2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(山东.理)含答案

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学一 选择题：本大题共12小题，每小题 择一个符合题目要求的选项。(理科)5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选1若z =cos8+isin8 (i为虚数单位)，则z1 2 = -1的8值可能是(A) 6 (B) (C) (D)X： ：；1<4,xw Z M cN =r 11已知集合 M =-1,1, N =<x-<2I 2(A) 1,1 (B) -1 (C) 0(D) 1,03下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(A) (1),(2)(B)x"的定义域为R且为奇函数的所有a值为(A) 1,3 (

2、B)-1,1(C) -1,3(D)-1,1,35函数y =sin(2x + ) +cos(2x + )的最小正周期和最大值分别为(A) n,1 (B) 式金 (C) 2n,1(D)2n, V26 给出下列个 等式：f(xy) = f (x)+f (y) , f (x + y)= f(x)f (y),f (x +y) = f(x)+f(y)。下列函数中不满足其中任何一个等式的是1-f(x)f(y)(A) f(x)=3x ( B)f(x)=sinx (C) f(x) = log2x(D)f(x) = tanx327命题“对任意的x=R, x -x +1E0”的否定是(A)不存在 xR, x3x+1

3、<0 (B)存在 xWR, x3x2+1W03232(C)存在 x=R, xx+1>0(D)对任意的 xwR, x x +1a08某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于 18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等x和y分别为9下列各小题中，p是q的充要条件的是(1) p:m<2或m>6; q:y=x +mx + m + 3有两个不同的零

4、点。(2)p ：: =1； q ： y = f(娓函数。(3) p : cos =cos :; q : t a n = tan(4) p:AcB=A;q:CUBCUA。(A),(2) (B) (2),(3)(C) (3),(4)(D) (1)，10阅读右边的程序框图，若输入的 n是100,则输出的变量 S和T的值依次是(A) 2500,2500 (B) 2550,2550(C) 2500,2550(D) 2550,250011在直角AABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是(A) AC'2 =AC AB (B) BC,2 =bA bc(C)AB'=AcCd(D)，逮

5、三员AB12位于坐标原点的一个质点 P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为1向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是-.质点P移动5次后位于点(2,3)的概率为x轴正向的夹角为 60 :则OA为.x +2y <10_2x + y 之 3, 一, 14设D是不等式组 表布的平面区域，则D中的点P(x,y)到直线x+y = 10距0三x三4y .1离的最大值是.2215与直线x + y2 = 0和曲线x +y 12x12y+54 =0都相切的半径最小的圆的标准 方程是.16函数y =loga(x + 3)1(a a 0,a # 1)的图象恒过定点 A,若点A在直线mx + ny

6、 + 1 = 0上淇中mn >0,则+的最小值为.m n三 解答题：本大题共 6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 (本小题满分12分)设数列an满足a1 +3a2+32%+.3n,an =1，nw N*.3(I)求数列an的通项；(II)设bn =口，求数列bn的前n项和Sn.an18 (本小题满分12分)设b和C分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量匕表示方2程x +bx+c = 0实根的个数(重根按一个计).2(I)求万程x +bx+c = 0有实根的概率；(II)求自的分布列和数学期望；(III)求在先后两次出现的点数中有6的条件下，方程方程x2+

7、bx+c = 0有实根的概率19 (本小题满分12分)如图，在直四棱柱ABCD - ABCQi中，已知DC = DD1 =2AD =2AB , AD DC , ABU DC .(I)设E是DC的中点，求证：DiEL平面AiBD;(II)求二面角 A -BD Ci的余弦值.20 (本小题满分12分)如图，甲船以每小时30 J2海里的速度向正北方向航行 ，乙船按固定 方向匀速直线航行，当甲船位于 A处时，乙船位于甲船的北偏西105'的方向B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120口方向的82处，此时两船相距10 72海里，问乙船每小时航行多少

8、海里 ？21 (本小题满分12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程；(II)若直线l : y =kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点工且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点，并求出该定点的坐标.22 (本小题满分14分)设函数f (x) =x2+bln(x+1)淇中b#0.(I)当b A0时,判断函数f (x)在定义域上的单调性；(II)求函数f(x)的极值点；、r ，一，一，. ,1，、11 上，、(III)证明对任意的正整数n,不等式ln(-+1)> 都成立.n n

9、 n2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考答案:1 6: DBDAAB , 712: CADDCB。2 2113 .【答案】：-一 p2（山东卷）14 .【答案】：4/2.15.【答案】：.(x2)2+(y 2)2 =216.【答案】：8。17【答案】：(I) a + 3a2 +32a3 +.3n,an =-,3a13a2 32a3 .3n n an(n-2),3、n n -1 1 / (n _ 2).3331 ,an =f(n -2).3验证n =1时也满足上式,an =m(n N ). 3(11) bn =n 3n,.23nSn =1 3 2 33 3.n 33Sn = 1

10、 322 33 3 34 .n 3n 1-2Sn =3 32 33 3n -n 3n 1n 0 n 13 3n 1-2Sn =-n 3 ,1 -3Sn3n 13nT2 4418【答案】：(I)基本事件总数为 6 M 6 = 36,若使方程有实根，则 A =b2 -4c >0 ,即b22”。当 c=1 时，b=2,3,4,5,6 ；当 c=2时，b=3,4,5,6 ；当 c=3时，b =4,5,6;当 c=4时，b =4,5,6；当 c =5 时，b =5,6 ；当 c=6时，b=5,6,目标事件个数为5 4 3 3 2 2 =19,因此方程x2+bx+c = 0有实根的概率为1936(I

11、I)由题意知，之=0,1,2 ,则P( =0)=36故-的分布列为2117P仁=1) = = , P仁=2)=L, 36 1836012P 1736181736的数学期望17117E；： =01 2 = 1.361836(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M, “方程ax2+bx+c = 0有实根” 为事件,117N,则 P(M )=，P(MN )=, 3636、 P(MN )7P(N M )=-= 一 .P(M )1119【答案】：(I)连结BE,则四边形DABE为正方形, BE = AD = AD1,且 BE ADA1D1 ,二四边形ADiEB为平行四边形, D1ELAB.；Di

12、E值平面ABD, ABU平面ABD, d1eL¥0a1bd.(II)以D为原点,DA,DC,DDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,不妨设 DA=1,则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0),C1(0, 2,2), A(1,0,2).一DA =(10,2), DB =(1,1,0).4设n = (x, y,z)为平面 ABD的一个法向量，,X -X x -Xx 2y =0由门_1口八刀_1口8得<x y =0取 z=1,则 n=(-2,-2,1).设m-ox?）为平面CiBD的一个法向量,一 T/口2y1+24 =0m_DC,m_DB 得

13、1K y 二0取 Z1 =1,则 m =(1,-1,1).cos : m, n ='m|' n119 Q由于该二面角 A1 -BD C1为锐角,所以所求的二面角 abd-C1的余弦值为 320【答案】 解如图，连结 AB2, A2B2=10V2, A1A2 =20父30>/2=10/2 ,60A1A2B2 是等边三角形，NB1A1B2 =105 °60* = 451在 M1B2B1中，由余弦定理得BB2 =AB； AB； -2ABi AB2cos45= 202 (10 .2)2 -2 20 10 .2 72 =200BB2 =10.2.因此乙船的速度的大小为10

14、-2 60 = 30.2.20答：乙船每小时航行 30、2海里.2221【答案】（I）由题意设椭圆的标准方程为x y 一 , -2 = 1(a b 0)a b2a+c=3,ac=1, a=2,c=1,b =3 2x y=1.y = kx my设 A(xi, yi), B(x2, y2)，由x2 y2得143222(3 十4k2)x2 +8mkx+4(m2 3) =0 , 2 22222 =64mk 16(3+4k )(m -3)>0 , 3+4k -m >0 .xi8mkx2 =-37,xi又2二2-4(m -3)23 4kyi2y2 = (kx1 m) (kx2 m) = k x1x2 mk(x1 x2) m_222 3(m -4k )3 4k2;以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), kAD，kBD = -1 ,yy2x _ 2 x2 - 2=-1，y1y2 +x)x2 -2(x1 +x2) +4 = 0,3(m2 -4k2) 4(m2 3) 16mk 3 4k23 4k23 4k2 一2 一 .一7m +16mk+4k =0,解得m - -2k, m - - 2k ,且满足 3 4k2 -m2 0 .当m = 2k时，l : y = k(x2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;2