中国矿业大学概率论与数理统计[1]课件

1、中国矿业大学概率论与数理统计1概率论与数理统计概率论与数理统计第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布主讲教师：李金波中国矿业大学概率论与数理统计1相互独立的随机变量 第三章 二、二、n个随机变量的独立性个随机变量的独立性 一、两个随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性 第四节中国矿业大学概率论与数理统计1独立性是概率论的一个重要概念，第一章中独立性是概率论的一个重要概念，第一章中， 若若 P ABP A P B则称则称 A、B 相互独立相互独立。其意义是其中一个出现，不影。其意义是其中一个出现，不影响另一个出现的概率。响另一个出现的概率。在研究二维随机变量时，其中一个取值对另

2、一个在研究二维随机变量时，其中一个取值对另一个取值的概率是否有影响？取值的概率是否有影响？中国矿业大学概率论与数理统计1均有均有),(YXyx, P Xx YyP Xx P YyXY与一、两个随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性定义定义1 1 若二维随机变量若二维随机变量对任意的实数对任意的实数成立，则称随机变量成立，则称随机变量是相互独立的。是相互独立的。若记若记yYBxXA则则 BPAPABp成立，成立，可见可见 X，Y 相互独立的定义与两个事件相互相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的。独立的定义是一致的。下面我们寻找判断下面我们寻找判断X，Y 相互独立的办法：相互独立的办法

3、：中国矿业大学概率论与数理统计1价于对任意实数价于对任意实数),(yxF)(, )(yFxFYXyx,)()(),(yFxFyxFYX设随机变量设随机变量的分布函数和边缘分布函数分的分布函数和边缘分布函数分别为别为和和有有.若若是离散型随机变量是离散型随机变量，则，则的充分必要条件是：的充分必要条件是：,jijiyYPxXPyYxXP即即,1,2,i jijpp pi j),(YXXY与，则，则相互独立等相互独立等),(YXXY与相互独立相互独立.若若是是连续型随机变量连续型随机变量，则，则的充分必要条件是：的充分必要条件是：),(YXXY与相互独立相互独立中国矿业大学概率论与数理统计1)()

4、(),(yfxfyxfYX几乎处处成立，即在平面上除去几乎处处成立，即在平面上除去“面积面积”为零的集合之为零的集合之外处处成立。外处处成立。结论：结论：XY与独立时，由边缘分布能够唯一确定联合独立时，由边缘分布能够唯一确定联合分布。分布。例例1 1 已知随机变量已知随机变量),(YX的分布律为下图，问的分布律为下图，问XY与是否相互独立？是否相互独立？YX0025/925/425/61125/6中国矿业大学概率论与数理统计1解解 由已知的由已知的XY与的联合分布律求其边缘分布律为的联合分布律求其边缘分布律为YX0ip025/925/425/65/35/21jp1125/65/35/20053

5、532590, 0YPXPYXP1052532561, 0YPXPYXP0153522560, 1YPXPYXP由于由于中国矿业大学概率论与数理统计11152522541, 1YPXPYXP因此因此XY与相互独立。相互独立。例例2 2 已知随机变量已知随机变量),(YX的分布律为下图，问的分布律为下图，问XY与是否相互独立？是否相互独立？YX0ip06/205/35/21jp115/35/22/206/206/20解解 由已知的由已知的XY与的联合分布律求其边缘分布律为的联合分布律求其边缘分布律为中国矿业大学概率论与数理统计16330,00 02055P XYP XP Y因此因此XY与不相互独

6、立。不相互独立。注：注：只要有一个不成立就不独立。只要有一个不成立就不独立。例例3 3 设随机变量设随机变量XY与相互独立，试确定相互独立，试确定 a,b,c 的值？的值？YXajp1/3b1/91/9ip1x2x3xc1/9a1/9b1/3c1/9 1/3 b 1/9ac12y1y中国矿业大学概率论与数理统计1XY与因为因为相互独立相互独立所以所以2222pp p1112()()9939bbbb1212pp p11111()()99398aba又由归一性得又由归一性得1111()()19936acbc中国矿业大学概率论与数理统计1其它, 0, 10, 10,4),(yxyxyxf),(YX例

7、例4 4 设随机变量设随机变量的概率密度为的概率密度为试问试问X与与Y是否相互独立是否相互独立? ?),(YXxdyxydyyxfxfX24),()(1010 xX其它, 0, 10,2)(xxxfX解解 因为因为关于关于的边缘概率密度的边缘概率密度其它, 0, 10,2)(yyyfY中国矿业大学概率论与数理统计1(, )( )( )XYf xyfx fy均有均有故故X与与Y是相互独立的。是相互独立的。显然，对任意的实数显然，对任意的实数yx,例例5.（约会问题）张三与李四决定在老地方相会，他们（约会问题）张三与李四决定在老地方相会，他们在晚上在晚上7:007:30之间各自随机到达，求：之间各

8、自随机到达，求： 先到若等待先到若等待5分钟以上的概率；分钟以上的概率； 两人在两人在5分钟之内能见面的概率。分钟之内能见面的概率。解解 以以7:00为起点为起点0，以分为单位。，以分为单位。设张三到达的时间为设张三到达的时间为X ；李四到达的时间为；李四到达的时间为Y，中国矿业大学概率论与数理统计1则则X、Y都是服从都是服从0,30上的均匀分布的随机变量，且上的均匀分布的随机变量，且X与与Y是相互独立的，所以是相互独立的，所以1/30,030,( )0,.Xxfxothers1/30,030,( )0,.Yyfyothers0301/900,( , )( )( )030,0,.XYxf x

9、yfxfyyothers 所求概率为所求概率为55P XYP YX525 30 xy501G2 5P XY（对称性）（对称性）中国矿业大学概率论与数理统计1 所求概率为所求概率为55P XYP YX2 5P XY（对称性）（对称性）1:52( , )G xyf x y dxdy 112900Gdxdy12900GS2212525900 236 所求概率为所求概率为| 5PXY211190036GS525 30 xy501G2G2511(1)3636or 中国矿业大学概率论与数理统计1),(222121N试证试证 与与 互独立的充分必要条件是互独立的充分必要条件是 YX 0),(YX例例6.6.

10、 若二维随机变量若二维随机变量服从正态分布服从正态分布二、二、n个随机变量的独立性（自学）参个随机变量的独立性（自学）参93页页 定理定理 设随机变量设随机变量12(,)mX XX12( ,)nY YY和相互相互独立，独立，h , g 是连续函数，则随机变量是连续函数，则随机变量12(,)mh X XX12( ,)ng Y YY和也相互独立。也相互独立。中国矿业大学概率论与数理统计1二维随机变量的函数的分布 第三章 一、二维离散型一、二维离散型r.v的函数的分布的函数的分布 第五节二、二维连续型二、二维连续型r.v的函数的分布的函数的分布 中国矿业大学概率论与数理统计1一、二维离散型随机变量的

11、函数的分布一、二维离散型随机变量的函数的分布 设离散型随机变量设离散型随机变量),(YX的分布律为的分布律为,2,1,jipyYxXPjiji设设),(yxgz 为二元函数，因为为二元函数，因为),(YX是离散是离散的，故的，故(, )Zg X Y也是离散型随机变量，现在也是离散型随机变量，现在求求(, )Zg X Y的分布律。的分布律。jiyYxX,),(jiyxgz jijipyxgZP),(, 2 , 1,ji当当时，时，Z 相应的值为相应的值为且有且有中国矿业大学概率论与数理统计1例例1 假设随机变量假设随机变量( X , Y )的分布律为的分布律为10107. 028. 015. 0

12、209. 022. 019. 0YX1分别求分别求123,ZXY ZXY ZX Y的分布的分布律，并判断律，并判断12ZZ和是否独立？是否独立？解解10,1,2,3ZR 且且100P ZP XY1,10.07P XY 中国矿业大学概率论与数理统计1ijp07. 028. 015. 009. 022. 019. 0),(YX) 1, 1 ( )0, 1 () 1 , 1 () 1, 2( )0, 2() 1 , 2(YXZ1121YXZ23XYZ 312012021012123同理可得下表同理可得下表化简整理，得各函数的分布律为：化简整理，得各函数的分布律为：中国矿业大学概率论与数理统计1XYZ

13、 321012kp07. 009. 050. 019. 015. 0YXZ2347. 0210kp15. 029. 009. 0YXZ137. 007. 019. 037. 0kp0123中国矿业大学概率论与数理统计1120,00P ZZ因为因为12000.07 0.15P ZP Z而而12ZZ和不相互独立。不相互独立。故故例例2 假设随机变量假设随机变量 X 与与 Y 相互独立，它们分别相互独立，它们分别服从参数为服从参数为12和的泊松分布。求的泊松分布。求ZXY的分布律。的分布律。解解 由题意可知由题意可知0,1,2,ZR 中国矿业大学概率论与数理统计1111111,0 ,1 ,2,!kP

14、 Xkekk222222,0 ,1 ,2,!kP YkekkP ZiP XYi故故0ikP XkP Yik 0,0P XYiP Xi Y0,ikP XkYik 由独由独立性立性中国矿业大学概率论与数理统计121!)(!201ekiekkiikk12()1201!iki kkieikik 12()12()!iei,2 ,1 ,0i)(21YXZ12()1201!ikki kikeCi 故故泊松分布具有可加性泊松分布具有可加性中国矿业大学概率论与数理统计1思考：思考：108页的页的27题，二项分布也具有可加性。题，二项分布也具有可加性。或放到第四章再做。或放到第四章再做。二、二维连续型随机变量的函

15、数的分布二、二维连续型随机变量的函数的分布 问题：问题：已知已知( X , Y )的联合分布，的联合分布，求求Z = g ( X , Y )的分布。的分布。只讨论两种比较常见的函数：只讨论两种比较常见的函数：ZXY.max(,) ,MX Y min(,)NX Y 中国矿业大学概率论与数理统计1.ZXY的分布的分布引例引例.（一般情况的推导）（一般情况的推导）已知已知( X , Y )的概率密的概率密( , )f x yZXY ，求求的的概概率率密密度度。度为度为解解ZXY的分布函数为的分布函数为( )ZFzP ZzP XYz :( , )G xy zf x y dxdy将以上二重积分化成累次积

16、分将以上二重积分化成累次积分中国矿业大学概率论与数理统计1xyzyx0( )( , )z yZFzdyf x y dx(, )x u yzdyf uy y du ( )(, )( )ZzZFzf uy y dyfduz (, )f zy y dy由由X与与Y的对称性又可得的对称性又可得中国矿业大学概率论与数理统计1( )( ,)Zfzf x zx dx特别地特别地,当当X 与与Y 相互独立时相互独立时,有有( )()( )ZXYfzfzyfy dy( )( )()ZXYfzfxfzx dx上式称为上式称为XYff与的的卷积公式卷积公式 ,记为记为XYff中国矿业大学概率论与数理统计1例例3 假

17、设假设 X 和和Y 相互独立相互独立,且都服从标准正态分且都服从标准正态分布布(0,1)ZNZXYf，求的概率密度(z)。解解 由题意可知由题意可知X 与与Y 的概率密度分别为的概率密度分别为221( ),2xXfxexp-=- + 221( ),2yYfyeyp-=- + 由卷积公式可得由卷积公式可得 Z 的概率密度为的概率密度为中国矿业大学概率论与数理统计1( )( )()ZXYfzfx fzx dx+ - =-22() 212xzxedxp+-+ - =2222212xzzxxedxp+-+ - =22()4212zzxeedxp+ - =中国矿业大学概率论与数理统计1222412zt

18、xzteedt 221(1)2xedx2412ze222( 2)122ze故故( 0, 2)ZXYN中国矿业大学概率论与数理统计1例例4 设随机变量设随机变量 X 和和Y 相互独立相互独立,且都服从正态且都服从正态分布分布2( ,)ZNZXYf ，求的概率密度(z)。解解 由题意可知由题意可知X 与与Y 的概率密度分别为的概率密度分别为22()21( ),2xXfxexmsps-=- + 22()21( ),2yYfyeymsps-=- + 由卷积公式可得由卷积公式可得 Z 的概率密度为的概率密度为中国矿业大学概率论与数理统计1( )( )()ZXYfzfx fzx dx+ - =-222()

19、() 2212xzxedxmmsps-+- -+ - =222(2) 2212tztt xedt 22222()() 22212zztedt中国矿业大学概率论与数理统计12222121 (2 )2()2222112 ( / 2)2 ( 2 )zzteedt 22)2(2)2()2(21ze2222(2 )12()22( 2 )2(/ 2)112 ( 2 )2 ( / 2)zzteedt 故故2(2 ,2)ZXYN中国矿业大学概率论与数理统计1定理定理 正态分布的可加性正态分布的可加性（以上结果可以推广到（以上结果可以推广到一般情况）一般情况）nXXX,21若随机变量若随机变量相互独立，并且相互

20、独立，并且),(2kkkNX(1 , 2 ,)kn),(12211nkkknkkknkkkNXZ,则则其中其中为常数。为常数。k中国矿业大学概率论与数理统计1例例5 设随机变量设随机变量( X ,Y )的概率密度为的概率密度为ZZXYf求的概率密度(z);,0,( , )0,.yexyf x yothers 求随机变量求随机变量 X 的概率密度的概率密度 求概率求概率( )Xfx ;1P XY。解解 ZXY的概率密度为的概率密度为( )(, )Zfzf zy y dy中国矿业大学概率论与数理统计1zy2zyzy,0,( , )0,.yexyf x yothers0 xy由由0zyy2yzy如右

21、图如右图当当0z 时，时，/2( )zyZzfze dy/2zzee当当0z 时，时，( )0Zfz 所以所以/2,0,( )0,0.zzZeezfzz中国矿业大学概率论与数理统计1( )( )()ZXYfzfxfzx dx或用另一个公式或用另一个公式同样可解出来，但注意图形坐标是关于同样可解出来，但注意图形坐标是关于 z 和和 x 的。的。 关于关于 X 的边缘概率密度为的边缘概率密度为( )( , )Xfxf x y dyxyxy,0,0,0.yxxeexx中国矿业大学概率论与数理统计11P XY由由式可得式可得1P Z1( )Zfz dz/2,0,( )0,0.zzZeezfzz1/20

22、()zzeedz1/2112ee 中国矿业大学概率论与数理统计1例例6 设随机变量设随机变量X ,Y 相互独立，相互独立，X 服从区间服从区间(0,1)上的均匀分布，上的均匀分布，Y 服从服从1的指数分布，试求随的指数分布，试求随机变量机变量 Z=X+Y 的密度函数。的密度函数。解解（方法一）（方法一）由题意可知，用卷积公式由题意可知，用卷积公式 其它0101xxfX 000yyeyfyY则随机变量则随机变量 Z=X+Y 的密度函数为的密度函数为 dxxzfxfzfYXZ中国矿业大学概率论与数理统计1，若0z 0zfZ，若10 z ,dxxzfxfzfYXZ0, 10 xzx ()01zz x

23、Zfzedxze1zxzdxee0，若1z 1()0z xZfzedxzzee110zxee dx其中其中即即01,xzx(如右图如右图)110 xzxz中国矿业大学概率论与数理统计110,0,( )1,01,1.zZzzzfzezeez 综上所述随机变量综上所述随机变量 Z=X+Y 的密度函数为的密度函数为（方法二）用分布函数法（方法二）用分布函数法由独立性可知由独立性可知,01,0,0,.yexyf x yothers中国矿业大学概率论与数理统计1 先求随机变量先求随机变量 Z=X+Y 的分布函数的分布函数( )( , )Zx y zFzP XYzf x y dxdy xy11zzxyz1

24、xy当当0z 时，时，( )0ZFz 当当01z时，时，00( )zz xyZFzdxe dy0(1)zx zedx1zze 中国矿业大学概率论与数理统计1xy11zzxyz1xy当当1z 时，时，100( )z xyZFzdxe dy10(1)x zedx11zzee 再对随机变量再对随机变量 Z=X+Y 的分布函数积分可得的分布函数积分可得10,0,( )( )1,01,1.zZZzzzfzFzezeez 中国矿业大学概率论与数理统计1.max(,) ,MX Y min(,)NX Y 的分布的分布最大最小分布有广泛的应用：在一个系统中要最大最小分布有广泛的应用：在一个系统中要考虑元件组的最

25、大最小寿命；建筑桥梁时，要考考虑元件组的最大最小寿命；建筑桥梁时，要考虑使用期内洪水最高水位等。这些问题的解决对虑使用期内洪水最高水位等。这些问题的解决对经济建设是有很大意义的。经济建设是有很大意义的。引例引例.（一般情况的推导）（一般情况的推导）已知已知X , Y 相互独立，相互独立，MN,求和已知已知( )( )XYFxFy和, 且且max(, ) ,MX Ymin(, )NX Y的分布函数。的分布函数。中国矿业大学概率论与数理统计1( )max(, )MFzP MzPX Yz 解解max(, )MX Y的分布函数为的分布函数为,P Xz Yz ( )( )XYP XzP YzFzF z

26、( )min(, )NFzPX Yz 1min(, )PX Yz min(, )NX Y的分布函数为的分布函数为1P XzP Yz 中国矿业大学概率论与数理统计1( )111NFzP XzP Yz 1 1( )1( )XYFzF z ( )( )( )MXYFzFzF z( )1 1( )1( )NXYFzFzFz 所以所以推广推广 当当12,nXXX独立同分布时，随机变量独立同分布时，随机变量( )( ) ,inMXFzFz ( )1 1( )inNXFzFz 12max(,),nMXXX12min(,)nNXXX的分布的分布函数为函数为中国矿业大学概率论与数理统计1例例7 设随机变量设随机

27、变量X 的概率密度为的概率密度为2 ,01,( )0,.xxf xothers 1234,XXXX随机变量随机变量相互独立且与相互独立且与X 有相同的有相同的分布分布,试求随机变量试求随机变量1234max(,)MXXXX的概率的概率密度和密度和0.5.P M 解解 X 的分布函数为的分布函数为20,0,( )( ),01,1,1.xXxFxf t dtxxx 中国矿业大学概率论与数理统计11234max(,)MXXXX的分布函数为的分布函数为4( )( ) ,MXFxFx 所以所以M 的概率密度为的概率密度为3( )( )4( )( )MMXfxFxFxf x 78,01,0,.xxothe

28、rs 于是于是0.510.51(0.5)MP MP MF 810.50.9961. 中国矿业大学概率论与数理统计1例例8 设系统设系统L 由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统12,L L 备用（当系统备用（当系统1损坏时，系统损坏时，系统2开始工作）。开始工作）。设设试求系统试求系统 L 的寿命的寿命Z 的概率密度。的概率密度。连结而成，连接的方式分别为连结而成，连接的方式分别为 串联；串联； 并联；并联；,0,( )0,0.xXexfxx 12,L L的寿命分别为的寿命分别为X ,Y ,并且并且,0,( )0,0.xYeyfyy 解解 由题意可得由题意可得中国矿业大学概率论与数理统计

29、1min(, );ZX Y max(, );ZX Y ZXY( )( )xXFxf x dx 0,0,0,0.xxedxxx 1,0,0,0.xexx 1,0,( )0,0.yYeyFyy 中国矿业大学概率论与数理统计1则则 min( )1(1( )(1( )XYFzFzF z ()1,0,0,0.zezz ()minmin(),0,( )( )0,0.zezfzFzz max( )( )( )XYFzFz Fz (1)(1),0,0,0.zzeezz 中国矿业大学概率论与数理统计1()max(),0,( )0,0.zzzeeezfzz 0z 时时( )()( )XYf zfzy fy dy

30、()0zz yyeedy zyee zy yzG中国矿业大学概率论与数理统计10z 时时( )0f z ,0,( )0,0.zyeezf zz 所以所以中国矿业大学概率论与数理统计1例例9 设随机变量设随机变量( X ,Y )的概率密度为的概率密度为3 ,01,0,( , )0,.xxyxf x yothers 试求随机变量试求随机变量ZXY的概率密度。的概率密度。解解 xy yxxyz1zG( )ZFzP XYz( , )x y zf x y dxdy 结合概率密度的非零区域可得结合概率密度的非零区域可得中国矿业大学概率论与数理统计10z 时时( )0ZFz 01z时时( )3ZGFzxdxdy xy yxxyz1zG10033zxxzx zdxxdydxxdy 33122zz0z 时时( )1ZFz 中国矿业大学概率论与数理统计130,0,31( ),01,221,1.ZzFzzzzz 所以所以故