(完整版)布朗运动以及维纳过程学习难点总结

1、1、引言布朗运动的数学模型就是维纳过程。 布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。我们现在用 W(t) 来表示运动中一个微小粒子从时刻 t 0到时刻 t 0 的位移的横坐标 ，并令 W (0) 0 。根据 Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间， 粒子都会受到其他粒子对它的冲撞， 而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。故粒子在时间段(s,t 上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。我们根据中心极限定理，假设位移 W(t) W(s)服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内

2、，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响 的，这就说明 位移 W(t) 具有独立的增量 。此时微粒在某一个 时段上 位移 的概率 分布 ，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度 有关 ，而与初始时刻没有关系，也就是说 W(t) 具有 平稳增量 。2 . 维纳过程2.1 独立增量过程维纳过程是典型的随机过程 ，属于所谓的 独立增量过程 ，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。现在我们就来介绍独立增量过程。定义： X(t), t 0 是二阶矩过程， 那么我们就称X(t) X(s),0 s t 为随机过程在区间(s,t上的增量。若对任意的n (n N )和任意的0 t0t1tn,

3、n个增量X(t1) X(t0),X(t2) X(t1), ,X(tn) X(tn 1)是相互独立 的，那么我们就称 X (t), t 0 为 独立增量过程。我们可以证明出在 X(0) 0 的条件下 ，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量X(t) X(s),(0 s t) 的分布所确定。如果对h R和0 s h t h,X(t h) X(s h)与X(t) X(s)的分布是相同的，我们就 称增量具有平稳性 。那么这个时候， 增量 X(t) X(s) 的分布函数 只与时间差t s(0 s t)有关，而与t和s无关(令h s便可得出)。值得注意的是，我们称独立增量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性

4、。2.2 维纳过程的定义给定二阶矩过程 W (t),t 0 ，若满足(i) 具有独立增量；(ii) 对 t> s 0, 有增量W(t) W(s)N(0, 2(t s),且 0;(iii) W(0) 0 ，则称此过程是维纳过程 。由( ii )我们可得出 维纳过程增量的分布只依赖于时间差 ，故维纳过程是齐次的独立增量过程，并且也服从正态过程。事实上对任意n(n 1)个时刻 0 t1t2. tn (记M 0),把W(tk)写成k W(tk)W(ti) W(ti 1), k 1,2, ,n,i1我们由( i )( iii )知，它们都是独立的正态随机变量的和，由 n 维正态变量的性质可得出(W

5、(ti),W(t2), ,W(tn)是n维正态变量，即W(t),t 0是正态过程。所以其分布 依赖于它的期望函数和自协方差函数。由( ii )，( iii )可知， W(t) N(0, 2t) , 故维纳过程的期望与方差函数为EW(t) 0 ， Dw(t)2t，2上式中 2 叫做维纳过程的参数，我们通过做实验得出数据值可估计出其大小。得自协方差函数为2CW(s,t)RW(s,t)min s,t s,t 02.3 维纳过程的特点( i )它是一个Markov ( 马尔科夫 ) 过程。故未来推测所需的数据信息就是该过程的当前数据值；( ii ) 维纳过程具有独立增量。 即该过程在任意一个时间区间上

6、变化的概率分布， 与其在其他的时间区间上变化的概率无关；( iii )在任何有限时间上，维纳过程的变化服从正态分布，其方差随时间区间长度的增长而呈线性增加。2.4 维纳过程的性质(1)基本性质对t R , 一维维纳过程在t时刻是一个随机变量，其概率密度函数是:fwt(x)2 x2/2t这是因为根据维纳过程的定义得出当s 0时，能推出W(t)的分布:5Wt W W0N(0,t)它的数学期望是零：E(Wt) 0 它的方差是t ：一 2一22一 2Var(Wt)E(Wt )E2(W()E(W( )0 E(Wt )t在维纳过程的独立增量的定义中，令t2 t，s2 t1 s t , s1 0,那么WS

7、Wt1 Ws1 N(0,s)和Wt Ws Wt2Ws2 N(0,t s)都是相互独立的随机变量，并E(W4)scov(Ws,Wt) E(Ws E(Ws) (Wt故在两不同时刻0 s,t,Wt与双的协方差和相关系数是：？?？Icov(Ws，W)min(s,t) min(s,t) cov(W5,Wt) min(s,t),corr(Ws,Wt)s -ws w. st . max(s,t)3 .维纳过程的应用3.1 股票价格的行为模式? 我们经常应用的假设是股价服从扩散过程，且大部分情况下都是几何布朗运动。? 在此条件下，任一时期的 复合收益率是服从正态分布的。? 由于正态分布满足加法的封闭性，所以不

8、管股票的套利组合是什么样的，它都依然服从正态分布。? 如果我们假设风险行为减到零，那么股票收益率的分布同样也是服从正态分布 的。(i)经典的假设理论我们先来介绍随机游走模型，其表达式为：St St it其中：St, Sti表示t时刻和t 1时刻的股票价格，tN(0, 2)表示均值为0,方差为的独立正态分布。 股票价格模型我们一般情况下用 维纳过程来表达，而随机游走模型所解释的股价波动走势，从本质上来说，其实就是一个漂移率为 0的扩散过程。如果我们令S是股价关于时间的函数，那么得随机游走模型：(2)dS(t) dZ(t)上式中Z(t)表示标准维纳过程。然而，事实上它仅 解释了股价的波动率，仅仅是

9、我们理想情形下的模型。漂移率为0也就是说，在未来任何一个时刻，股价的均值等于其当前值。如果我们设时间区间长度为1年，在前一年的股价条件不发生变化的情形下，那么该年度的股价就等于前一年度的股价均值，在此种情况下，持股人就很难做到持股时间大于 1年，这显然与现实 生活中的情况不相符。况且我们有充分理由认为，由于上市公司在不断的经营扩大，所赚取的利润也在不断的增长，所以从长远来看，公司的股价应该呈现出逐渐增长的走势，故漂移率是不可能为零 的。那么我们通过一个一般化的维纳过程就能来解释股票的价格行为(当然该一般化的维纳过程的期望漂移率和方差率是定值)，然而由于持股人想要来自 股票的期望百分比收益 不依

10、赖于股票价格，因此假设期望漂移率为一个常数也是不合乎常理的。现在我们假设期望漂 移率为股票价格的比例， 并且其为一个定值，也就是说股价的期望漂移率为S, 恒等于一个自然数，在几何条件下，它的解释就是股票的期望收益率。在此假设下，经过t时间后，S的增长均值为 S t ,即E( S) S t ,其中E()表示期望算子。当方差率为 0时，则微分形式的模型：dSSdt可得S S°et,式中的S0表示股票的最初价格，由此可看出，当方差率为0时，股价的利率为，以连续复利的方式增长。然而现实生活中， 股价的方差率 一般是不可能为零的，因此合乎常理的假设应该是股票的百分比收益率的方差不发生变化。若我

11、们令股价比例变化的方差率为2,经过t22 2后，股价比例变化的万差为2 t,那么事实上股价真正变化的方差为S t ,所以得到股价波动走势的模型：dS Sdt SdZ(3)上式中Z表示标准维纳过程。我们用随机分析的理论来说，这就是 IT O过程。其中， S称作漂移系数，S称作扩散系数。方程(3)能够在一定程度上描述股票价格行为。我们常把称为股价波动率，把称为股价的预期收益率。下面我们先来介绍一下随机分析理论中的IT O引理：设F(S,t)是关于S两次连续可导，关于t一次可导的函数， S为满足随机微分方程 (3)的扩散过程，故可得到 随机变量函数 的IT O微分形式_i 1 9dF(S,t)Ftdt FSdS 1 2FSSdt11如果我们定义F(S,t) lnS,由Ft 0 , Fs , Fss1则有SS212dlnS (1 2)dZ2(4)(5)数正态分布。现在我们将式(5)写成增量形式，则有股票收益过程为上式说明ln S服从一般化的维纳过程，当变量 S表示股价时，我们可看出股价服从对Rt ln 旦(1 2)乙(6)Sti212并且令-,Rt表示股票的t期收益率， 乙N(Q1)为独立的维纳过程，在此条件下Rt N ( , 2)是独立白勺。若S0表示股票的初始价格，则有Sln ?