八年级数学下册平行四边形课件带辅助线完整

1、八年级数学下册平行四边形-课 件-带辅助线-完整版作者:日期:#八年级数学下册特殊平行四边形-教案IEAB平行回境摩通项£平行且相著性落药力柯争Jt时热 修互相干才w定文宇哥哥1.荷中利地命 踊平行的四 注意叫餐不 村问为强1.善俎对地分 稠抻等的园 彳奉最平行 四边用3 .行中触曲 西端滩是平 行也必用4 .对危也互加 核的回柒 事是千桁四地形JLMifrS .4告 ffcnt 二四 MiC>Aj" 4* M>>>C 二园“摩a双”曼 平町d功常丫 WCD* AMD ，四地牌MJCUA 平行国或嵬jOI-OC, QM-Ot) 二K逋量。口 是 平行

2、d比昂对加平打旦帮等网个龙鼻是耳角文宇语百1. ir=+Jt点的的AA«bVZA=ZB=ZO90工四地蟀twi力第J电片而通邛打IH边梢铸豆和拿直一目奇盘的/气早目多»!文字公言I. KM 野第四 地舞鼻 疑语对功平行I3W相等呷个肉不是直急考柏垂直平喘目相等,鹭夫时为授罕命, W而羊q帽量平行H战1!1为第且2*-加真的平津.'MW 4BCI1MV行四地»Ak雁牝W*城粕二四边薄是平行«MTff国边黑r AAC-BUL有一烟F.四也岸 MICDJME®2.府mi vm« ih< HjiTtr 上 前*俄的中 柠四城 距

3、是建外何通官文字骷音几何语官丁aK=HTL聿T第;网电带ittiT m=CD=»边相的册 jD鼬律奥:，叫地鼻八MU是*HCD xn正方用正才申2.需他互,四wft%VTlifl#制, £ . BDAH( )»TO*牌是BMabcd四垃第，且£7«受三本帝4匚,工商一M:黑地那IMF工。功再量直岫的丽是雄.1=的正力海二四加那A Hl 1)VSiSJS是匚方博icujmrVELteCI) »门血量.且晚也* 4ED工四如mcu是二口皿正”41H l»9明翱在F,是中心书解拈S-=ah既是甲。时尊图第,又是黑钵9)米3 d.

4、J.I -平行四边形的性质和判定、知识梳理1 .平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形用符号“ C”表示.平行四边形ABCD己作。AECD,读作平行四边形 ABCD2 .平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边平行且相等.(2).平行四边形的对角相等，邻角互补。(3)平行四边形的对角线互相平分.(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积.3 .两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.(2)两平行

5、线间的距离处处相等.4 .平行四边形的面积：如图，Sqaecd =BC * AE=CD AF .(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.如图，UMECD与OEECF有公共边 BC,则 $OABCD = SLqEBCF .5 .平行四边形的判别方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.6 .平行四边形知识的运用：(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补， 证

6、明线段相等或倍分等.(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行.(3)先识别一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题.(二)平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形如图，平行四边形 ABCW, M N分别为 AD BC的中点，连结 AN DN BM CM且AN BM良于点P, CM DN交于点Q四边形MGNP1平行四边形吗？为什么? 2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形如图，在 口ABCD的各边 AB、BC、CD、DA上，分别取点 K、L、M、N,使AK=CM、BL = DN,则四边形 KLMN 为平行四边形吗？说明理由 . 3. 一组对边

7、平行且相对的四边形为平行四边形11如图，DABCD中，E、F分别在BA DC的延长线上，且 AE=1 AB, CF=1 CR试证明AECF为平行四边形22 4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形(2008湖北恩施)如图，在平行四边形 ABC邛，/ABC的平分线交 CD于点E,/ADC的平分线交 AB于点F.试证明四边形DFB曰平行四边形. 5.对角线互相平分的四边形为平行四边形(2010江苏宿迁)如图，在 DABCDK点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF.求证：/ EBf=Z FDE平行四边形中的常用辅助线第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。和图中例1如左下图1,在平行

8、四边形 ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE CF ,请你以F为一个端点,已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)连结BFBF DE证明：连结 DB,DF，设DB, AC交于点O四边形ABCD为平行四边形AO OC, DO OB. AE FC. AO AEOC FC BF即 OE OF DE，四边形EBFD为平行四边形BA图1第二类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3,四边形 ABCD为平行四边形一, _222_2_22求证：ACBD AB BC CD DA证明：过A, D分别作A

9、E BC于点E, DF BC的延长线于点F .AC2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BCBD2 DF 2 BF2 (CD2 CF 2) (BC CF)2 CD2 BC2 2BC CF则 AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BE2 .四边形ABCD为平行四边形3 ABC DCFABE DCF. AB /CD 且 AB CD , AD BC AEB DFC 900BE CF AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2第三类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。ED图4例4：已知：如右上图4,在正方形AB

10、CD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP AB证明：延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形AB /CD 且 AB CD, CD AD, BADBCDD 900. AKCDABBCDD 900900D DAK 90°,-1 一 .CE 1CD,DF2DF AF1 -AD2BCE CDF23 900CPBCDF 且 KAFCEDF900，则KPB 900 AP AB第四类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例6已知：如右上图6,在平行四边形 ABCD中，AN1 八BN,BE 1BC,NE3交BD于解：连结F ,求 BF : BDAC交BD

11、于点O,连结ON四边形ABCD为平行四边形OA OC,OBBDOD ANBN-1 rON / BC 且 ON21 -BC2BE2 BF BEBFBO1 1BC32:.BE: ONBF : BD2:31:5ONBF 2FO 3FO综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。添加辅助线解特殊四边形题特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线下面介绍一些辅助线的添加方法.一、和平行四边形有关的辅助线作法 平

12、行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形 1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形 区J 1如图1,已知点O是平行四边形 ABCD的对角线AC的中点，四边形 OCD电平行四边形. 求证:OE与AD互相平分.分析：因为四边形 OCD电平行四边形，所以OC/ED,OC=DE,又由。是AC的中点，得出AO/ED,AO=ED,则四边形 AOD电平行 四边形，问题得证.证明：连结AE、OD因为是四边形 OCD居平行四边形，所以OC/DE, OC=DE因为0是AC的中点，所以 A0/ED , AO=ED所以四边形 AODEM平行四边形，所以

13、AD与OE互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形2 .利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图 2,在 AABC 中，E、F 为 AB 上两点，AE=BF, ED/AC , FG/AC 交 BC 分别为 D, G.求证：ED+FG=AC.分析：要证明ED+FG=A3I为DE/AC,可以经过点E作EH/CD交AC于H得平行四边形，得ED=HC然后根据三角形全等，证 明 FG=AH.证明：过点E作EH/BC,交AC于H,因为ED/AC,所以四边形 CDEHW四边形，所以ED=HC又FG/AC,EH/BC,所以/ AEH=/

14、B, / A=/ BFG,又 AE=BF,所以 AEH FBG, 所以 AH=FG所以 FG+DE=AH+HC=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题3 .利用对角线互相平分构造平行四边形区J 3如图3,已知 AD是AABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且 AE=EF.求证BF=AC.分析：要证明BF=AC 一种方法是将 BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形证明：延长 AD至ij G,使DG=AD连结BG CG因为BD=

15、CD所以四边形 ABGO平行四边形，所以 AC=BGAC/BG ,所以/ 1 = /4,因为 AE=EF,所以/ 1 = /2,又/ 2=/3,所以/ 1 = /4,所以 BF=BG=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.图3图4二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题区J 4如图5,在 ABC中，/ ACB=90°,/ BAC的平分线交BC于点D, E是AB上一点，且AE=AC EF/BC交AD于点F,求证:四边形CDEF是菱

16、形.分析：要证明四边形 CDEF是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD是/ BAC的平分线，AE=AC可通过连接 CE,构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE.求AD平分CE.证明：连结 CE交AD于点O,由AC=AE得AACE是等腰三角形，因为AO平分/ CAE所以 AOL CE,且 OC=OE因为 EF/CD ,所以/ 1 = /2,又因为/ EOF之COD所以 DOC可以看成由 FOE绕点O旋转而成，所以OF=OD所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形 CDEF 是菱形.区J 5如图6,四边形A

17、BC混菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证 EF+BF的最小值等于 DE长.分析：要证明 EF+BF的最小值是 DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD,借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF,然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题证明：连结BD DF.因为AG BD是菱形的对角线，所以 AC垂直BD且平分BD, 所以 BF=DE 所以 EF+BF=EF+DIDE,当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于 DE的长.图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）

18、作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少区J 6 如图7,已知矩形 ABCD内一点，PA=3, PB=4, PC=5.求PD的长.分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E,交CD于F,交BC于点H,交AD于G.因为四边形ABCDM矩形，所以 PF2=CH=PC2-PH2, dF2=aE!=AF2-EP2, PH2+PE2=BF2,所以 PD2=PC2-PH2+Ap-EP2=PC+APi-PB2=52+32-4 2=18, 所以 PD=342 .图7说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD