九年级数学中考第二轮复习：方案设计问题北师大版

1、九年级数学中考第二轮复习一方案设计问题北师大版【本讲教育信息】1 .教学内容：专题四：方案设计问题2 .知识要点：这类问题常常给出问题情景与解决问题的要求，让学生设计解决问题的方案，或给出多种不同方案，让学生判断它们的优劣.解这类问题的关键是寻找相等关系，利用函数的图像和性质解决问题；或列出相关不等式(组)，通过寻求不等关系找到问题的答案；或利用图形变换、解直角三角形解决图形的设计方案、测量方案等.3 .考点分析：近年来，在各地的中考试题中，出现了方案设计题. 方案设计题可以综合考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、动手能力等.方案设计题还呈 现出创新、新颖、异彩纷

2、呈的新趋势.【典型例题】题型一 利用方程(组)进行方案设计例1.一牛奶制品厂现有鲜奶 9t .若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1t鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1t鲜奶可获利2000元.该厂的生产能力是： 若专门生产酸奶， 则每天可用去鲜奶 3t;若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1t.由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两产品不可能同时生产，为保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过 4天的时间内全部加工完毕.假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润 是多少？分析：要确定哪种方案获利最多，首先应求出每种方案各获得的利润，再比较即可.解：生产方案设计如下：(1)将

3、9t鲜奶全部制成酸奶，则可获利1200X 9= 10800元.(2) 4天内全部生产奶粉，则有5t鲜奶得不到加工而浪费，且利润仅为2000X4=8000元.(3) 4天中，用x天生产酸奶，用4 x天生产奶粉，并保证 9t鲜奶如期加工完毕.由题意，得 3x+ (4 x) X 1 = 9.解得 x= 2.5.4 x=1.5 (天).故在4天中，用2.5天生产酸奶，用1.5天生产奶粉，则利润为(2.5 X 3X 1200+ 1.5X 1X 2000)元=12000 元.答：按第三种方案组织生产能使该厂获利最大，最大利润是12000元.评析：运用数学知识解决现代经济生产中的实际问题是中考的热点考查对象

4、之一，同学们应多关心商品经济，生活中的规律、规则，把数学与生活有机结合起来.题型二利用不等式进行方案设计例2.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞.现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元.甲乙价格（力兀/台）75每台日产量/个10060（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的 6台机器的日生产能力不低于 380个，那么为了节约资金应选择哪 种购买方案？分析：（1）可设购买甲种机器 x台，然后用x表示出购买甲、乙两种机器的实际费用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过34万元

5、”列不等式求解.（2）分别算出（1）中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于 380个”与“节约资金”两个条件选择购买方案.解：（1）设购买甲种机器 x台，则购买乙种机器（6-x）台，则：7x+5 （6x） < 又 x>0, 0<x<2, 可得三种购买方案：34,解得 x<2,，整数x= 0、1、2,万案一万案一万案二购买乙种机器购买甲种机器购买甲种机器6台;1台,2台,乙种机器乙种机器5台;4台.用心 爱心专心（2）列表如下:日生产量/个总购买资金/力兀力杀一36030力某一40032力杀二44034由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；？方案

6、三比方案二多耗资 2万元，故选择方案二.评析：部分实际问题的解通常为整数；方案的各种情况可以用表格的形式表达;对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的关键.题型三利用函数进行方案设计例3.(1)(2)图(2)1）所示.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（ 请说明图中、两段函数图象的实际意义.写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量 m （kg）之间的函数关系式；在下的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较 多数量的该种水果.批发单价（元）400300200-I100J.2060 批发量（kg） 0图IjI J 1I20 40 60

7、80 100 批发量 m (kg)图(2)（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（3）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大.分析：(1)中注意图像中的圆圈表示不包括该点; 之间的函数关系式分两部分，实际是两个函数图像.当(2)中金额w (元)与批发量 m (kg) 240v ww 300时，批发量 m有两个值，可比较这两者的大小；当 w取其他值时，m只有一个值.(3)利用二次函数的最值求 获得最大利润的进货和销售方案.解：(1)图(1)中表示批发量不少于20kg且不多于60

8、kg的该种水果，可按 5元/kg批发；表示批发量高于60kg的该种水果，可按 4元/kg批发.5m (20<m<60)(2)解：由题意得：w=,函数图象如图(4)所示.由图可知资4m (m>60)金金额满足240vwW300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果.(3)解法一：设当日零售价为x元，由图可得日最高销量m=320-40x,当m>60时，xv 6.5,由题意，销售利润为：y= (x4) (320-40X)=40 (x6) 2+4,当x = 6时，y最大=160,此时m= 80,即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为解法二：设日最高销售量为xkg (x

9、>60),6元/kg,当日可获得最大利润160元.则由图(3)日零售价p满足：x= 32040p,十曰 320-x于是p=F，销售利润 y=x (320 x 4)=_ 1_ (x_8。) 4040当x=80时，y最大=160,此时p=6,即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为2+ 160,6元/kg,当日可获得最大利润160元.评析：本题考查同学们的读图能力,解题关键是数形结合，弄清题目的数量关系.题型四 利用解直角三角形进行方案设计例4.如图所示，小山上有一棵树.现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量 方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A到水平地面的距离 AB.要求：(1

10、)画出测量示意图.(2)写出测量步骤.(测量数据用字母表示)(3)根据(2)中的数据计算 AB.分析：本题是一道开放性问题， 设计方案时要注意测角仪有高度，同时还要注意测量所需数据可用a、b、c、d以及角度a、3来表示.最后还要注意直角三角形的模型.解:(1)测量图(示意图)如图所示.C m D B(2)测量步骤：第一步：在地面上选择点 C安装测角仪，测得此时树尖 A的仰角/ AHE = a .第二步：沿 CB前进到点D,用皮尺量出 C、D之间的距离 CD=m.第三步：在点D安装测角仪，测得此时树尖 A的仰角/ AFE = 3 .第四步：用皮尺量出测角仪的高h.(3) AB=mtan tan

11、+h. tan tan评析：利用解直角三角形进行方案设计时一定要使用题目中所给的测量工具，而不能利用题目以外的测量工具.同时还要关注测量时是否有障碍物，是用具体的数值表示还是用字母表示等.本题的易错点在于同学们容易忽视测角仪的高度.设计测量方案时，结合我们平时在解直角三角形中已经建立的模型来考虑是一条捷径.题型五利用统计和概率进行方案设计例5.某学校举行演讲比赛， 选出了 10名同学担任评委，并事先拟定从如下 4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数.方案2:在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数.方

12、案3:所有评委所给分的中位数.方案4:所有评委所给分的众数.为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验.如图所示是这个同学的得分统计图.(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分.(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后 得分.分析：对于题目中的四种方案我们可以分别计算出结果，只要注意平均数、中位数、众数的概念及三种统计量的意义即可.解：(1)方案1最后得分：1(3.2+7.0 + 7.8+3X8.0+3X8.4+9.8) =7.7.10方案 2 最后得分：1 (7.0+7.8+3X 8.0+3X 8.4) =8.8方案3最后

13、得分：8.方案4最后得分：8或8.4.(2)因为方案1中的平均数受较大或较小数据的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为统计最后得分的方案.因为方案4中的众数有两个，众数没有实际意义，所以方案4不适合作为统计最后得分 的方案.评析：本题考查了统计中三个统计量的计算和意义的使用.题型六实际应用图形方案设计例6.在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面.他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行， 于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图

14、所示的方案二.(两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切)(1)请说明方案一不可行的理由；(2)判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆的半径；若不可行，请说明理由.分析：判断方案是否可行，可用反证法，假设方案可行，确定正方形的大小，与所给正 方形进行比较得出结论.解：(1)理由如下：假设方案一可行.扇形的弧长=271X16X1=8兀，4圆锥底面周长=2兀，则圆的半径为4cm.由于所给正方形纸片的对角线长为1642cm,而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为 16+4 + 4y2=20 + 442cm, 20 + 4卷16取

15、.，假设不成立，故方案一不可行.（2）方案二可行.求解过程如下：设圆锥底面圆的半径为 rcm,圆锥的母线长为 R cm,一. 一一一2 R 则（1+平）r+R= 16#.2 71r = 2R.由，可得r = =匈2产，5+ 223_ 16 /80v2-3280,23223r-5 + V223故所求圆锥的母线长为320 0128cm,底面圆的半径为23评析：图形方案设计问题，关键要弄清楚设计要求，图形变化前后变化的量和不变的量.【方法总结】这类试题不仅要求学生要有扎实的数学双基知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化，抽象成具体的数学问题.从方法上分两类进行概括：（1）方案已知，要求选优

16、;（2）先求方案，再选最优.【预习导学案】（专题五：开放探索性问题）一.预习导学1 .如图所示，AC、BD相交于点O, /A = / D,请你再添加一个条件 ,使得 /ABC DCB .2 .请同学们写出两个具有轴对称性的汉字 .3 .已知二次函数y=ax2+bx+c （aw0）的图像如图所示，下列结论： abc>0;2a+b<0;4a 2b+c< 0;a+c>0.其中正确的个数是（）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个二.反思1 .开放探索性问题有什么特征？2 .开放探索性问题的解题策略是什么?【模拟试题】（答题时间：50分钟）一.选择题*1. 一宾馆有二人

17、间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共 7间，如果每个房间都住满，租房方案有()A. 4种B. 3种C. 2种D. 1种*2.北京奥运期间，体育场馆要对观众进行安全检查。设某体育馆在安检开始时已有若 千名观众在馆外等候安检，安检开始后，到达体育馆的观众人数按固定速度增加。又设各安检人员的安检效率相同。若用3名工作人员进行安检，需要 25分钟才能将等候在馆外的观众检测完，使后来者能随到随检；若用 6名工作人员进行安检，时间则缩短为 10分钟。现 要求不超过5分钟完成上述过程，则至少要安排 名工作人员进行安检。()A. 9B. 10C. 11D. 12二.填空

18、题1 .为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：(1)测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高；(2)查阅有关外地180名男生的身高统计资料；(3)在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这几所学校有关年级 的(1)班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高.为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？答：选;理由.*2.有10名菜农，每人可种甲种蔬菜 3亩或乙种蔬菜2亩，？已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入 0.8万元，若

19、要总收入不低于 15.6万元，？则最多只能安排 人种甲种蔬菜.三.解答题a、b,斜边长为c)1 .如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是 和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图.(2)证明勾股定理.2 .为迎接国庆60周年庆典，我省将举办以“红土地之歌”为主题的演讲比赛.某地区经 过紧张的预赛，王锐、李红和张敏三人脱颖而出，他们的创作部分和演讲部分的成绩如下表 所示，扇形统计图是当地的450名演讲爱好者对他们三人进行“我喜欢的选手”投票后的统 计情况(没有弃权，并且每人只能推选 1人).(1)请计算三位参赛选手的得票

20、数各是多少？(2)现要从王锐、李红和张敏三人中推选一人代表该地区参加全省的决赛，推选方案为：演讲爱好者投票，每票记 1分；将创作、演讲、得票三项所得分按 4 ： 5 ： 1的比例确定 个人成绩.请计算三位选手的平均成绩，从他们的平均成绩看，谁将被推选参加全省的决赛？王锐李红张敏创作95分90分88分演讲82分85分90分*3.某家电商场计划用 32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台.三种家电的进价和售价如下表所示：介格 种类进价（元/台）售价（元/台）电视机20002100冰箱24002500洗衣机16001700（1）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量

21、和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？（2）国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴.在（1）的条件下,如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？4.小明想利用太阳光测量楼高.他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影 子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边 观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m, CE=0.8m, CA=30m （点A、E、C在同一直线上）.已知小明的身高

22、EF是1.7m,请你帮小明求出楼高 AB （结果精 确到0.1m）.*5.某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE = MN.准备在形如 RtAAEH的四个全等三角形内种植红色花草， 在形如RtAMEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：品种红色花草黄色花草紫色花草价格（元/米2）6080120设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为 W元，解答 卜列问题：1 1） S与x之间的函数关系式为 S=;（2）求W与x之间的函数关系式，并求所需的最低

23、费用是多少元；(3)当买花草所需的费用最低时，求 EM的长.*6.某公司装修需用 A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cmX 30 cm, B型板材规格是40 cmX 30 cm.现只能购得规格是 150 cmX 30 cm的标准板材.一张标准板 材尽可能多地裁出 A型、B型板材，共有下列三种裁法： (如图是裁法一的裁剪示意图)裁升-裁法二裁法三A型板材块数120B型板材块数2mn设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁 y张、按裁法三裁z张,且所裁出的A、B两种型号的板材刚好够用.(1)上表中，m=, n=;2 2)分别求出y与x和z与x的函数关系式；(3

24、)若用Q表示所购标准板材的张数，求 Q与x的函数关系式，并指出当 x取何彳1时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张?单位：cm-40【试题答案】1 .选择题1. C1设二人间、三人间分别为 x间、y间，则四人间为（7-x-y）间，由题意可知：2x + 3y+4 （7-x-y） =20,得y+2x=8,则此方程的正整数解为、- 1 , x 2 , 、一 3 .因y = 6 y = 4 y= 2,x= 1为不合题意舍去，故有两种租房方案.】y= 62. C【假设开始时已有 m人等候安检，设工作人员每分钟检测 x人，观众每分钟增加y人，3x X 25 = m + 25y

25、 至少安排z名工作人员安检。则6xX10=m+10y，解得z> 11,所以至少要安排 11名工zx X 5 > m + 5y 作人员进行安检.】2 .填空题1. （3）;只有方案（3）获得的数据最具代表性和广泛性2. 41设安排x人种甲种蔬菜，则 3xX 0.5 + 2 （10 x） X 0.8>15.6,解得x< 4,故最多只 能安排4人种甲种蔬菜】 三.解答题1. 方法一 解：（1）如图所示:1（2）证明：:大正万形的面积表不为（a+b） 2,大正万形的面积也可表不为 c2+4X2ab,1，（a+b） 2=c2+4x2ab, a2+b2+2ab = c2 + 2ab

26、,，a2+b2=c2.即直角二角形两直角边的平方和等于斜边的平方.方法二解：（1）如图所示：一11（2）证明：大正方形的面积表不为：c2,又可以表不为：2abX4+ （ba） 2,，c2=；abX4+ （b a） 2, c2 = 2ab+b22ab+a2,c2= a2+b2.即直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.2. （1）由题意，王锐的得票数：30%X450= 135 （张）；李红的得票数：36% X 450= 162（张）；张敏的得票数：34% X 450= 153 （张）.一4 X 95+ 5 X 82+ 1 X 135一（2）王锐的平均得分：95十5 82十 25 =92.5 （分），李红的平均得分：4+ 5+14X 90+5X85+ 1 X 1624+5+1= 94.7 (分)，张敏的平均得分:4X 88+5X90+ 1 X 1534+ 5+ 1= 95.5 (分)，张敏将被推选参加全省决赛.3. (1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15 2x)台，则 15 2x< 1x2,解这个不等式组，得 6<x< 7, ;X为正整数，2000x+2400x+ 1600 (15 2x) < 32400 ，x=6或7.方案1