陕西省安康市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷含解析

1、陕西省安康市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1 .已知集合 UR,A yy0,B yy«1,则 AIeuB（）A. 0,1B, 0,C. 1,D. 1,【答案】A【解析】【分析】求得集合B中函数的值域，由此求得 eUB ,进而求得 A eUB .【详解】由 y JX 1 1,得 B 1, ，所以 euB,1 ,所以 AI euB0,1 .故选：A【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题2.如图，棱长为1的正方体ABCD ABC

2、Q中，B1C1上任意一点，则2PM J2MN的最小值为（A ry，1'1,Ji X DVN匕A. B.近C. J【答案】D【解析】【分析】取AC中点E ,过M作MF 面AB1C1D1,可得得PM EM ,当MN B1cl时，MN最小，由P为线段ABi的中点，M,N分别为线段AG和 棱）3D. 2MFN为等腰直角三角形，由 APM AEM ,可MF MN ,故22PM 应MN 2 PM * MN 2 EM MF 2AA 2,即可求解.【详解】 取AC中点E ,过M作MF 面ABiCiDi ,如图:则 APM AEM，故 PM EM ,而对固定的点 M ,当MN B1cl时， MN最小.2

3、此时由MF面ABGDi ,可知 MFN为等腰直角三角形， MF MN ,2故 2PM 夜MN 2 PM MN 2 EM MF 2AA 2 2故选：d【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题3 .已知正四面体的内切球体积为v,外接球的体积为 V,则V ()vA. 4B. 8C. 9D. 27【答案】D【解析】【分析】设正四面体的棱长为1,取BC的中点为D ,连接AD ,作正四面体的高为 PM ,首先求出正四面体的体 积，再利用等体法求出内切球的半径，在 Rt AMN中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积 公式即可求解.【详解】设正四面体的棱长为1,取

4、BC的中点为作正四面体的高为 PM ,则 AD , AM 2 AD 3， 233PMPA2 AM2 BVP ABC1131fli一 ?34312设内切球的半径为 r ,内切球的球心为 O,则 VP ABC 4VO ABC 4 二 r，34解得：r -6； 12设外接球的半径为 R ,外接球的球心为 N ,则 MN PM R 或 R PM , AN R,在RtAMN 中,由勾股定理得:AM 2MN2 AN2,2R R2,解得R-64 ，3,R33r27故选:本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体 的体积公式，属于基础题 .4 .在很多地铁的车

5、厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示.将弯管形状近似地看成是圆弧, 已知弯管向外的最大突出（图中CD）有15cm,跨接了 6个坐位的宽度（AB）,每个座位宽度为43cm ,估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（）A. 250cmB. 260cmC. 295cmD. 305cm【答案】B【解析】【分析】AB为弯管，AB为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB所在圆的半径为r ,从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解 .【详解】如图所示，AB为弯管，AB为6个座位的宽度，则 AB 6 43 258cmCD 15cm设弧AB所在圆的半径为r,则r2 (r CD)2 AC2(r

6、 15)2 1292解得r 562 cm-129sin AOD 0.23 562可以近似地认为sinx x,即 AOD 0.23于是 AOB 0.46, AB 长 562 0.46 258.5所以260cm是最接近的，其中选项 A的长度比AB还小，不可能,因此只能选 B, 260或者由 cosx 0.97, sin2x 0.45 2x所以弧长 562 294 6'故选：B【点睛】 本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题, - -25.复数z a 1 a 1 i a R为纯虚数，则z ()A. iB. - 2i【答案】B【解析】【分析】C. 2iD. -

7、i-e，2复数z a 1 a 1 i a R为纯虚数，则实部为 0,虚部不为0,求出a ,即得z.【详解】2z a 1 a 1 i a R为纯虚数，a2 1 0,解得a 1.a 1 0z 2i.故选：B.【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题6.已知全集为R ,集合A1x y (x 1) 22B x|x 2x 0,则(erA)I BA. (0,2)B, (1,2C. 0,1D. (0,1对于集合A,求得函数y12的定义域，再求得补集；对于集合 B,解得一元二次不等式，再由交集的定义求解即可.【详解】x|x 1 ,东A x| x 1,A/21A x y (x 1) 2 x y .vx 12B x

8、|x 2x 0 x|x(x 2) 0 x|0 x 2, (") I B (0,1.故选:D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算，考查具体函数的定义域，考查解一元二次不等式1 x ,7,函数f(x) ln | |的图象大致为1 x【答案】D【解析】【分析】【详解】由题可得函数f (x)的定义域为x | x 1,.1 x1 x 因为f( x) ln| ln| f(x),所以函数f (x)为奇函数，排除选项 B； 1 x1 x又f(1.1) ln21 1, f(3) ln2 1,所以排除选项 A、C,故选D.每次都)8.体育教师指导 4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站

9、成一排.训练时,让3个学生 向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要向后转”的次数是(A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】通过列举法，列举出同学的朝向，然后即可求出需要向后转的次数【详解】正面朝南”正面朝北”分别用人" V”表示，利用列举法，可得下表，第1次向后转”第2次向后转”第3次向后转”第4次向后转”原始状态A A A AA V V VV V A AA A A VV V V V可知需要的次数为4次.故选：B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数，一般这类题型构造较为巧妙，可通过列举的方法直观感受，属于基础题9.等比数列 an的各项均为正数，且 a

10、3a8 a4a7 18,则log3ailog 3 a2 Llog3 a10()A. 12B. 10C. 8D. 2 log3 5由等比数列的性质求得 aiaio,再由对数运算法则可得结论.;数列an是等比数列，a3a8 a4a7 22向。18 ,日知 9 ,510g 3 9 105log3a1 log3a2 Llog3awlog3(a1a2L aQ10g3但冏0)故选：B.本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则，掌握等比数列的性质是解题关键.10.在 ABC 中,BACuuuvAB 3 , AC 4,点 M 满足 BMuuuv ntt2MC，则uuvABuuuvAM等于（）A. 10B.C

11、. 8D.利用已知条件,表不出向量uuur AM，然后求解向量的数量积.在ABC中,BAC 60AB3, AC4，点M满足uuuv BMuuuv uuuu 2MC ，可得AM1 uur 2 uuur AB -AC.uuv uuuvntt uuv uuuv uuu 1 Uur 则 AB AM = AB (1AB 32 uur_ AC)= 31 uuur2-AB32 uuu -AB3uurAC 3本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量.11.若集合AA.3,2B. x2x3C. 2,3d. x 3 x 2【答案】A【解析】【分析】先确定集合 A中的元素，然后由交集定义求解.【详解

12、】Q A x y 22 x xx 2 ,B x 3 x 3 ,x 3 x 2 .故选：A.【点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键.12.已知函数f(x) ln x ax b的图象在点(1,a b)处的切线方程是 y 3x 2,则a b ()A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】B【解析】【分析】根据f (1) 3求出a 2,再根据(1,a b)也在直线y 3x 2上，求出b的值，即得解.【详解】1因为f (x) a ,所以f (1) 3 x所以 1 a 3,a 2,又(1,a b)也在直线y 3x 2上，所以a b 1,解得a 2,b1,所以a b 3.故选：B【点睛】

13、本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。22 x y13.已知F为双曲线C: J 1 (a 0,b 0)的右焦点，过F作C的渐近线的垂线 FD, D为垂足, a b且 | FD |g|OF | （O为坐标原点），则C的离心率为【答案】2【解析】【分析】求出焦点到渐近线的距离就可得到a,b,c的等式，从而可求得离心率.由题意F （c,0）, 一条渐近线方程为bcJ3FD ，I b，由 |FD| 四 |OF|得 b也2 a2223 22 b -c c4故答案为：2.本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，

14、从而得出一个关于a, b,c的等式.uuu14.在 4ABC 中，（AB【答案】1【解析】uuur uuuAC )± BC ( >1),若角A的最大值为-,则头数6的值是把向量BCu进行转化,表示cosA,利用基本不等式可求实数的值.uuu uuur uuu uuur(AB AC) ( AB AC)22c b ( 1)bccos A 0cosA ( c)至，解得=1.1 c b 12故答案为：1.本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养15 .在正奇数非减数列1,3,3,3,5,5,5,5,5,中，每个正奇数k出现k次.已知存在整数b、c、

15、d,对所有的整数n满足 烝 b Vn-cd ,其中x表示不超过x的最大整数.则b c d等于.【答案】2【详解】将已知数列分组为（1） ,3,3,3, 5,5,5,5,5 , 2k 1,2k 1, ,2k 1 ,共2k 1个组.设an在第k组，an 2k 1,则有 1 3 5 2k 3 1 n 1 3 5 2k 1 1,22即 k 11 n k 1.注意到k 0 ,解得Jn1 k jn1 1.所以，k Jn 1 1Jn 1 1.因此，an 2 . n 11.故b c d 2112.16 .在正方体ABCD A1B1CR中，已知点P在直线AB上运动，则下列四个命题中：三棱锥D CBP 的体积不变

16、； DP DC ；当P为AB1中点时，二面角 P AC1 C的余弦值为 叵；若正方体3的棱长为2,则DP BP的最小值为J8 4v2 ；其中说法正确的是 （写出所有说法正确 的编号）【答案】【解析】 【分析】AB1/ DC1，.-ABJ/平面DBC,得出AB1上任意一点到平面DBC的距离相等，所以判断命题；由已知得出点P在面DCCiDi上的射影在DCi上，根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理，可判断命题；当p为aBi中点时，以点d为坐标原点，建立空间直角系D xyz,如下图所示，运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角 P AC1 C的余弦值，可判断命题；过ABi作平面ABiM交ADi于点M，

17、做点D关于面ABiM对称的点G ,使得点G在平面ABBAi内, 根据对称性和两点之间线段最短， 可求得当点P在点Pi时，D,P1,B在一条直线上，DP BP取得最小 值GB .可判断命题.【详解】: AB1/ DC1 , ABi/平面DBC,所以ABi上任意一点到平面DBC的距离相等，所以三棱锥D CiBP的体积不变，所以正确;P在直线ABi上运动时，点P在面DCCiDi上的射影在DCi上，所以DP在面DCCiDi上的射影在DC上，又DCi CDi,所以DP DiC ,所以正确;设正方体的棱长为当P为ABi中点时，以点D为坐标原点，建立空间直角系 D xyz ,如下图所示,2.则：A(2,0,

18、0), B1(2,2,2), P(2,1,1), A(2,0, 2),Ci(0,2,2),C(020),所以uurULJULULUACi ( 2,2,0) ,PAi (0, 1,1),CCi(0,0,2)，r设面AiCiP的法向量为m(x,y, z),rmrmuuuuvAc1PA2x 2y y z 0ry i,z 1, m (1,1,1)r设面ACiC的法向量为n(x,y,z)rnrnCC12x 2y2z(1,1,0),r r cos m,n>Trm |n|由图示可知，二面角 PACi是锐二面角，所以二面角P ACi C的余弦值为6,所以不正确;3过ABi作平面ABiM交ADi于点M，做

19、点D关于面ABiM对称的点G ,使得点G在平面ABBiA内,则 DP GP,DA GA, DG AB，所以 DP + BP GP + BP ,当点 P 在点 Pi 时，D,R,B在一条直线上，DPBP取得最小值GB .umruuur因为正方体的棱长为2,所以设点G的坐标为G 2,m,n , DG 2,m,n , AB 0,2,2 ,所以ujir uuurDG AB 2m+2n 0，所以m n ,又DA GA 2,所以mn 五,所以 G 2,五，五，B 2,2,0 ,GB|,2 227222+7202V8+4T2,故正确故答案为：.【点睛】本题考查空间里的线线，线面，面面关系，几何体的体积，在求

20、解空间里的两线段的和的最小值，仍可以运用对称的思想，两点之间线段最短进行求解，属于难度题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。、一1*17 .已知数列的前n项和为Sn ,且满足an -Sn 1(n N ).2(1)求数列an的通项公式；1( bnlog 2 anlog 2 2n n)右bn log 2 an , cn ,且数列 g前n项和为Tn ,求Tn的取值范围.bnbn 1n1【答案】(1) an 2n (2) Tn -,12【解析】【分析】,1 _(1)由a1-S11 ,可求a1，然后由n2时，an&Sn1可得an2an1,根据等比数列的通项可求12 1n

21、1111(2)由bn log2 an log 22n n,而Cn ，利用裂项相消法可求 .bnbn 1 n(n 1) n n 1【详解】 1 一._(1)当 n 1 时，a1 一 § 1,解得 a1 2,21 一 当 n-2时，am -Sm 121 -an Sn 121 - 彳an an 1 an,即 an 2an 1,2数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，nan 2 ；11bnbn 1111n(n 1) n n3 41 (0,-2本题考查递推公式ansnsn（n2）在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法,111111 -2 2 3*1N ，n 1Tn1,1

22、).2【点睛】3考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18 .已知函数f X（1）求不等式f x 4 2x 3的解集;（2）若正数m、n满足m 2nmn ,求证:2n 8.(1)x0 x 2 ；见解析(1)4 2x 3等价于（I)2x 32x或（出）4(2)322x 3,分别解出，再求并集即可;4利用基本不等式及m 2nmn可得m 2n8,代入(1) f2n2x2n3等价于（I)m 2n可得最值.x 1 2x 3或（n）42x或（出）4322x 31 x由(n)得:由(出)得:2.原不等式的解集为(2)2n2n2nm 2n 22n8,当且仅当2n当且仅当2n2n2

23、n2nmn4时取等号,22n 1m 2n8,8.1一时取等号, 2道中档题本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是121019 .已知矩阵M八(，MNc(21011求矩阵N ；1.2求矩阵N的特征值.3'a1由题意，可得N cb,利用矩阵的知识求解即可 d2矩阵N的特征多项式为fN的特征值.21 4 ,令f入0 ,求出矩阵391设矩阵N2ca 2cb 2d2a c 2bdb所以2a2d解得a2b所以矩阵N2矩阵N的特征多项式为1,即矩阵N的两个特征值为1.性别与合格情况的 2 2列联表为：本题考查矩阵的知识点，属于常考题20.某校为了解校园安全教育系列

24、活动的成效,对全校学生进行一次安全意识测试,根据测试成绩评定答格“、不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：管格”记5分，不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示:等级不合格合格得分20,4040,6060,8080,100频数6x24y（I ）若测试的同学中，分数段 20,40）、40,60）、60,80）、 80,100内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人，完成2 2列联表，并判断：是否有 90%以上的把握认为性别与安全意识有关?是否合格性别不合格合格总计男生女生总计（n）用分层抽样的方法， 从评定等级为 舍格”和 不合格”的学生中，共选取1

25、0人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为 X ,求X的分布列及数学期望 E（X）；（出）某评估机构以指标 M （ M 旦少，其中D（X）表示X的方差）来评估该校安全教育活动的成 D（X）效，若M 0.7,则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（n）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？2n(ad bc)2附表及公式：K2 ,其中n(a b)(c d)(a c)(b d)a b c d.P(K2 k。)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635【答案】（I）详见解析；（n）详见解析；（

26、出）不需要调整安全教育方案.【解析】【分析】（I）根据题目所给数据填写好2 2列联表，计算出 k2的值，由此判断出在犯错误概率不超过90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.（II）利用超几何分布的计算公式，计算出X的分布列并求得数学期望.（III ）由（II ）中数据，计算出 D X ,进而求得M的值，从而得出该校的安全教育活动 是有效的，不需要调整安全教育方案.【详解】解：（I）由频率分布直方图可知，得分在 20,40的频率为0.005 20 0.1,故抽取的学生答卷总数为 660 y 60 0.2 12,x 18 0.1是否合格性别不合格合格小计男生141630女生102030

27、小计243660210¥2.7062 60 14 20 10 16K230 30 24 36即在犯错误概率不超过90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关(n)不合格”和 君格”的人数比例为24:362:3 ,因此抽取的10人中不合格”有4人,管格”有6人,所以X可能的取值为20、1510、5、0,P X 20C64C01,P X 1514C63C4Cw,P X 10 21C2C23"CT 7P X 5CC ,P X 0C4035C41C： 210X的分布列为:X20151050P11482137435121034110 -5 -0 -1273521018所以E 2

28、015 1421(m)由(n)知:212820 1215 12142110212120 121635210EX123. -0.7 .DX164故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案本小题主要考查2 2列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算,所以中档题.221.已知函数 f(x) x 5x 21nx.(1)求f(x)的极值;(2)若 fXifX2fX3,且XiX2X3,证明：为X21.9【答案】(1) f(X)极大值为 2ln2；极小值为 6 21n 2; (2)见解析4【解析】【分析】(1)对函数f(X)求导，进而可求出单调性，从而可求出函数的极值

29、；1(2)构造函数F(x) f (x)f (1 x),x0,-，求导并判断单调性可得F(x)0,从而f(X) f (1x)2，一 11 一一 一在0-上恒成立，再结合0,- ,fx2 fx1 f 1 x1 ,可得到x 1X,即可证明结论成立.22【详解】(1)函数 f(x)的定义域为 0, f (x) 2x 5 -(2X 1)(X 2)(x 0),X X一 .11所以当 X 0 - U(2,)时，f(x) 0；当 X ,2 时，f(x) 0,22)，单调递减区间为-,22“、，1 一则f(x)的单调递增区间为0-和(2,29，一 ，一，- 2ln 2； f(x)的极小值为 4 1151故f(x

30、)的极大值为f一一一2ln一2422f (2) 4 10 2ln2 6 2ln 2.1(2)证明：由(1)知 0 x1 x2 2 x3 ,2，1设函数 F(x) f (x)f (1 x), x 0,-,一，、2“222”_ _22(2x 1)x(1 x)贝U F(x) x 5x 2ln x 1 x 5 1 x 2ln 1 xF (x)(2x 1)(x 2) (2x 1)(x 1)X1 X1, , 一、，1则F (x) 0在0,-上恒成立，即F(x)在0,-上单倜递增 22一 _ 1故 F(x) F -21,1,1,1又Ff-f -0,则 F(x) f (x)f(1x) 0,x01即f (x) f (1 x)在0,_上恒成立. 21因为 Xi0,2，所以 fXif 1Xi,又 f X2f X1 ,则 fX2f 1X1,-1_1因为x2,1 X1-, 2，且f(X)在 一,2 上单倜递减，22所以 X2 1 X1，故 X1 X2 1.【点睛】本题考查函数的单调性与极值，考查了利用导数证明不等式，构造函数是解决本题的关键属于又t题.22.已知 f x x a a R .(1)若f x 2x 1