高中数学知识要点重温之抛物线及其性质Word版

1、抛物线及其性质江苏 郑邦锁1不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈；抛物线的焦点位置取决于哪个变量是一次的及其系数的正负；抛物线标准方程中的“”表示焦准距。举例1 抛物线的准线方程为，则的值为（A） （B） （C） （D）解析：抛物线的标准方程为：，其准线方程为：y= -,a=，故选B。举例2若椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成53的两段，则此椭圆的离心率为 ： (A) (B) (C) (D)解析：抛物线y2=2bx的焦点为F（，0），F将线段F1F2分成53的两段，（+c）：（c -）=53c=2be=,选D。巩固1点M(5,3

2、)到抛物线y=ax2的准线的距离等于6,那么抛物线的方程是( ) (A)y=12x2 (B)y=x2或y=-x2 (C)y=-36x2 (D)y=12x2或y=-36x2巩固2 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为A B C D2.涉及到抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题常用定义；有时，抛物线上的点到与准线平行的直线的距离需转化为到准线的距离。举例1已知A（3，1），抛物线上一点P（x,y），则|PA|+y的最小值为 。解析：抛物线的准线为：y= -1，焦点F（0，1），记P在直线y= -1上的射影为Q，则y=|PQ|-1=|PF|-1，|PA|+y=|PA|+|PF|-1，问题转化为

3、：求|PA|+|PF|的最小值，易见：|PA|+|PF|AF|=3，当且既当F、P、A共线时等号成立，故：|PA|+y的最小值为2。xyF1F2MPOQ举例2已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个公共点，若=e，则e的值为：A B C D解析：记抛物线的准线交x轴于M，P在上的射影为Q，则|F1M|=|F1F2|=2c，即的方程为x= -3c，|PF2|=|PQ|，又=e，即=e，F1是椭圆的左焦点，|PQ|为P到椭圆左准线的距离，即为椭圆的左准线，于是有：-3c= -e=，选A。巩固1 一动圆圆心在抛物线上，过点(0 , 1)且与定直线

4、相切，则的方程为（ ） A.B.C.D.巩固2 椭圆C1：的左准线为，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2的准线也为，焦点为F2，记C1与C2的一个交点为P，则= （ ）A B1 C2 D与a,b的取值有关3过抛物线y2=2px的焦点直线与抛物线y2=2px交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，记住并会证明：，|AB|=(其中为弦AB的倾角，=900时的弦AB即为抛物线的通经)，证明该结论时为避免讨论斜率不存在情形，可设直线方程为：x=my+(其中m为AB的斜率的倒数)；抛物线焦点弦问题常用定义，如：以焦点弦为直径的圆与准线相切。举例1抛物线y2=2px上弦长为a（a2p）的弦的中点到

5、y轴的距离的最小值为： 。解析：抛物线的准线的方程为：x= -,焦点F（，0），记弦的两端点为A、B，AB的中点为M，它们在上的射影分别是A1，B1，M1；于是有：|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|，M到y轴的距离d=|MM1|-=(|AA1|+|BB1|）-=(|AF|+|BF|）-|AB|-=,当且仅当A，B，F共线时等号成立。注：过焦点的弦最短是通经，长为2p，当a<2p时，A，B，F不可能共线。举例2 给定抛物线C：y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点设l的斜率为1，则与夹角为 ；解析：抛物线的焦点为F(1,0)，直线的方程为：x=y+1；将其代入抛

6、物线方程得：y2-4y-4=0设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有y1+y2=4,y1y2= -4，又x1=y12, x2=y22,x1 x2=(y1 y2)2=1.=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2= -3.=,cos<>=故与夹角为-arccos.注：在研究形如y2=2px的抛物线与直线的有关问题时，设直线方程为x=my+b的形式，不仅可以简化计算，有时还可以避免对直线斜率是否存在的讨论。巩固1AB是抛物线的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是（ ）A2BCD巩固2过抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且OAB（O为坐标原点）

7、的面积为，则m6+m4= 4直线与圆锥曲线的公共点问题一般用方程组的解研究。直线与曲线有几个公共点，方程组就有几组解；直线与圆锥曲线相切体现为：在解方程组的过程中，“消元”后得到的一元二次方程有两个相等的实根，即=0；抛物线的切线还可以用导数研究（视抛物线方程为二次函数）。举例1设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是：（ ）A-， B2，2C1，1D4，4解析：Q（-2，0），显然直线 斜率存在，记为k，则的方程为：y=k(x+2),代入抛物线方程得：k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当k=0时，方程有解；当k0时，=64(1-k

8、2)0即-1k<0或0<k,故选C。举例2如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.则APB的重心G的轨迹方程为 .解析：设切点A、B坐标分别为，y/=2x，两切线斜率分别为：2x0和2x1,于是：切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，结合=代入点P所在在直线方程，得到重心G的轨迹方程为：注：上述求轨迹的方法称为“代入法”，问题的基本结构是：动点N在已知曲线C0上移动，动点M随之移动（伴随点），求动点M的轨迹方程；一般解法是：寻找被动点M的坐标 (x,y)与主动

9、点N的坐标(x0,y0)之间的关系，并用x,y表示x0,y0，再代入曲线C0的方程即可；此法为“参数法”的一种，借助M、N两点坐标之间的关系及曲线C0的方程消去两个参数x0,y0。巩固1 已知直线与抛物线相切，则巩固2对于抛物线C：y24x，我们称满足y024x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部.若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线l：y0y=2(x+ x0)与曲线C A.恰有一个公共点 B.恰有2个公共点C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点 D.没有公共点迁移直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1的两支分别交于A、B两点，则a的取值范围是 。5.解决直线与二次曲线相交弦的问题，常

10、“设而不求”，即将直线方程与二次曲线方程联立方程组，利用代入消元法转化为关于x(或y)的一元二次方程，将题中所给的几何量用韦达定理、刻划出来；如：弦长|AB|=，（其中k为直线AB的斜率），或|AB|=。涉及斜率及其弦中点的问题常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标分别代入二次曲线方程作差，此后略作变化（分离出弦的斜率），即可得到弦的斜率与弦中点的横纵坐标之间的关系。举例1 在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）则得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为 ；解析：显然直线AB的斜率存在，记为k，AB的方程记为：y=kx+b,(b0), A(x1,y1),

11、B(x2,y2),将直线方程代入y=x2得：x2-kx-b=0,则有：=k2+4b>0 ,x1+x2=k , x1x2= -b ，又y1=x12，y2=x22y1y2=b2；而 x1x2+ y1y2=0，得：-b+ b2=0且b0，b=1，代入验证，满足；故y1+y2=k(x1+x2)+2=k2+2；设AOB的重心为G(x,y)，则x= ,y= ,由两式消去参数k得：G的轨迹方程为。xyF1F2CABO注：上述求轨迹的方法称为“参数法”，一般先设法将动点坐标用“参数”表示，再消参数。举例2过椭圆的右焦点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2

12、,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是 。解析：对|F2A|+|F2C|=使用焦半径公式得：5-x1+5-x2=x1+x2=8.此后，可以设AC的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差”：记AC中点M（4，y0）, 将A、C两点的坐标代入椭圆方程后作差得：，,于是有：AC的中垂线的方程为：，当x=0时：=-，此即AC的中垂线在y轴上的截距，注意到：M（4，y0）在椭圆“内”，得-<<,-<-<。巩固1已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .巩固2