高中数学第二轮复习讲义-思想方法渗透Word版

1、个性化辅导讲义 学生： 徐鹤绾 科目： 数学 第 6 阶段第 1 次课 教师： 张洵 时间： 05.23 课 题思想方法渗透教学目标数学中函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的掌握.重点、难点数形结合思想分类讨论思想考点及考试要求熟练运用数学思想在各个题型中的运用教学内容 知识版图 善于用数学思想武装自己考点一：函数与方程思想知识概括、方法总结与易错点分析 【思想精要】函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式

2、（组）来使问题获解.方程是从算术方法到代数方法中寻找等量关系的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的.1. 函数的思想方法 函数的思想方法是用了解变化的观点，将给定的数学问题转化为函数关系，通过研究函数的图像和性质，得出所需的结论.在解题中，要善于挖掘题目隐含的条件.高考中有关函数思想的试题主要涉及以下两个方面：（1） 利用有关初等函数性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题.（2） 在研究问题中通过建立函数关系或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为简，化繁为简的目的.2. 方程的思想方法 方程的思想方法就是

3、将所求的量（或与所求的量相关的量）设成未知数，根据题中各量之间的关系列出等式，沟通未知与已知的关系，从而使问题得以解决.高考中有关方程的单独命题较少，在解题中的应用主要表现在以下三个方面：（1） 方程、函数、不等式的综合题.（2） 求曲线方程及判定曲线的位置关系.（3） 构造方程或不等式求解.【思想渗透】 一、函数与方程思想在三角函数中的应用【例1】如果方程在上有解，求的取值范围.【龙文点拨】研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域.二是换元，将复杂方程问题转化熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式

4、或构造函数加以解决. 二、函数与方程思想在不等式中的应用【例2】设不等式对满足的一切实数的取值都成立，求的取值范围.【龙文点拨】一般地，对于多元问题，需要确定合适的变量和参数，反客为主，主客换位思考，创设新的函数，并利用新的函数创造性的使原问题获解.求解本题的关键是变换角度，以参数作为自变量而构造函数式，不等式的问题就变成函数在闭区间上的值域问题. 三、函数与方程思想在数列中的应用【例3】设数列满足且，证明：【龙文点拨】在证明有关数列的不等式问题中，常常可以通过构造函数，利用函数的单调性来证明.本题通过构造，利用导数这个工具，易得证.本题综合考查了函数、数列、不等式及导数的有关内容. 四、函数

5、与方程思想在解析几何中的应用【例4】已知直线与抛物线交于不同的两点、,问：是否存在，使以为直径的圆过抛物线的焦点.【龙文点拨】是否存在适合题意的按思路的自然流向应变为：关于的方程是否有解.另外，解得后，经过式的检验，就是说，时，直线与要确定有两个不同的交点. 五、函数与方程思想在立体几何中的应用【例5】平面内边长为的正三角形，直线，交于,现将沿折成的二面角，求在何位置时，折起后到的距离最短，最短距离是多少？【龙文点拨】立体几何、解析几何及实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值. 针对练习1.抛物线上的点到A的最

6、短距离是 （ ）A.3 B. C.2 D.2. 已知，则有 （ ）A. B. C. D.3. 已知则的值是 4. 已知当，不等式恒成立，则实数的取值范围是 5. 已知关于的方程有实数解，求实数的取值范围.考点二： 数形结合思想知识概括、方法总结与易错点分析 【思想精要】 数形结合思想主要是运用数的严谨性和形的直观性，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，是抽象思维和形象思维相结合，通过图形的描述，用代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思维方法. 1.数形结合思想主要体现在两方面：一是以形助数，即借助形的直观性来阐述数之间的了解，以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图像；借助单位元；借助

7、数式的结构特征；借助解析几何方法等.二是以数助形，即借助于数轴的精确性来阐明形的某些属性，以数助形常用的有；借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合等. 2.数形结合的关键是代数问题与之图形之间的相互转化，在利用这一思想时，要注意以下几点：一要明白一些概念和数式的几何意义以及曲线的代数特征；二是要恰当设参数，建立关系，做好数形的转化；三在转化时要注意等价性原则. 3.应用数形结合思想解题，常与以下内容有关. （1)实数与数轴上的点； （2）函数、不等式与函数图像； （3）曲线与方程； （4）代数式的结构特征； （5）以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念.如向量，可行

8、域与目标函数，复数，三角函数等.【思想渗透】 一、数形结合思想在函数不等式中的应用【例6】设有函数和，已知时恒有求实数的取值范围.【龙文点拨】利用函数的图像解决不等式问题，通常根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数（函数为不熟悉的形式，需要做适当的变形，转化为熟悉的函数），然后在同一坐标系中做出两个函数的图像，利用图像的位置，找到数量关系，从而解决不等式的问题，这样往往可以避免复杂的计算. 二、数形结合思想在方程中的应用【例7】若关于的方程有四个不同的实数解，求的取值范围.【龙文点拨】用函数的图像讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解的个数是一种重要的思想方

9、法，其基本思想是把方程的两边的代数式（复杂时做适当的变形）设为两个函数，并在同一坐标系内做出两函数图像，图像交点个数即为方程解的个数.此题方程的解实质是函数的零点问题，求有关解的个数可将参数移至一侧，将另一侧转化为简易的初等函数，结合图像易解. 三、数形结合思想在求参数，代数式的取值范围，最值问题中的应用【例8】已知实数系一元二次方程有两个根，一个,根在区间（0，1）内，一个根在区间（1,2）内，求：(1) 点对应区域的面积；(2) 的取值范围；(3) 的值域.【龙文点拨】研究此类题目，关键在于理解代数式所表示的几何意义，利用题目所给的条件，确定目标函数的可行域，利用数形结合思想，题目迎刃而解

10、. 四、数形结合思想在解析几何中的应用【例8】点在椭圆的左准线上，经过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，求椭圆的离心率.【龙文点拨】在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图像的特征，挖掘题目中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便. 五、数形结合思想在向量中的应用【例9】设向量满足，求的最大值.【龙文点拨】此类题目我们也可以通过向量的计算，结合不等式来求解，或利用向量的坐标形式，求出点所满足的轨迹方程来求解，但运算量都比较大.本题借助图形来解答，就很直观、简便，同时也很好的体现了数形结合思想的优点. 针对练习1. 已知函

11、数满足下面关系：（1）（2）当时，则方程解的个数是 （ ）A.5 B.7 C.9 D.102. 已知向量，对任意，恒有，则 （ ）A. B. C. D.3. 设函数此函数在上有零点，则的取值范围是 4. 已知P是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，四边形面积的最小值是 5. 已知函数（1） 设求的取值范围；（2） 设且方程有四个不同的实根，求实数的取值范围.考点三： 分类讨论思想知识概括、方法总结与易错点分析 【思想精要】 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论.分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点.分类讨

12、论思想在求解三角函数、数列、立体几何、解析几何、函数与导数等数学问题中有着广泛的应用. 分类讨论思想是以概念的划分、几何的分类为基础的思想方法，对分类讨论思想要特别注意以下几个方面： 1.分类原则：分类应按同一标准进行，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论. 2.分类方法：明确讨论对象以及研究的范围；确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论. 3.含参数问题的分类讨论是常见题型.【思想渗透】 一、分类讨论思想在三角函数中的应用【例10】在中，角所对的边分别为，已知（1） 求的值；（2） 当时，求及的长.【龙文点拨】本题由是锐角还是钝角的不确定，引起的分类讨论

13、.在局部运算中结果的多种可能性而诱发分类，在解答题中比较常见. 二、分类讨论思想在数列中的应用【例11】设等比数列的公比为，前项和(1) 求的取值范围；(2) 设记的前项和为，试比较与的大小.【龙文点拨】数学概念、定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的，要进行分类讨论.如本题中等比数列的前项和的的公式，要分和两种情况.用作差法比较大小时，如果“差”中含有参数，要进行分类. 三、分类讨论思想在立体几何中的应用【例12】已知正三棱柱的底面积为S，高为，过点作与底面成角的截面，使,求截面的面积.【龙文点拨】由所涉及图形的形状或位置关系的不确定，通常要分类求答，特别是题中没有给

14、出图形的情况下，我们在审题时，应注意图形位置的可变性，以防漏解. 四、分类讨论思想在解析几何中的应用【例13】已知椭圆的离心率连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线与椭圆相交于不同的两点A,B，已知点A的坐标为，点Q（在线段AB的垂直平分线上，且求的值.【龙文点拨】本题主要由线段AB的垂直平分线位置的变化而引起的分类，在用点斜式或斜截式设直线方程时，通常要分直线的斜率存在或不存在两种情况. 五、分类讨论思想在函数与导数中的应用【例14】已知其中是自然常数，.(1) 当时，讨论的单调性及极值；(2) 是否存在实数，使的最小值为3？如果存在，求出的值；如果不存

15、在，请说明理由.【龙文点拨】本题是由参数的变化引起的分类讨论，在分类时，应做到不重不漏，不能忘记这一情况.一般地，由参数变化引起结论变化的情况，包括（1）含参数不等式问题；（2）含参数的方程问题；（3）含参数的函数问题；（4）含参数方程中曲线类型的判定等几种情况. 针对练习1. 一条直线过点（5,2），且在轴，轴上的截距相等，则这条直线与方程为 （ ）A. B.C.或 D.或2. 若且则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D.3. 已知则 4. 在50件产品中有4件是次品，从中任抽取5件，至少有3件次品的抽法共有 种（用数字作答）.5. 已知函数是奇函数.（1） 求实数的值；（2） 若函

16、数在区间上单调递减，求实数的取值范围.考点四： 转化与化归思想知识概括、方法总结与易错点分析 【思想精要】 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方

17、法渗透到所有的数学内容和解题过程中. 转化的常用策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等.【思想渗透】 一、转化与化归思想在三角函数中的应用【例15】已知中，三个内角，的对边分别为的外接圆半径为且（1） 求角；（2） 求面积的最大值.【龙文点拨】在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边，以使将题目中的元素统一起来或将条件和结论统一起来，这是一重要的思维方式，它体现了转化与化归思想中的和谐统一原则. 二、转化与化归思想在数列中的应用【例16】已知数列的首项（1） 求的通项公式；（2） 证明：对任意的（3） 证明：【龙文点拨】第（1）小题借助递推关系变形，

18、将问题化归为我们熟悉的基本数列等比数列来解决.第（2）小题从函数入手，将函数表达式进行配方，再进行放缩，当然也可对函数求导来达到目的，这里体现了将数列问题转化为函数问题的处理思想.第（3）小题是对（2）累加的基础上，巧取来实现目标的.通常数列问题常转化为等差、等比数列问题求解. 三、转化与化归思想在；立体几何中的应用【例17】四棱锥中，平面，E为AD的中点，ABCE为菱形，,G、F分别是线段CE、PB上的动点，且满足(1) 求证：平面;(2) 求的值，使得二面角的平面角的正切值为.【龙文点拨】在立体几何中，证明平行、垂直时，一般都要用到线线平行、线面平行及线线垂直、线面垂直、面面垂直两两互相转化的思想.在空间角及距离的计算中，通常要添加适当的辅助线，将空间角的问题转化为平面角处理.本题