全国高中数学竞赛讲义：抽屉原理(练习题)VIP

1、抽屉原理课后练习U1. ?幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理 .2. 正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同.3. 把 1 到 10 的自然数摆成一个圆圈，证明一定存在在个相邻的数，它们的和数大于17.4. 有红袜 2 双，白袜3 双，黑袜4 双，黄袜5 双，蓝袜6 双（每双袜子包装在起）若取出9 双，证明其中必有黑袜或黄袜2 双 .5. 在边长为1 的正方形内，任意给定13 个点，试证：其中必有4 个点，以此4 点1为顶点的四边开面积不超过（

2、假定四点在一直线上构成面积为零的四边形）6. 在一条笔直的马路旁种树，从起点起，每隔一米种一棵树，如果把三块“爱 护树木”的小牌分别挂在三棵树上， 那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？课后练习答案1 .解 从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长1,至少有两个物体要 选的玩具相同.颈鹿、长颈鹿）把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原则放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，原则2如果把mn+k （k 1）个物体放进n个抽屉，

3、则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体.证明同原则相仿.若每个抽屉至多放进 m个物体，那么n个抽屉至多放进 mn个物体，与题 设不符，故不可能？ 原则1可看作原则2的物例（m=1证明把两种颜色当6=2X 2+2 ,根据2 .作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么 原则二，至少有三个面涂上相同的颜色3 .证明如图12-1,设a1, a2, a3,，a9, a?分别代表不超过10的十个自然数， 它们围成一个圈，三个相邻的数的组成是(a1,a2,a3), (a2,a3,a4), (a3,a4,a1o+a1+a2,由于图 12-1a5), ,(a9, a10, a, (a?, a1，a2)共十组.现把

4、它们看作 十个抽屉，每个抽屉的物体数是 a1+a2+a3, a2+a3+a4, a3+a4+a5, as+ae+a 1,(a1o+a1+a2)(a1 +a2+a3)+ (a2+a3+a4)+ + (a9+ao+aj +=3(a 1+a2+ +a9+a1。)=3X (1+2+ +9+10)(10 + 1)x10165217,即至少有三个相邻的数的和不小=16x10 +5根据原则2,至少有一个括号内的三数和不少于于17.原则1、原则2可归结到期更一般形式：原则3把m+m+ +m+k （k 1）个物体放入n个抽屉里，那么或在第一个抽屉里至少放入m+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入m+1个物体，或在

5、第n个抽屉 里至少放入m+1个物体.证明假定第一个抽屉放入物体的数不超过m个，第二个抽屉放入物体的数不超过个，第n个抽屉放入物体的个数不超过m,那么放入所有抽屉的物体总数不超过mi+m+了个，与题设矛盾.4 .证明 除可能取由红袜、白袜3双外.还至少从其它三种颜色的袜子里取由4双，根据原理3,必在黑袜或黄袜、蓝袜里取 2双.上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了 “存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指由哪个抽屉里存在多少？制造抽屉是运用原则的一大关键首先要指由的是，对于同一问题，常可依据情况，从不

6、同角度设计抽屉，从而导致不同的制造抽屉的方式？5 .证明如图12-2把正方形分成四个相同的小正方形？因13=3X4 + 1,根据原则2,总有4点落在同一个小正方形内（或边界上），以此 41点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积,也就不超过整个正方形面积的事实上，由于解决问题的核心在于将正方形分割成四个面积相等的部分，所以还可以把正方形按图12-3 （此处无图）所示的形式分割 .合理地制造抽屉必须建立在充分考虑问题自身特点的基础上6 .解如图12-4 （设桂牌的三棵树依次为A B C.AB二a, BC=b若a、b中有一为偶 数，命题得证.否则a、b均为奇数，则 AC二a+b为偶数,命题得证.下面我们换一个角度考虑：给每棵树上编上号，于是两棵树之间的距离就是号码差，由于树的号码只能为奇数和偶