

20、在 Rt ABC中，BC=6 AC=8AB 2 =AC 2 + BCAB= - 36 84 = /100 = 1 0AC BC 6 8CD= 4.8AB 102.如图，是由五个边长相同的小正方形组成的“红十字”形, 试求/ BAC的大小.参考答案：/ BAC=45A、B、C均在顶点上,3. （2011四川广安）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造.测得两直角边长为6m 8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形.求扩建后的等腰三角形花圃的周长.参考答案：由题意可得，花圃的周长=8+8+8、. 2 =16+8、24. 如图，正方形网格中的每个小正方 形边长都是1，

21、每个小格的顶点叫做格 点，以格点为顶点分别按下列要求画 三角形（涂上阴影）.在图1中，画一个三角形，使它的 三边长都是有理数；在图2、图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.（两个三角形不全等）5. 已知：如图， ABC中，/ C=90°, D是AC的中点. 求证：aB"+3bC=4bD.参考答案：ABC中，/ C=90°,aB = bC+aC, aB+3BC= 4BC+AC,又 bc=bD cD, aB+3bC= 4BD 4CD+aC,又 AC=2CD aB+3bC=4BD【题型四】勾股定理在非直角三角形中的应用【选择题】1.若厶 ABC中, AB

22、 "3cm, AC “5cm，高 ad=12,则 BC的长为（）A、14 B 、4 C 、14或4 D 、以上都不对参考答案：C2 一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和底边上的高的长度，但他却把这三个数据弄混了，请 你帮他找出来，应该是（）A. 13 , 12, 12 B 12, 12, 8 C 13, 10, 12 D 5, 8, 4参考答案：C【填空题】1.等腰三角形ABC的面积为12 cm 2,底上的高AD= 3切，则它的周长为cm.参考答案：由面积求出底边为8,进而求出腰围5，故周长为18.2. （ 2010四川宜宾）已知，在 ABC中，/ A= 45 ° A

23、C= 2, AB=羽+1，则边 BC的长为参考答案：2.D3.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境， 已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要元.参考答案：150a.【解答题】1. 如图， ABC中，AC= 12,/ B= 45°,/ A= 60° . 求厶ABC的面积.参考答案：54 + 18.3（作CD丄AB于D）2. 已知等腰三角形腰长为 10,底边长为16，求它的面积 参考答案：48 （作底边上的高）CAB3 .已知：如图，在 ABC中，AB= 15, BC= 14 , AC= 13.求 ABC的面 积.参考答案

24、：作任一边上的高，用勾股定理建立方程，求解【题型五】禾U用勾股定理求不规则图形的面积1.如图，/ B=Z » 90°,/ A= 60°, AB= 4, CD= 2. 求四边形ABCD的面积.参考答案：6J3 （分别延长AD BC或分别延长AB DC转化成特殊的直角三角形研究）2.如图，每个小正方形的边长都是1,求图中格点四边形 ABCD勺面积.D25参考答案：（用正方形面积减去四个直角三角形面积或转化成2以AC为底的两个三角形求解）D3.如图，四边形且/ ABC= 900,ABCD中, AB= 3cm, BC= 4cm, CD= 12cm, DA= 13cm, 求

25、四边形ABCD勺面积。参考答案：连接AC/在 Rt ABC中,2 2 2AC =AB +BCAC = . 916 =5cms aBc=ABC23 42=6cm2在厶 ACD中, AC 2 +cD=25+144=169, Da=132=169,2 2 2 DA =AC +CD & AC= AC DC =30 cm22 22 S 四边形 ABCD= Sabc+ S ac=6+30=36 cm4.已知：如图，四边形 ABCD中 / B, / D是 Rt / , / A=45°,若 DC=2cm, AB=5cm, 求AD和BC的长.参考答案:3, 5 - 2 2 （分别延长AD BC

26、或分别延长AB DC转化成特殊的5.四边形 积.参考答案:直角三角形研究）ABCD中, AD丄 DC AD=8 DC=6 CB=24, AB=26求四边形 ABCD的面144 （连接 AC）C【题型六】勾股定理与方程（组）【选择题】2 m,当他把绳子1. 小明想测量教学楼的高度他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了 的下端拉开6m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（）A. 8 m B. 10 m C. 12 m D. 14 m2 2参考答案：A 解：设教学楼的高为 x,根据题意得：（X'2）二X36，解方程得：x=8.2. 如果梯子的底端离建筑物9 m,那么15 m

27、长的梯子可以到达建筑物的高度是（）A. 10 m B. 11 m C. 12 m D. 13 m2 2 2参考答案：C解：设建筑物的高度为 x,根据题意得：15 -9 -x，解方程得：x=12.3. 已知 Rt ABC中，/ C=90°, a+b=14, c=10，则 Rt ABC的面积是(A.24B.36C.48D.60参考答案：A.24.（方程组）4. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32,则三角形的面积为（）A.56B.48C.40D.32参考答案：B.48.5. 已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm AD=9cm将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF, ABE的面

28、积为（）cnf.A. 6 B. 8 C. 10 D. 12参考答案：A.AEdE6. 如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端 A到墙根0的距离为2m,梯子的顶端 B到地 面的距离为7m现将梯子的底端 A向外移动到A',使梯子的底端 A'到墙根O的距 离等于3m.同时梯子的顶端 B下降至B',那么BB'（ ） A.小于1m B .大于1m C .等于1m D .小于或等于 1m参考答案：A提示：移动前后梯子的长度不变，即Rt AOB和Rt A' OB的斜边相等.由勾股定理，得 32 + B' O2= 22 + 72, B' O=，44 , 6v

29、 B' O< 7,贝U O< BB' V 1.7. 如图，Rt ABC中，两直角边 AC=6cm,BC=8cm现将直角边 AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）m.A.2B.3C.4D.5参考答案：B.Br【填空题】1. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2米，问这里水深是m.参考答案：1.5.2 .在 ABC中，CE是AB边上的中线， CDL AB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,则DE的长为.参考答案：2.3 .在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下

30、树走到离树20米处的池塘的 A处.另一只爬到树顶 D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高.参考答案：15米.4. （ 2011 贵州安顺）如图，在 Rt ABC中，/ C=90°, BC=6cm AC=8cm 按图中所示方法将 BCD沿 BD折叠，使点C落在AB边的C'点，那么 ADC的面积 是.参考答案：6cm25、如右图将矩形 ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处，已知CE=3,AB=8，则BF= 参考答案：6.F【解答题】1. 已知，如图，在 Rt ABC中，/ C=90°, AD平分/ CAB CD=1.5,

31、 BD=2.5,求 AC的长.2.如图，铁路上 A B两点相距 25 km,CD为两村庄，DAL AB于A,CB丄AB于B,已知DA=15畑，CB=10 m,现在要在铁路 AB上修建一个土特产收购站 E,使得C D两村到E站的距离相等，则 E站应修建在离A站多少千米处？参考答案：设 E站应修建在离 A站x千米处则BE=25-x。由题意知：AD2 AEBE2 BC2,即 155 x2 -102(25 -X)2x=10BCA的仰角为30 °已知侧角仪3.如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端高DC= 1.4m, BC= 30米，请帮助小明计算出树高AB （3取1

32、.732，结果保留三个有效数字）参考答案：过点 D作DEL AB于点E,贝U ED- BC= 30米，EB= DC= 1.4米. 设 AE= x 米，在 Rt ADE中，/ ADE= 30°，贝U AD= 2x.由勾股定理得：Al+ eD= aD，即 x2 + 302 =（ 2x） 2,解得 x= 10 W3 17.32 . AB= AE+ EB 17.32 + 1.4 18.7 （米）. 二；答：树高AB约为18.7米.4.小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米,当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？参考答案：

33、由题意得：设城门高为x,（x+1） =x +32 2x +2x+1=x+92x=8x = 4竹竿长为4+1 = 5米。 答：竹竿长为5米。4.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。参考答案：由题意得：（x+1）2 = x 2 + 2 52 2x +2x+1=x+251米，当他把绳子的下端拉开 5米后,参考答案：3.（作DEI AB于E）2x = 24x=12答：旗杆的高度为12米。长BC为10cm.当小红折叠5. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽 AB为8cm,顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）.想一想，此时

34、 EC有多长？ 参考答案：设EC为x,/ADE 与AAFE 对折2 2=AF AB.EF = DE=8 x在 Rt ABF 中，EFBF= , 100 - 64 =6 FC = BC BF=10 6 = 4在 RtFCE 中，EC=x,EF=8 x,FC = 4,/ 、 2 2 ,2(8 x) =x +46416x+x2=x2+1616x = 48x = 3 EC=36. 如图，平面直角坐标系中,AB丄AC求点B的坐标.参考答案：设 OB=x则 BC=x+ 1; OC=1, OA=2在 Rt OAB中，aB"=oA+ OB2,在 Rt ABC中，aB"=bC aC, X2+

35、 4= (X+ 1) 2 ( 22 十 12) , x=4,点 B 的坐标为(一4, 0)7. 如图，已知将一矩形纸片 ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC交AD于点E,已知AD=8cmAB=4cm求重叠部分 BED的面积。 参考答案：由折叠知，/ EBD=/ CBD由AD / BC,知/ EDBN CBD,/ EBD玄 EDB EB=E设 EB = ED=Xcm 贝U AE= (8 x) cm, 在 Rt ABE 中,AE+ AB=bE , ( 8 X) 2十 42=X, X=5 , SA BED=10 (cm).【题型七】利用勾股定理求最值A1 . （2009年北恩施

36、）如图，长方体的长为15 ,宽为10 ,高为20 ,点B离点C的距离为5 , 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B,需要爬行的最短距离是（）A. 5、21 B . 25 C . 10、5 5 D . 35参考答案：B.主要利用图形的展开、勾股定理.2. 一只蚂蚁从长为4cm宽为3 cm,高是5 cm的长方体纸箱的 A点沿纸箱爬到 B 点，那么它所行的最短路线的长是 cm。参考答案：.743. （ 10分）如图，C为线段BD上一动点，分别过点 B D作AB丄BD, ED± BD,连 结 AC EC,已知 AB=5, DE=1, BD=8,设 CD=xBCD（1）用含x的代数式

37、表示 AC十CE的长；（2）试求AC十 CE的最小值；参考答案：（1） AC+CE= ，- 歸- /i（2） 最小值134. 如图所示，无盖玻璃容器，高18cm ,底面周长为60cm ,在外侧距下底1 cm的 点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1 cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度参考答案：将曲线沿 AB展开，如图所示，过点 C作CEL AB于E.在 Rt.CEF,. CEF =90 , EF=18-1-1=16 ( cm),1CE=30(cm),2. 60由勾股定理，得 CF= CE2 EF2 h302 162 =34(cm)5. 如图，一个牧

38、童在小河的南 4km的A处牧马，而他正位于他的小屋 B的 西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家 .他要完成这 件事情所走的最短路程是多少？参考答案：如图，作出 A点关于MN的对称点A',连接A B交MNT点P, 则A B就是最短路线.在Rt A DB中，由勾股定理求得 A B=17km.【题型八】勾股定理逆定理及其应用【选择题】A1 下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是（）A. 1.5 , 2, 3 B. 7, 24, 25C. 6, 8, 10D. 3, 4, 5参考答案：A2. 分别以下列四组为一个三角形的三边的长：6、8、10;5、12、13;

39、&15、17;7、8、9,其中能构成直角三角形的有（）.A.4组B.3组C.2组D.1组参考答案：B, 对.3. （ 2010四川泸州）在 ABC中，AB=6, AC=8 BC=1Q则该三角形为（）A.锐角三角形B直角三角形C .钝角三角形D等腰直角三角形参考答案：B4. 下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）53A.9 , 12, 15 B. - 1 -, 0.3 , 0.4D.40, 41 , 94 ' ' 4参考答案：C5. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）C.三边之比为 3 : 2 :5 D.三个内角比为1 : 2 : 3A.三个内角比为

40、1 : 2 : 1 B.三边之比为1 : 2 :5参考答案：C6. 已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（A. 2 B. 2.10 C. 4 . 2或2、.10 D.以上都不对参考答案：C7.五根小木棒，其长度分别为7, 15,20, 24,25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（7(A)(B)2420(C)参考答案：C8.三角形的三边A.直角三角形参考答案：A9 .若 ABC的三边 a、b、c 满足 a2+ b2 + c2十 338= 10a + 24b + 265则厶 ABC的面积是（A.338B.24C.26D.302=ca、b、c满足关系：（a十

41、b）B 、锐角三角形 C 钝角三角形+ 2ab,则这个三角形是（）D条件不足，不能确定参考答案:6013参考答案：D10.A ABC的三边 a、b、c 满足 a三边为9、12、15的三角形，其面积为.参考答案：54.4.已知三角形ABC的三边长为a,b,c满足ab=10,ab=18 , c=8，则此三角形为 三角形.参考答案：直角三角形5.在三角形 ABC中，AB=12cm , AC=5cm , BC=13cm，贝y BC边上的高为 AD=cm .+b3+a ABC的三边分别是7、24、25，则三角形的最大内角的度数是.参考答案：90° .b+ab2-ac2-bc2=0,则厶 ABC

42、的形状是（）A、直角三角形； B等边三角形；C等腰三角形； D等腰直角三角形。参考答案:A11 .如果Rt 的两直角边长分别为2n 1, 2n (n>1),那么它的斜边长是（)A.2 nB.n+1C. n2 1D. n2+1参考答案:D【填空题】21.若一个三角形的三边满足c - a2 .2=b ，则这个三角形是参考答案:直角三角形.6. 已知两条线段的长为 5cm和12cm,当第三条线段的长为 m时，这三条线段能组成一个直角三角形.参考答案：13cm或.而【解答题】1. 如图，已知四边形 ABCD中，/ B=90°, AB=3 BC=4 CD=12AD=13,求四边形ABCD

43、的面积.参考答案：36 (连接AC12. 如图，E、F分别是正方形 ABCD中 BC和CD边上的点，且 AB=4, CE=_ BC,4人巳问厶AEF是什么三角形？请说明理由 . 参考答案：由勾股定理得 AE=25, EF=5,AF2=20A自 EF2 +AF2, AEF是直角三角形3. 在厶ABC中，BC=rr-n2, AC=2mn AB=n2(m>n). 求证： ABC是直角三角形.参考答案：证(m2 n2) 2+(2mn) 2= (m2+n2)24. 张老师在一次“探究性学习”课中设计了如下的数表：n2345a22 - 132 - 142 - 152 - 1b46810c22 + 1

44、23 + 124 + 125 + 1请你分别观察 a b c 与n之间的关系，并用含自然数 n (n>1)的式子表示:b= , c=a=F为CD的中点，连接 AF、DFC猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想。参考答案： n 2-1,2n,n 2+1猜想：以abc为边的三角形为直角三角形。证明略5.观察下列勾股数：第一组：3=2 X 1+ 1 ,4=2X 1 X(1+1),5=2X 1 X(1+1)+1；第二组：5=2 X 2+ 1 ,12=2X 2 X(2+1),13=2X 2X(2+1)+ 1；第三组：7=2 X 3+ 1 ,24=2X 3 X(3+1),25

45、=2x 3X(3+1)+ 1；第三组：9=2 X 4+ 1 ,40=2X 4 X(4+1),41=2X 4X(4+1)+ 1；观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组的a,b,c各应是多少吗？第 n组呢?参考答案：第七组，a =2 7 1=15,b=2 7 (7 1) =112,c =112 1 =113.第 n组，a = 2n 1,b =2n(n 1),c =2n(n 1)16. (2011四川绵阳)王伟准备用一段长 30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔 .已知第一条边长为a米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米.(1)请用a表示第三条边长； 问第一条边

46、长可以为 7米吗？为什么？请说明理由，并求出 a的取值范围； 能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由参考答案：第一条边为a,第二条边为2a+2,第三条边为30-a- (2a+2) =28-3a(2)不可以是7,v第一条边为7,第二条边为16,第三条边为7,不满足三边之间的关系，不可以构成三角形。13兀 > a > 55,12,13,可以围成一个满足条件的直角三角形【题型九】勾股定理及逆定理与实际问题1.如图，在高为5m坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少A.17mB.18mC.25m参考答案：A依勾股定理先求出底边为D

47、.26m12，而地毯长等于两直角边的和,即 12+5=17.2将一根24cm的筷子，置于底面直径为 15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设 筷子露在杯子外面的长度为hem,则h的取值范围是（）.A. h< 17cmB. h>8cmC. 15cm< h < 16cmD . 7cm< h< 16cm参考答案：D3. 木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm,宽为60cm,对角线为100cm,则这个桌面.（填“合格”或“不合格”） 参考答案：合格4. 轮船在大海中航行，它从 A点出发，向正北方向航行 20叽遇到冰山后，又折向东航行15 g 则此时

48、轮船与A点的距离为 km .参考答案：255. （ 2009年安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m.参考答案：2（.3-.2），利用勾股定理即可.6. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东 60。的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.A城是否受到这次台风的影响？为什么？若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？参考答案：（1）过点A做AC丄BF于点C,由A、B C三点构造直角三角形， 根据勾股定理求出

49、直角边 AC=16Q 160< 200 A城受到这次台风的影响；（2）以点A为圆心以200为半径画圆弧交 BF于D E,在 Rt ACD中，CD = VaD2AC2 = <2002 -1602 =120 所以DE=24Q A城遭受这次台风影响的时间为240* 40=6 （小时）7. 如图1，一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端 C距离为1.5m,梯子滑动后停在 DE的位置上，如图2，测得BD长 为0.5m，求梯子顶端 A下落了多少米.参考答案：在 Rt ABC中，AB"= AC+ BC 2.5 2 = AC+ 1.52, AC= 2 （m）.在 Rt

50、EDC中, DE= CE+ CD, 2.5cE + 22 CE = 2.25 , CE= 1.5 （ m）, AE= AC CE= 2 1.5 = 0.5 （ m） 答：梯子顶端A下落了 0.5m.8. 如图，矩形零件上两孔中心 A、B的距离是多少（精确到个位）？参考答案：43 （提示：做矩形两边的垂线，构造Rt ABC利用勾股定理，B与墙角图1图2丄AB2= AC + bC= 192+ 392= 1882, AB43)9. （ 2009年湖北十堰）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向.小明沿正东方向前进 60米到达C处，此时测得教学楼 A恰好位于正北方向， 办公楼B正好位于正南方