-平稳随机过程的谱分析

1、第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题： 随机信号是否也可以应用频域分析方法 傅里叶变换能否应用于随机信号 相关函数与功率谱的关系 功率谱的应用 采样定理 白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析2.1.1 预备知识1、付氏变换：对于一个确定性时间信号x(t),设x(t)是时间t的非周期实函数, 且x(t)满足狄利赫利条件(有限个极值,有限个断点,断点为有限值) 且绝对可积,能量有限,那么 x(t)傅里叶变换存在.即:U在(一8, 8)范围内满足秋利赫利条件工 2,ad)绝对可积r叩OOjdJoo-85.假设“.)代表信号,那么信号的总能量有限,即产满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为:e

2、ra其反变换为:8筮(.=式 心把网dwX式唠为处方的频谱口 3x(7代表电压时,那么X-吟表示了 电压按频率的分布.一般晚.xx()是皿的复函数,叩X虱 包含了振幅造和相位谱口2、帕赛瓦等式g3厅田r由上面式子可以得到:8OOX (t)牙厘(卬)4皿也一 gl一 O8Xi)oo4 dfd8- 8Xnw)X3)dw-oogg即 J Cx(i) Jadi=XxCSVdm. QO. 称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式.物理意义：假设x(t)表示的是电压(或电流),那么上式左边代表x在 时间(-,)区间的总能量(单位阻抗).因此,等式右边的被积函数2,、一一,2 ,XX()表示了信

3、号x(t)能量按频率分布的情况,故称XX()为 能量谱密度.2.1.2、随机过程的功率谱密度一个信号的付氏变换是否存在,需要满足三个条件,那么随机信号 是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢随机信号持续时间无限长,因此,对于非0的样本函数,它的能量 一般也是无限的,因此,其付氏变换不存在.但是注意到它的平均功率是有限的, 在特定的条件下,仍然可以利 用博里叶变换这一工具.为了将傅里叶变换方法应用于随机过程,必须对过程的样本函数做某些限制,最简单的一种方法是应用截取函数.截取函数XT (t):0tr当XT的傅里叶变换存在,有3丁J - T很明显,XT也应满足帕塞瓦等式,即：(注意积分区间和表达 式

4、的变化)TOC|(7*,4?d冉, T- oo用2T除上式等号的两端,可以得到Tocix*r.m户 d3, 一 7g等号两边取集合平均,可以得到：Fg、W1染出卜E行到|XT因,J- ca令T,再取极限,便可得到随机过程的平均功率.交换求数学期望和积分的次序,可以得到：注意这里由一条样本E|Xx(T, )2 d2T函数推广到更一般的随机过程,即下面式子对所有的样本函数均适用1 T 21/亓 TE【X2(t)dt 2-Tim上式等号的左边表示的正是随机过程消耗在单位电阻上的平均功 率包含时间平均和统计平均,以后我们将简称它为随机过程的功率 并记为Q.再看等式的右边,它当然也存在,并且等于 Q.又

5、由于XxT,2非负,所以极限Jm身也3必定2T存在,记为Sx：-1 TQ limT 2T T式中21Ex2dt 2Sx( )d右(0)= Un产T+oo* J注意：1 Q为确定性值,不是随机变量(2) SX()为确定性实函数.(见式)两个结论：_21. Q A EX2(t)1- ,式中,A . lim . 表水时间平均.它说明,随机过t 2T程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均来得到, 即对于一般 的随机过程(例如,非平稳随机过程)求平均功率,需要既求时间平均, 又求统计平均.显然, Q不是随机变量.假设随机过程为平稳的,那么Q A EX2(t)EX2(t)=Rx(0)这是由于均方值与

6、时间t无关,其时间平均为它自身.QOOQ,一 一. 2 _.由于已经对XX(T,)求了数学期望,所以SX()不再具有随机性,它是确实定性函数. 功率谱密度：SX ()描述了随机过程X(t)的功率 在各个不同频率上的分布 一一称SX()为随机过程X(t)的功 率谱密度. 对SX ()在X(t)的整个频率范围内积分,便可得 到X(t)的功率. 对于平稳随机过程,那么有：21-EX2(t) 2-Sx( )dMu设随机过程X(i) =/050 + 5)其中口和皆是实常数,0是均匀分布在区间(0/2)上的随机 变量.试求过程X()的平均功率,Wr由于过程X)的均方值矶x卬)=航正谒+6)n二百r那岸y+

7、 5cosc20 + 23)61r 式,2g gj=木十/ 227cos(2/,+23)&甲=芍f siu2ot悬此间争油数,故X“g宽生稳的巾根据式37),我们可Q=4?HQP(GA= lim丁8Jt 软一%口2砧岫=9-T2.1.3、 功率谱密度的性质1 .功率谱密度为非负的.即S*(3)2证实：根据定义式C3-M4), ScS)为302 .功率谱密度是的实函数.证实:Sr3) =lim- 71Tg矶【町.2T一,2 , 一一 、一的实函数,所以由于XX T ,进行了取模运算,这是SX 也是 的实函数,且为确定性实函数.3.对于实随机过程来说,功率谱密度是.的偶函数.即SMS=Sx-g证实

8、：报据博里叶变换的性旗,我们先道,身的力为上的实函数 时,其颜谱满足CK3x#r产=,加广即山一 00因此:x 式t 5 =xxr;一加式中,*表示宜共朝.于是有1/,产p=xAr ,aXxt f o= X*T,2,Xx7,一3=|XXT,-3H即:$再3)=1汕-T3ECXATy得:s式二s式一吟4,功率谱密度可积,即8j S (妙)-8证实：对于平稳随机过程,有:21EX22Sx( )d可以说明功率谱密度函数曲线下面的总面积(即随机过程的全部功率)籽过程的均方值口由于平稳随机过程的均方值是有限的.此St(妙)可积a2.2联合平稳随机过程的互功率谱密度2.2.1、 互谱密度可由单个随机过程的

9、功率谱密度的概念,以及相应的分析方法推广而来.考虑两个平稳实随机过程X(t)、Y(t),它们的样本函数分别为t为:xAl) -x(t)和y(t),定义两个截取函数xT t、yT一 rf = %巳可以得到TOr了=%yQ出I广 招T产匕丁,叫工=叁2f一 a注意到上式中,xt和yt是任一样本函数,因此,具有随机性,取数学期望,并令T ,得：-1 TTlim EQxy(T) Qxy / E【2T 丫叫1 T=严亓 TRxY(t,t)dt*1 . EXx(T, )Xy (T,).= lim xYd2 t2T定义互功率谱密度为:s仃(w)= limT+ g存 ELXKT 户?XKT,吟 1得:Sxy图

10、)S/v(w)假设X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳,那么有即： DOSay(w) = f 武e M dr 一 8 ec/?JCT(r)-SfV(6 人0. g式中,A .表示时间平均.显然：当火口)和广义联合平稳时,有火直 ( 3,+七)二五丈卵(T) 及发?RxyCU +,?)=Rx()证实：略,参见自相关函数和功率谱密度关系的证实.结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机过程,它们的 互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换.2.3.3、互谱密度的性质互功率谱密度和功率谱密度不同,它不再是频率的正的、实的和偶函数. .一_ ,、_ ,、_*,、性质 1 ： Sxy ( ) Sy

11、x ()Syx ()证实：Sxy( )Rxy ( )e j d=RYX ( )e j d 令j* ,、=Ryx ( )e d = Syx ()=ryx ()e )d = Syx ()性质 2 ： Re SXY ( )Re SXY ()；Re Syx ( )Re Syx ()证实：式中Re表示实部.亦即互谱密度的实部为的偶函数.SXY ( )RXY ( )e drxy( )cos j sin( )d所以：ReSXY( )RXY( )cos d 令=RXY ( ) COS d =Re Sxy ()其它同理可证.性质3:)=- LmCSjtyC -式中,ImJ1表示虚邰.亦即互谱密度的虚部为的净函数

12、.证实：类似性质2证实性质4:假设X(t)与Y(t)正交,那么有Sjcy(幻)Syjf 0证实：假设 X(t)与 Y(t)正交,那么 Rxy (t1,t2)Ryx (t1,t2)0所以,Sxy( ) Syx( )0性质5:假设X(t)与Y(t)不相关,X(t)、Y(t)分别具有常数均值mX和mY,那么(8)=2/例内加()证实：由于 X(t)与 Y(t)不相关,所以EX(L)Y(t2) mxmYSxy ( ) Rxy( )e j d =mXmYe j d=2 mXmY ()(注意 12 ()性质6:+r)j 弋芯AiRyyiiift +)(如)式中,人?表示时间平均.这给出了一般的随机过程(包

13、含平稳)的互谱密度与互相关函数的关系式.例2.2设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳,其互相关函数RXY()为：I 0 工0求互谱密度SXY ( ),SYX ()解：先求SXY()：3 4 9e-3Te-Ja dr=9( erdr 9)(33 +2再求Syx ()9Svjc(a)kS/(如)=q 彳2.3功率谱密度与自相关函数之间的关系确定信号：x(t) X(j ).随机信号：平稳随机过程的自相关函数功率谱密度.1 .定义：假设随机过程X(t)是平稳的,自相关函数绝对可积,那么自相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换,即:8Sx (皿)已皿* d3g这一关系就是著名的维纳一辛钦定理、或称为维

14、纳一辛钦公式.2 .证实：F面就来推导这一关系式.证实方法类似式的证实由于：由(3.1.14)式Sx()lim 血口2!T2T)1*Tim 2tvEXx(T, )Xx(T,1_ Ti匕 Tj八=TimTT E TX(t1)ej %t1 TX(t2)e j 交换积分和数学期望顺序=严 tT TT TTEX(t1)X(t2)e j (t2 *此 = Tim 2T TT TT Rx (t2 t1 )e j (t2 t1)dt1出2设t2 t1, U t2 t1,那么 t2 Tu,t111所以：J -r)2 2 1(,u)112u1 2T 2T 1j那么Sx()严亓 0 d 2T 2rx( )e j

15、du0 2T 1j2Td 2T “x( )edu)1 2T 2T 1：=limd.丁 -Rx( )e j du)T 12T 2T2T I 2 X V 7 J1 2Tj= Tlim 亓 2T (2T I |)Rx( )e j d2Tj=T-2T(1,)Rx( )e j d (1)c / j 2Tj=Rx( )e J d Tim2TQ)Rx( )e d(注意T, 0；且 时,Rx( )02T因此,通常情况下,第二项为0Rx( )e证毕推论：对于一般的随机过程 X,有:QGooJ + 口)= j 且斗.,e一 产dt 一8(回)名刖d出DO那么 平 均 功 率 为：1 T _21_lim TEX2(

16、t)dt SX( )d ( =0)时间平均加统计平均.利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质, 又可将维纳一辛 钦定理表示成:gS*(鼠(丁)=3.单边功率谱由于实平稳过程x(t)的自相关函数RX()是实偶函数, 功率谱密度也一定是实偶函数.有时我们经常利用只有正频率局部的单 边功率谱.他.(常见的几种付氏变换关系需要记住)例3.3平稳随机过程的自相关函数为RX ( ) Ae , A0,0,求过程的功率谱密度.解：应将积分按+和- 分成两局部进行.o8= j且*髀出汽出+106一匹巴一际业 gflnodjwxUe-(p-kjw)T=,一一一+ 43-佃一(3+诃)1._ j r -1一B

17、js + B + 加,2/B=.+占声例川设XU)为随机相位随机过程X)=dCO4(M + 力,其中4小为实常数1.为随机相位.在(0,2时均匀分布.可 以推导出这个过程为广义平稳随机过程.具有自相关函数为%= 5G()式加声)求X.)的功率游密度,小用九解：注意此时RX( )d不是有限值,即不可积,因此RX()的付氏变换不存在,需要引入 函数._ iA2iSx() Rx()e id 万 cos(0 )e 1dA2ej 0 e j 0注意：cos 0 立=(ej 0 e j 0 ) e j d4A2=-2- (0)(0)(注意：ej 02 (0)W35 设随机过程丫6皿温 其中/叽皆为常数*

18、X为具有功率塔密度心%的平稳过程.求过程F的功率谱密度日解,首先,我们可求得过程PG的自相关函数 及与+犷=EFdya十窖st EtaX / si nio/ , nX i + 加-7 t cos Pr - COS + 叽汇显然,它与时间t有关,所以Yt为非平稳随机过程,8S“3= , dH“小#十玲匕-如上 dr .8而月?五整/ +1 =r；Rtccsmt因此,最后得到过程V力的功率谱密度为一5,?如=勺ES式3 一册白+Sxm +明4一定要注意一般随机过程与平稳随机过程的平均功率和谱密度的求法区别2.4离散时间随机过程的功率谱密度2.4.1、 离散时间随机过程的功率谱密度1 .平稳离散时间

19、随机过程的相关函数设X(n)为广义平稳离散时间随机过程,或简称为广义平稳随机序 列,具有零均值,其自相关函数为：Rx(nt) k十加T)简写为：R 式+m)32 .平稳离散时间随机过程的功率谱密度 0O当(楙)满足条件式 RM OO式中,T是随机序列相邻各值的时间间隔. SX()是频率为2 记为的周期性连续函数,其周期为 泉 2 q.SX()的傅里叶级数的系数恰为RX (m),这里就是奈奎斯特频率(不是采样频率).这说明离散序列的功率 谱为周期函数.由于SX()为周期函数,周期为2片(切)=-CW.E|X野产=2?a0SMSds- 33.谱分解z变换定义在离散时间系统的分析中,常把广义平稳离散

20、时间随机过程的功率 谱密度定义为RX(m)的z变换,并记为SX z ,即do%z= E忸 h - oo式中z=ej T ,且2?式那么为鼠的逆Z变换,即K乂(拗)=上式中,D为在SX z的收敛域内环绕z平面原点反时针旋转的 一条闭合围线.性质SQ)=$O由于自相关函数RX(m) = RX( m),带入式即可谱分解谱分解定理：设 X(n)是广义平稳实离散随机过程,具有有理功率谱密度函数SX z.那么SX z可分解为:式中5；(幻=夙#)小(广)Zi J (名一女加B(zT j(;即)BQ )-C(H),*一即】)式中,假设Jg|1, i=b2r,Mj假设V1,那么必定有|8再11,风可见,.在中

21、包含了单位圆之内的全部零点和极点；B(z 1)中包含了单位圆之外的全部零点和极点.证实：总可以将SX z表示成两个多项式之比：8N消Si,X &、=D -8上式中:由于RX(m)是实函数,因此多项式N(z)、D(z)的系数也都是实数、且有MNo对式(3.4.9)因式分解,形式如下：(一%“,(片孕必)(工一九)(i -&2JV)设21是N(z)的一个根,是SX z的一个零点,那么,a1应满足S=i =0而根据性质见式3.4.8可知,假设上式成立,那么下式必成立：这就是说,a1 1也一定是Nz的一个根；或者说a1 1是SX z的1一个零点.于是,两个零点 4和21总是同时出现.同理,假设 1是S

22、x Z的一个极点,那么 1 1也必定是SX z的一个极点.或者说,两个极点必定同时出现.根据上面的讨论,便可将式3.4.11汾解成两项相乘,即%=8幻以人式中,厂Z一曲Z-%Bz= CGJgI风2 -026；】7式中,假设那么必定有C=L2lM 假设1%11,那么必定有I露321,2产,No可见,.在B幻中包含了单位圆之内的全部零点和极点；Bz 1中包含了单位圆之外的全部零点和极点.即证.网S,6设R式饵=用力|引5Nm)e的.再由香农采样定理,将RX ( a)展开:&= E &?心)吗:二7n . -8令一a ,再令,那么上式可变为:这里a为任一常数.显然.SX( )e j a带宽也是有限现

23、在令：发= xg噪Mn 一假设成limX一发丫=欧1血速一父(f)j一7：)_N-*0取limXd)-戈丹=0Nfg. 匚/公sin(sjE制宜)xa)=um xr) _.,NR n/采样定理就得到了证实.F面分别证实上式的两项均为 0 E胪X(t)*t)X(t)rx(0) NimNEX(nT)X(t)Nsin( ct n )ct n又:5前/一加元: 7?片翔r一力力 J 0O(4)令0, a=t,得:sin( ct n )RX (0)RX(nT t)(5)nct n比拟(4) (5)式得：Eim X(t) Xt)X(t)=0令 t, a=mT,得：Rx(t mT)Rx (nT mT 严(c

24、t n)nct n8SCIimXU 王 1X梆T ANfgg=正天(士一爆丁)一 J g5TfT)制=一8sinGj一翌 k(7) (8)式比拟,上式等号右端为零.于是可得:EOimtXG-去 1X怫 7 = 0J7r oo上式说明.在Nfg的极限条件T,不)一九.与图出丁)正此,交.另方面,?是由加C的线性组合, X.)一月d)i他必定与土正交即矶limX一意,戈分1 = 0N-X9由可见：EOimCX一发尸fooNfgK 0证毕.为了书写方便,也常把采样定理写成:温 V/ F.口*/一和?XV Z X 一 g但应注意,上式的近似是表示均方意义下的极限, 它与一般意义下 的近似是不同的2.4

25、.3、 功率谱密度的采样定理由平稳随机过程的采样定理,可以通过对平稳随机过程 X(t)的采 样而得到与之相对应的离散时间随机过程 X(n).现在讨论X(n)的自相关函数(或称自相关序列)与X(t)的自相关函 数、X(n)功率谱密度和X(t)功率谱密度之间的关系.定义：设X(t)为广义平稳随机过程,用RC ()和SC ()分别表示 它的自相关函数和功率谱密度,且 SC ()的带宽有限(这里下标C表 示连续).现在,应用采样定理对 X(t)采样,构成采样离散时间随机过 程X(n) = X(nT),其中T为采样周期.R()和$()分别表示X(n)的 自相关函数和功率谱密度,那么= ECX(nT)*X

26、(nT+mT)3= /?c( mT)鼻=- g式中q= /T 即功率谱密度的采样定理.(随机序列功率谱为 周期函数)结论：(1) 离散时间随机过程的自相关函数 R(m)正是对连续过程自相关函数 RC()的采样. S()等于SC( )&SC()的所有各位 移之和,即SC()以2 q为周期延拓,所以S()为周期 函数.S()与SC()关系如下列图示意：预备知识：假设确定性函数f为周期函数,周期为T,即f(t)=f(t+mT) , m为 任意整数,那么它总可以展开为傅立叶级数：(?信号与线性系统分析?吴大正主编,P129)f(t)Fnejn t指数形式表示：TnFn 7 1T f(t)e jn td

27、tT 3n 0, 1, 2,.,T注意SC()是确定性函数.由于SC(2n q)是周期为2 q的连续函数,那么傅里叶n级数展开式为：Sc(2n q)nn立叶级数不同)1 q其中：an 丁Sc( )ejn Tdane jn T这里与通常的傅Sc()ejnTdRc(nT) TR(n)2 q q带入上式得:Sc(2n q) TR(n)e jn Tnn-Sc(2n q) R(n)e jn T =S()(离散时Tnn间功率谱密度的定义) 定理证毕.2.5 口噪声随机过程通常可按它的概率密度和功率谱密度的函数形式来 分类.就概率密度而言,正态分布或称为高斯分布的随机过程占有重 要地位；就功率谱密度来说,那么具有均匀功率谱密度的白噪声非常重要.2.5.1、 理想白噪声定义：假设Nt为一个具有零均值的平稳随机过程,其功率谱密度均匀分布在-,+ 的整个频率区间,即其中N0为一正实常数,那么称 Nt为白噪声过程或简称为白噪自相关函数为理解：白噪声的自相关函数是一个函数,其面积等于功率谱密度.白噪声的自相关系数.)为 ,、 & p .-&(0) -