2019年高考数学总复习：直线与圆锥曲线

1、B. (4，1D- (6, -3)y 1信4Xa+ 2xb=1，4X=2,1八 12X=3,1 x=6，4 iy=-3,选D.2019年高考数学总复习：直线与圆锥曲线1.已知a, b满足2a+3b=1,则直线4x+ay2b= 0必过的定点为(4 1A. (3, 6)1 4C.(6, 3)答案 D解析2a+ 3b=1,又由 4x + ay-2b = 0,2 .过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于 A, B两点，则得+白=|AF| |BF|,2答案2 p3,已知曲线 C: y2=2px(p>0). O为原点，A, B是C上两个不同点，且 OALOB,则直线AB过定点.

2、答案 (2p, 0)4,已知椭圆 C: x+2=1(a>b>0)的离心率为e=哼,其左、右焦点分别为 F1, F2,田尼| a b2=2® 设点M(x1，y1)，N(x2, y2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为-4.求椭圆C的方程；(2)求证：xi2+x22为定值，并求该定值.2答案(吟 + y2=1 (2)4解析依题意，c=,而e=¥， .a= 2, b2= a2 c2 = 1,2则椭圆C的方程为% y2=1.(2)由于蓝瑟=-4，则 xiX2= - 4y1y2, x12x22= 16y12y222222而x4+y12=1, x4L+y

3、22= 1,则 1 -x4-=y12, 1 -x4-=y22,22X1X2、2 22.22 222Xi + X2 = 4 为一7E值. (1 )(1 一 彳)=y1 y2 ,则(4 X1 )(4 - X2) = 16y1 y2 ,(4 X12)(4 X22) = X12X22,展开，得5. (2017课标全国I ,理)已知椭圆C: X2+y=1(a>b>0),四点 P1(1, 1), P2(0, 1), P3(1, a b坐)，P4(1 ,当)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为一1,证明:答

4、案l过定点.X22了 + y2=1 (2)定点(2, - 1)解析由于P3,11 1P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3, P4两点.又由”于>孑+34b2知，c不经过点Pl,所以点P2在C上,b2= 1，因此1,3I/ 4b2=1，a2 = 4, 解得2b = 1.2故C的方程为X" + y2= 1.(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为ki, k2.如果l与x轴垂直，设l: x = t,由题设知two,且|t|<2,可得A, B的坐标分别为(t,号),4-t2(t，2贝U ki + k2 =J-t2-24-t2 + 2=12t2t1 ,得t = 2,不

5、符合题设.从而可设 l: y= kX + m(m w 1).X22 .r将y = kX + m代入了 + y = 1得(4k2+ 1)x2+ 8kmX + 4m2 4= 0.由题设可知 A= 16(4k2- m2+ 1)>0.设 A(xi, yi), B(x2, y2),X1 + X2=8km4k2+1'X1X2 =4m2 44k2+ 1yi 1 y2 1 kxi+m1 kx2+m1 2kx1x2+ (m1) (X1+X2)而 k1 + k2=+=+=.X1X2X1X2X1X2由题设知 k + k2=1,故(2k +1)x1X2+(m 1)(x1+ X2)= 0,4m2 4 8k

6、mm+1即(2k+1) 4k2十+(m1) 4k2十=0，解得 k=-2.当且仅当m> 1时，A>0,m+1m+1于是 l: y = 2 x +m,即 y+1 = 2 (x 2),所以 l 过定点(2, 1).6. (2018湖南师大附中月考)如图，抛物线 C1： y2=8x与双曲线 C2： X2-y2= 1(a>0, b>0) a b有公共焦点F2,点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|=5.(1)求双曲线C2的方程；(2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切， 圆N: (x 2)2+y2=1,已知点P(1,J3), 过点P作互相垂直且分别与圆 M,

7、圆N相交的直线1, 12,设11被圆M截得的弦长为s, I2 被圆N截得的弦长为t,试探索s是否为定值？请说明理由.答案(1)x21 = 1 (2)定彳直乖3解析(1)二.抛物线C： y2=8x的焦点为F2(2, 0),双曲线 C2 的焦点为 F1(-2, 0), F2(2, 0).设A(x。，y0)(x0>0, y0>0)为抛物线C1和双曲线C2在第一象限的交点，且|AF2|=5,由抛物线的定义得 xo+2=5,，X0=3,.|AF1|= (3+2) 2+ (0-2/6) 2=7.又点A在双曲线上，由双曲线的定义得2a= |AF1|-|AF2|= 7-5=2, .a= 1. b

8、= 22 - 1=3.，双曲线C2的方程为x2y = 1.3s ,、（2）f为定值.理由如下：设圆M的方程为（x+2）2+y2=r2,双曲线的渐近线方程为y= ±J3x.圆M与渐近线y=、/3x相切，圆的半径为r =2<3 = = ® .1+（3）2故圆 M : （x+2）2+y2=3.依题意li, 12的斜率存在且均不为零，,设 1i 的方程为 y-V3= k(x-1),即 kx-y + V3-k = 0,12的方程为 y V3= r(x 1),即 x+ ky V3k 1 = 0, kM3k1|d2= ：1+k2|3k-J3|，点M到直线11的距离d1="

9、,=2,点N到直线12的距离1 + k2直线11被圆M截得的弦长s= 23-)2=21 + k2)2=26V3k 6k22 ，直线12被圆N截 1+k得的弦长3k- 11+k21 + k223k- 2k2st =643k6k2 厂 s厂F2= V3,故；为定值«3.23k-2kt7, （2018辽宁盘锦一中月考）如图，已知点A（1，亚）是离心率为 当的椭圆C： 22x2= 1（a>b>0）上的一点，斜率为血的直线交椭圆 C于B, D两点，且A , a b8, D三点互不重合.求椭圆C的方程；（2）求证：直线 AB, AD的斜率之和为定值. 22答案（吟+ x"

10、= 1 （2）定值为0解析（1）由题意，可得3=：=兴 将A（1 ,亚）代入椭圆C的方程，得 W=1，又a2 =22b2+c：解得a=2, b=c=y2,所以椭圆C的方程为q+X-I.(2)设直线 BD 的方程为 y = V2x+m, /A, B, D 三点不重合，二. mw0,设 D(xi, yi), B(X2, y2).由!y /X+m'得 4x2+2V2mx+m24=0,1.2x2+y2= 4,"由 A= 8m2+64>0,得一2后mvZ业,2mjz* *xi + x2 2 m) xix2 4 .设直线AB , AD的斜率分别为kAB , kAD ,yi /2 y

11、2 y2xi + x222kAD + kAB =+= 2-J2 + m ,= 2y/2 + m , -2=xi 1x2 1xix2 (xi+x2)+1m4 4+呼m+i2422*=0,即直线 AB , AD的斜率之和为定值.备选题i.垂直于x轴的直线交双曲线 x22y2=2于不同的两点 M, N, A1，A2分别为双曲线的左、 右顶点，设直线 AiM与A2N交于点P(xo, yo),则xo2+2yo2的值为()A. 5B. 4C. 3D. 2答案 D解析 设 M(x1，yi),则 N(xi, - yi),yiW0,小1(啦，0),A2(V2,0),直线AiM的方程为y= q2(x+d2) ，直

12、线A2N的方程为y=一yi2(x - V2) ，由X，得y2yi2=-(x -2). . xi 2yi =2, . .y = - 2(x 2),即 x + 2y =2.P(xo, yo)是直线 AiM xi 22与 A2N 的交点，xo2 + 2yo2 = 2.2,已知A, B是抛物线C： y2 = 2px(p>0)过焦点的弦两个端点，分别过A, B作C的切线l1,12,则li与12的交点在定直线l上，那么l的方程为.答案 x=-p3,已知椭圆C: x-+y-=1,圆E： x2+y2 = 2, l是圆E的切线，l与C交于A , B两点，以 63AB为直径的圆过定点答案(0, 0)解析圆E

13、的方程为x2+y2=2,设O为坐标原点,当直线i的斜率不存在时，不妨设直线ab的方程为x=y2,兀则 A（，蛆），Bb/2,一蛆），所以 / AOB =2,所以以AB为直径的圆过坐标原点.当直线l的斜率存在时，其方程设为 y=kx+m,设A（x1，y1），B（x2, y2）.因为直线与圆相切，所以1m|1 + k222 =。2,所以 m2 = 2 + 2k2. 1+ky= kx + m,联立方程组x2 v2./卜1,得 x2+2(kx+ m)2=6,即(1 + 2k2)x2 + 4kmx + 2m2 6= 0,A= 16k2m2 4(1 +2k2)(2m26)=8(6k2m2+3)=8(4k2

14、+ 1)>0,4.4kmx1 + x2 = 12,1 + 2k由根与系数的关系得2m 6x1x2=2,1+ 2k2.2所以 xix2+ yiy2= (1 + k )x1x2+ km(x 1 + x2)+ m(1 + k2) (2m26)21 + 2k4k2m22 3m 6k 62 + m =2= 0,1 + 2k1 + 2k所以OA，OB ,所以以AB为直径的圆恒过坐标原点O.24.已知P是椭圆c： fyj上一点,.C的右顶点，/C的上顶点，直线PA与y轴交于点 M,直线PB与x轴交于点N,则|AN| |BM| =答案 4解析 由题意知A(2, 0), B(0, 1).点P在曲线（2）2

15、 + （1）2= 1上，不妨设 P（2cos 0, sin 0）,当兀且 持kTt+'lkCZ）时，直线AP的方程为ysin 0sin 00=(x 2),令 x= 0,得 yM =;直线BP的方程为y 1=snJ_1 (x0),令 y = 0,得 xN= 2cos 92cos 01 sin 0cos 0sin 0 .|AN| |BM| = 2|1 |1 12(1 cos 0) (1 sin 0)=2|1= 2X2= 4(定值).(1 sin 0) 1 1 cos 0)兀当 0= k 兀或 0= kTt+-(kZ)时，M , N 是定点，易得 |AN| |BM| =4,综上，|AN|BM

16、|=4.5.(2018浙江温州中学月考)已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=E5,虚轴长为2.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若直线l: y=kx+m与双曲线C相交于A, B两点(A , B均异于左、右顶点)，且以AB为直径的圆过双曲线 C的左顶点D,求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.2答案 (吟 y2= 1 (2)定点为(解析(1)由题设双曲线的标准方程为字3=1(a>0, b>0),由已知得：=$，2b=2.又 a2 + b2 = c2,解得 a= 2, b= 1,2，双曲线的标准方程为x4-y2=1.y = kx + m,(2)设 A(xi, y。，

17、B(x2, y* 联立卜22 得(1 4k2)x2 8mkx 4(m2 + 1) = 0.1 4k2w0,A=64m2k2+16 (14k2) (m2+1) >0,8mk故dx1+x2="1 -4k4 ( m2+ 1)x1 x2 =2m2 4k22 ，1 -4k1-4k22y1y2= (kx 1+ m)(kx2+ m)= k x1x2+ mk(x 1 + x2)+ m =以AB为直径的圆过双曲线 C的左顶点D( 2, 0),. 1.kADkBD = 1 ,即y1y/,= 1.xi + 2 X2 + 2. .yiy2 + xiX2+ 2(xi + X2)+ 4= 0.m2 4 k

18、1 -4k2j 4(m2+1)16mk)+2+2+4=0. .3m216mk+ 20k2= 0.解得 m1 = 2k, m2= .3当mi = 2k时，l的方程为y = k(x + 2),直线过定点(一2, 0),与已知矛盾;-10k10m m2= 3 时，l 的方程为 y=k(x+ 3),直线过定点(乎，0),经检验符合已知条件.310所以直线l过定点，定点坐标为(-10,30).6.如图所示，已知点 M(a, 3)是抛物线BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A, B两个不同的点.(1)求点M到其准线的距离;(2)求证：直线 AB的斜率为定值.y2=4x上一定点，直线答案143略解析(1)

19、.M(a, 3)是抛物线 y2=4x 上一定点，32=4a, a= 4.抛物线y2= 4x的准线方程为x= 1 , .点M到其准线的距离为13 (-1)=7.9(2)证明：由题知直线 MA , MB的斜率存在且不为 0,设直线 MA的万程为y-3=k(x-4),y-3=k (x 4) ,2 4由彳得y 一 口2,kj =4x,-yA + 3 = -, -yA = - 3. k k91 直线AM, BM的斜率互为相反数，直线 MB的万程为y-3=- k(x-4).同理可得yB =3, .kAB-kyB-yAyByA422xb-xayB_yA_yB+yA4442443-3+ k-3-kk 直线AB

20、的斜率为定值一2.37.(2017湖北宜昌一中月考)中心在坐标原点。，焦点在坐标轴上的椭圆E经过两点R(甘3,手)，Q(|,当).分别过椭圆E的焦点F1, F2的动直线li, I2相交于P点，与椭圆E分别交于A, B与C, D不同四点，直线 OA, OB, OC, OD的斜率 ki, k2, k3, k4 满足 ki + k2=k3+ k4.求椭圆E的方程;(2)是否存在定点 M, N,使得|PM|十|PN|为定值？若存在, 若不存在，说明理由.22求出M , N的坐标并求出此定值;答案(1)、+ y- = 1 (2)存在点 M, N 其坐标分别为(0, 1), (0, 1),使得 |PM|十

21、 |PN|=2T2 32为定值.解析(1)设椭圆的方程为mx2+ny2= 1(m>0 , n>0, mwn).心 363将 R(- 2 ,一甘)，Q(2,亚9m + 2n=4,方2)代入椭圆方程有:23m + 6n=4,解得1 m=3, 椭圆E的方程为x7+yr=1.32(2)焦点Fi, F2的坐标分别为(1, 0),(1, 0).当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(1, 0)或(1, 0).当直线l1, l2斜率存在时，设斜率分别为m1, m2.，l1 的方程为 y=m(x+1), l2 的方程为 y=m2(x1).设 A(x1，y1)，B(x2, y2), C(x3, y

22、3), D(x4, y”,联立 li 与椭圆方程，得到(2+3mi2)x2+6mi2x+3mi26 = 0,.6mi2近 6 Xl+X2=2, X1X2=2.2 c3m2 6X3X4=2.(*)2+3m22+3mi2+3mi26m2同理 X3+X4=2,- ki =yi , mi3= mi + ,2+3m2k2=mi + m1, k3= m2- m2, k4=m2m2X2X3X4又满足 k1+k2=k3+k4,Xi + X2X3+X4 -2mi+ mi= 2m2 m2:,XiX2X3X4把(*)代入上式化为 mim2=- 2.设点 P(x, y),则一、；=2(xw 土),2化为 y"

23、; + X2= i(xw ±).又当直线li或12斜率不存在时，P点坐标为(i, 0)或(i, 0)也满足， 2，点 P在椭圆 y2-+x2= i(x W 土)上.故存在点M, N其坐标分别为(0, i), (0, i),使得|PM|+|PN|=R2为定值.22.x yi8. (20i7湖南岳阳两校联考)已知椭圆 C: a2+b2=i(a>b>0)的离心率为万，以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+«6=0相切，过点P(4, 0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A , B两点.求椭圆C的方程；(2)求O)A 标的取值范围；(吟+ yr= i(2)

24、【4,43若点B关于x轴的对称点是 E,证明：直线 AE与x轴相交于定点.定点(i, 0)c i(i)由题息知e=-=q a 2答案2 a2- b2解析-e2= a2= a2= 4，即 a = 3b .又 b=-6=>/3,，a2=4, b2=3. i+ i22故椭圆的方程为5y3=1.(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x4).y= k ( x 4),联立 ix. x=.x1 + x2 8将代入得x = 1, .直线AE与x轴相交于定点(1 , 0). 29. (2016四川)已知椭圆E： a2+，= 1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角

25、形的三个顶点，直线l: y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点 T. y2得(4k2+ 3)x2 32k2x+ 64k2 12=0.、了十二1，由 A= (32k2)2 4(4k2+3)(64k212)>0,得 k2<；.设 A(x1, y1), B(x2, y2),32k264k2- 12贝Uxi + xzn-2x1x2= -2 -.CD.,.y1y2= k(x 1 4) k(x2 4) = k?x1x2 4k2(x1 + x2) + 16k2. OA OB = x1& + y1y2 = (1 + k2)x1x2 4k2(x1 + x2) + 16k2= (1 + k2)

26、64k2 124k2+32“2 32k4k 2_ 2+ 16k2=25 874k2 387874k <-113.OA OB -4,),，三一一，一 一13.OA OB的取值范围是4,).(3)证明：B, E两点关于x轴对称， E(x2, y2),y1+ y2直线AE的方程为y-y1=(x- x1),x1 x2x2y1 + x1y2令y= 0,得x=y 1 + y2又 y1 = k(x1 4), y2=k(x24),2x1x24 (x1 + x2)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点，直线1'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点 A, B,且与直线l交于入的值.点P证明：

27、存在常数 N使得|PT|2=入|PA| IP即求224答案(1堂+y=1, 丁化，1) (2)於4解析 由已知，a=42b,则椭圆E的方程为,y .市+孑=1.1，由方程组彳2bb 得3x212x+182b2=0.y=- x + 3,方程的判别式为 A=24(b23),由= 0,得b2=3,此时方程 的解为x= 2,22所以椭圆E的方程为"X1.点T的坐标为(2, 1).1(2)由已知可设直线1'的万程为y=2x+m(mw0),y = 2x+ m,由方程组2y=- x + 3,x=2-可得ly= 1 +2m2m3 .282 |PT| =gm .B(X2, y2).所以P点的坐标为(2-2m, 1 + 2m), 33设点A , B的坐标分别为 A(x 1, y1),.+。1,由方程组可彳导3x2 + 4mx + 4m2- 12=0.ly= / + m,方程的判别式为A= 16(9 2m2),由 A >0 解得一322Vm<3224m4m1 12由得 x1+x2=一 2 , xx2=2332m 、2， 2m 、2.5 2m所以 |PA|=y(23 x1)+(1 + 3 y1) = 2 |2-T x”，同理 |PB|="25|2 23ax2.52m2m所以 |PA| |PB| = 4|(2 V