第一章一些典型方程和定解条件的推导ppt

1、上午8时35分1一、一、 基本物理定律与典型方程的建立基本物理定律与典型方程的建立二、二、 各种定解条件的数学描述各种定解条件的数学描述三、三、 偏微分方程定解问题的基本概念偏微分方程定解问题的基本概念数学物理方程定解问题的提法泛定方程泛定方程（传输方程、波动方程、热传导方程、（传输方程、波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等拉普拉斯方程等）：）： 表达同一类物理现象的共表达同一类物理现象的共性，是解决问题的依据。性，是解决问题的依据。定解问题：定解条件定解条件（初始条件，边界条件（初始条件，边界条件）：反映的是）：反映的是具体问题的个性，是确定具体现象的准则。具体问题的个性，是确定具体现象的准

2、则。四、四、 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 数学物理方程数学物理方程第一章第一章 一些典型方程和定解条件的推导一些典型方程和定解条件的推导2问题问题：设一条均匀：设一条均匀柔软的不可拉伸细弦柔软的不可拉伸细弦，平衡时沿直线拉紧，平衡时沿直线拉紧，而后以某种方式激发，使弦在铅直平面内作微小振动。求弦而后以某种方式激发，使弦在铅直平面内作微小振动。求弦上各点的运动规律。附近上各点的运动规律。附近作微小横振动。不受外力影响。作微小横振动。不受外力影响。1.1.1 牛顿运动定律与弦振动方程牛顿运动定律与弦振动方程研究对象：弦线上某弦线上某点点x在在 t 时刻

3、时刻沿横向沿横向的位移。的位移。( , )u x t一、一、 基本物理定律与典型方程的建立基本物理定律与典型方程的建立3弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟上午8时35分4波波的的传传播播的的相相关关模模拟拟上午8时35分5弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟上午8时35分6简化假设：(2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。cos1cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛顿运动定律：sinsinTTgdsma横向：coscosTT纵向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：TT(

4、d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx其中：ddsx22( , )mdsu x tat上午8时35分722(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx其中：(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx一维波动方程2Ta 令：-非齐次方程非齐次方程自由项gxuatu22222-齐次方程齐次方程忽略重力作用：22222xuatudxttxudxgxtxuT2222),(),(2222),(),(ttxugxtxuT数学

5、物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导上午8时35分8类似地，可以导出均匀薄膜的自由振动方程：2222222()uuuatxy均匀薄膜的受迫振动方程：2222222()uuuaftxy三维波动方程（如电磁波、声波的传播）：222222222()uuuuatxyz222222222()uuuuaftxyz二维波动方程上午8时35分91.1.2 1.1.2 能量守恒与热传导方程能量守恒与热传导方程热传导现象中所要研究的物理量是温度。热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。热场MSSVn温度与那些量有

6、关呢？例如，手握铁棒放在炉火烧，火中的一端温度高，手握的一端温度低，这说明温度分布与位置有关；同时，手握的一端也会慢慢变烫，即温度分布与时间有关。 给定一空间内物体给定一空间内物体 ，设其上的点，设其上的点 在时刻在时刻t t 的温的温度为度为 , ,研究温度研究温度 的运动规律。的运动规律。G( , )x y z( , , )u x y z t( , , )u x y z t上午8时35分101.1.2 1.1.2 能量守恒与热传导方程能量守恒与热传导方程 傅立叶试验定律是傅立叶在1822年出版的著作热的解析理论中提出的。傅立叶是导热理论的奠基人，他通过实验，分析和总结了物体内的导热规律，建

7、立了傅立叶试验定律，从而揭示了导热热流与局部温度梯度间的内在联系。热场MSSVn2 2、傅里叶、傅里叶(Fourier)(Fourier)热传导定律热传导定律( (试验定律试验定律):): 1 1、热量守恒定律、热量守恒定律: :温度变化吸温度变化吸收的热量收的热量通过边界流通过边界流入的热量入的热量 热源放出热源放出的热量的热量 两个物理定律两个物理定律上午8时35分111.1.2 1.1.2 能量守恒与热传导方程能量守恒与热传导方程根据傅立叶试验定律， 在dt 时间内从dS 流入V 的热量为：从时刻t1到t2通过S 流入V 的热量为 高斯公式(矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分

8、) 傅立叶试验定律：在任意时刻，各向同性的连续介质内任意位置处的热流密度在数值上与该点的温度梯度成正比，而方向相反，即热场MSSVnukq其中k为导热系数，公式中的负号表示热量的传递方向与温度梯度方向相反。dSdtnukdSdtnukdSdtnukdQ)(1 211ttSdtdSnukQtVukttVdd)(21 上午8时35分1221QQ 2121dddd)(ttVttVtVtuctVuk热场MSSVnVtzyxutzyxucQVd),(),(122VttucVttdd21 21ddttVtVtuc),(1tzyxu),(2tzyxu流入的热量导致V 内的温度发生变化 ,温度发生变化需要的热

9、量为：)()()(1)(1zukzyukyxukxcukctu由热量守恒定律得：由热量守恒定律得：由由 及及 的任意性知的任意性知12,t tV由此得到由此得到热传导方程热传导方程：)()()(1zukzyukyxukxctu它反映了导热物体内的能量守恒关系。它反映了导热物体内的能量守恒关系。上午8时35分13)2( ),(2zyxfuatu热场MSSVn如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程) 1 ( 2uaucktukc,cka 2为热扩散系数。对均匀且各向同性物体，即物体的热物性参数 均为常数，则有对应地，称对应地，称(1)(1)为为齐次热传导方程齐次热传导方程。称称f为非齐次项为

10、非齐次项(自由项自由项)。上午8时35分14质量守恒与扩散方程质量守恒与扩散方程 18581858年年, ,菲克菲克(Fick)(Fick)参照了傅里叶于参照了傅里叶于18221822年建立的导热方程年建立的导热方程, ,获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的定量公式获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的定量公式: :菲克菲克第一定律第一定律。假设有一单相固溶体。假设有一单相固溶体, ,横截面积为横截面积为A,A,浓度浓度C C不均匀不均匀, ,在在dtdt时间内时间内, ,沿法向通过点沿法向通过点x处处截面截面A A所迁移的物质的量与该处所迁移的物质的量与该处的浓度梯度成正比：的浓度梯度

11、成正比：tAxCm)(xCDAdtdm由扩散通量的定义由扩散通量的定义: :单位时间内通过单位横截面的粒子数单位时间内通过单位横截面的粒子数，有，有菲克第一定律菲克第一定律 （1 1） 式中式中J J称为扩散通量称为扩散通量. .常用单位是常用单位是g/(cmg/(cm2 2.s).s)或或mol/(cmmol/(cm2 2.s).s)； 是同一时刻沿轴的浓度梯度；是同一时刻沿轴的浓度梯度；D D是比例系数是比例系数，称为，称为扩散系数扩散系数。 xCDJxC上午8时35分15质量守恒与扩散方程质量守恒与扩散方程扩散过程扩散通量扩散通量J的方向与的方向与浓度降低的方向一致浓度降低的方向一致上午

12、8时35分16如图所示，在扩散方向上取体积元如图所示，在扩散方向上取体积元 和和 分分别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在t 时间内，时间内，体积元中扩散物质的积累量为体积元中扩散物质的积累量为xJxA ,xxJtAJAJmxxx)(xJJttxCttxCxxx),(),(xJtC)(xCDxtC扩散流通过微小体积的情况质量守恒与扩散方程质量守恒与扩散方程即扩散物质的浓度满足扩散方程：而而xAtxCxAttxCm),(),(于是于是上午8时35分17质量守恒与扩散方程质量守恒与扩散方程如果扩散系数为常数，则上式可写成如果扩散系数为常数，则上式可写成)(x

13、CDxtC22xCDtC22xCDtC一般称以下两式为一般称以下两式为菲克第二定律：菲克第二定律：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导上午8时35分181.1.3 1.1.3 静电位势与拉普拉斯方程静电位势与拉普拉斯方程电势 u 确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：Eu/ E)(uE/2 u02 u对方程进行化简：uu2/ 拉普拉斯方程 泊松方程 电场强度E电荷密度介电常数0u 0uf （也称调和方程） 2222220uuuxyz数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第1 1章章 典型方程和定解条件的推

14、导典型方程和定解条件的推导上午8时35分19当热传导或物质扩散达到当热传导或物质扩散达到稳定状态稳定状态时，温度或浓度的变化与时间时，温度或浓度的变化与时间t t无关，即无关，即 从而热传导方程或扩散方程变为拉普拉斯方程和泊松方程. 0u 0uf 0ut泊松方程 拉普拉斯方程 2222220uuuxyz上午8时35分201.1.4 1.1.4 质量守恒与连续性方程质量守恒与连续性方程所要研究的物理量：时刻t流体在位置M(x,y,z)处的密度),(tzyx假设流体在无源的区域内流动，流速为在dt 时间内从dS 流入V 的质量为：从时刻t1到t2通过S 流入V 的质量为 SttdSnvdtM21高

15、斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） tVvMttVdd)(21 ,wvuv dSdtnvdMdSVn上午8时35分21由区域和时间段的任意性以及被积函数的连续性，由区域和时间段的任意性以及被积函数的连续性，得到得到连续性方程连续性方程 0)(vt如果流速为常向量，则得到如果流速为常向量，则得到传输方程传输方程 0vt如果流体不可压缩，即流体密度为常数，则有如果流体不可压缩，即流体密度为常数，则有 0divvv),(1tzyx),(2tzyx流入的质量导致流入的质量导致V 内的浓度发生变化内的浓度发生变化 从而，从而，V 内的质量增量满足内的质量增量满足 tVvdVttVV

16、ttttdd)()(2112 即即0dd)(21 tVvttVt上午8时35分22同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件对于稳态问题，因为问题与时间无关，所以不含初始条件A、 波动方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt1、初始条件、初始条件描述系统的

17、初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度二、二、 各种定解条件的数学描述各种定解条件的数学描述上午8时35分23(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、 波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：( , )0u a t 或：0 x auTx0 x aux( , )0 xu a t (3) 弹性支撑端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支撑。x ax auTkux 或:0 x auux0|axu第一类边界条件Dirichlet边界条件第二类边界条件Neumann边界条

18、件第三类边界条件Robin边界条件或：上午8时35分24B、热传导方程的边界条件(1) 给定温度在边界上的值|suf(S为给定区域v 的边界)(2) 绝热状态0sun (3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 交换系数； 周围介质的温度,1k1u1SSuuun1kkC、拉普拉斯方程的边界条件第一类边界条件Dirichlet边界条件第二类边界条件Neumann边界条件第三类边界条件Robin边界条件三种类型的边界条件，与热传导方程类似，不再详述。上午8时35分251 1、定解

19、问题、定解问题三、偏微分方程定解问题的基本概念三、偏微分方程定解问题的基本概念(1) 初值问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题(初边值问题)：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。2 2、定解问题的适定性、定解问题的适定性 解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的微小变动。上午8时35分26(5) 按自由项是否为零分为按自由项是否为零分为齐次方程齐次方程和和非齐次方程非齐

20、次方程3 3、微分方程一般分类、微分方程一般分类 (1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程按自变量的个数，分为二元和多元方程；xyuxusin2222(3) 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程高阶微分方程；(2) 按未知函数及其导数的幂次，分为按未知函数及其导数的幂次，分为线性微分方程线性微分方程和和非线非线性微分方程性微分方程；(4) 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程数微分方程；例如，两自变量的一阶偏微分方程可写作：例如，两自变量的一阶偏微分方

21、程可写作：0),(),(),(,(yxuyxuyxuyxFyxxxuatu2222222222uuauxt222uuaxuxt222110uu判断下列方程的类型思考上午8时35分27线性方程的解具有叠加特性 iifLu ffiuuifLu 0iLuuui0Lu4 4、叠加原理、叠加原理 叠加原理的叠加原理的物理意义物理意义：几种不：几种不同的原因的综合所产生的效果同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的等于这些不同原因单独产生的效果的累加。效果的累加。（以热传导方程为例）（以热传导方程为例）叠加原理叠加原理I设设,3 , 2 , 1),(ktxuk是下面方程的解：是下面方程的解：

22、(1) ),( ,2Gtxuauxxt(2) ),(),(1kkktxuctxu在在G内收敛并且对内收敛并且对t可逐项求导一次，对可逐项求导一次，对x可逐项求可逐项求导两次，则和函数在导两次，则和函数在G内仍然是（内仍然是（1 1）的解）的解. .若级数若级数 也就是说，如果也就是说，如果 是（是（1 1）的解，则其无限线性组合也是解。的解，则其无限线性组合也是解。,3 , 2 , 1),(ktxuk上午8时35分28叠加原理II是下面方程的解是下面方程的解设设,),(3 32 21 1 ktxuk(3) ),( ),(222Gtxtxfxuatuk如如果果级级数数 1 1kkktxuc),(

23、函数可逐项求导两次，则和对x (4) ),( ),(1kkktxuctxu.是下面非齐次方程的解(5) ),( , ),(1222Gtxtxfcxuatukkk可以逐项求导一次，内对在tG上午8时35分29叠加原理III 设设),(Mtxu是下面方程的解：是下面方程的解： (6) ),( ),(222GtxMtxfxuatu ,),( ,GtxDMDdMMtxutxU),(),(若若),(txU在积分号下对在积分号下对 t 求导一次，对求导一次，对 x 可求导两次，则可求导两次，则在在G上是以下方程的解：上是以下方程的解：)(6 ,),( ,),(222GtxdMMtxfxUatUD上午8时3

24、5分30叠加原理IV上午8时35分315 5、微分方程的解、微分方程的解 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。通解： 全部的解，即含有相互独立的任意常数的个数与偏微分方程阶数相同的解。 特解： 通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。 形式解：未经过严格数学理论验证的解为形式解。 6 6、求解方法、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法上午8时35分32四、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类四、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式两个自变

25、量的二阶线性偏微分方程的一般形式fcuububuauauayxyyxyxx212212112(1) fcbbaaa,21221211其中，其中，都是区域都是区域上的实函数，上的实函数，并假定它们是连续可微的。并假定它们是连续可微的。 若在区域若在区域),(00yx上某点上某点处满足处满足02211212aaa),(00yx),(00yx02211212aaa，则则(1)(1)在点在点处是处是双曲型双曲型的；的；，则，则(1)(1)在点在点02211212aaa处处是是抛物型抛物型的；的；),(00yx，则，则(1)(1)在点在点处处是是椭圆型椭圆型的的. .如果方程如果方程(1)(1)在所讨论

26、的区域在所讨论的区域内每点都是内每点都是双曲型双曲型( (抛物型或椭圆型抛物型或椭圆型),),则称方程在区域内也是双曲型则称方程在区域内也是双曲型( (抛物型抛物型或椭圆型或椭圆型) )。 上午8时35分33 如果一个方程在区域如果一个方程在区域 中的一部分区域表现为双中的一部分区域表现为双曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上表现曲型，在另一部分表现为椭圆型，而在分界面上表现为抛物型，那么，这样的方程在区域为抛物型，那么，这样的方程在区域 中称为中称为混合型混合型的。的。02222yuxuy例如方程：例如方程： 容易看出，如果点容易看出，如果点( (x0 0, ,y0 0) )上方程表现为双曲型或上方程表现为双曲型或椭圆型，那么一定存在该点的一个邻域，使方程在这椭圆型，那么一定存在