2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(上海卷.理)

1、2019年上海高考数学试卷(理工农医类)详细解答试卷整理者：江苏唐新进考生注意：1 .答卷前，考生务必讲姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2 .本试卷共22道试题，满分150分.考13t时间120分钟，请考生用钢笔或圆珠笔将答案 直接写在试卷上.一、填空题(本大题满分 48分)本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1 ,、1、函数 f (x) = log 4(x +1)的反函数 f (x)=。解答：f(x) =log4(x 1)= x 1 = 4f(x)= X =4f(x) 1反函数f,(x)= 4x -12、方程4x +2x 2 =0的解是解答：4x

2、2x 2 = 0- (2x -1)(2x 2) = 0- 2x =1- x = 03、直角坐标平面xoy中，若定点 A(1,2)与动点P(x,y)满足OP oA = 4,则点P的 轨迹方程是。解答：设点P的坐标是(x,y),则由OP无=4知*+2丫 = 4= x + 2y 4=0104、在(xa)10的展开式中，x7的系数是15,则实数a=。7. 7331 1斛答：x 的系数 C10 M (-a) =15= (-a) =一= a = 825、若双曲线的渐近线方程为 y = =3x,它的一个焦点是(Ji0,0、则双曲线的方程是解答：由双曲线的渐近线方程为y = =3x ,知9=3,a它的一个焦点

3、是 Q1c,0),知a2+b2=10,因此a = 1,b=32双曲线的方程是x2-L=19x = 1 +2 cos 日, 6、将参数方程,(日为参数)化为普通方程，所得方程是 、y=2sin解答：（x -1）2 y2 =4n -1n3_ 27、计算：lim -仃f ：3n - 2n8、某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程。从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是 。(结果用分数表示)解答:15 35 35 15 3x+x二50 49 50 49 79、在 AABC 中，若 A =120 AB=5 , BC=7 ,则 AABC 的面积 S=解答：由余弦定理

4、AB2 =BC2 - AC2 -2BC AC cos120解的AC=3 ,因此115、3AABC 的面积 S=m AB x AC xsin120* = 15 2410、 函数f (x) =sin x+2 | sin x |,x w 0,2冗的图象与直线 y = k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是解答:f (x) = 3sin x, x 0,二 1一sin x, xh ,2二 1从图象可以看出直线y = k有且仅有两个不同的交点时，1 < k < 3211、有两个相同的直二棱枉，局为 一，底面a三角形的三边长分别为 3a,4a,5a(a a 0)。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱

5、，在所有可能 的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是。解答：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况四棱柱有一种，就是边长为 5a的边重合在一起，表面积为 24 a2+28三棱柱有两种，边长为 4a的边重合在一起，表面积为24a2+32边长为3a的边重合在一起，表面积为24 a2+36两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为12 a 2+48最小的是一个四棱柱，这说明24a2 28 ； 12a2 48= 12a2 :二20 = 0a :二/5312、用n个不同的实数a1，a2,，an可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵。对第i行a

6、ii, ai2,，ain ,记 bi = -aii +2ai2 3ai3 +.+(1)nnain ,i =1,2,3，n!。例如：用1, 2, 3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12,123所以，6+b2+ +b6 = 12+2x123x12 = 24,那么，132213在用1, 2, 3, 4, 5形成的数阵中， b1 +b2+b120=。231312321解答：在用1, 2, 3, 4, 5形成的数阵中，每一列各数之和都是360,b1 b2b120 = -360 2 360 -3 360 4 360 -5 360 = -1080二、选择题（本大题满分 16分）本大题共有4题，每

7、题都给出代号为 A、B、C、D的 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。一一 113、若函数f （x）=,则该函数在（8，+8）上是（） 2x 1A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值一、1解答：由于2x+1在（-叱收）上大于0单调递增，所以f（x） 2711单调递减，（-00 ,+ °0）是开区间，所以最小值无法取到，选A14、已知集合 M = x | x-1 |E 2, x w r,P =/x|5-之 1,xW

8、Z "则 M 1 P等于 x +1A. x0<xW3,xWZB. x|0<x<3,x=Z)C. 4| -1 Mx M0,xW ZD. &| -1 Mx <0,xW Z)解答：M - ；x| -1 _x _3, x R)P - *x 10 x 4,x Z .>M 1p=x|0WxW3,xWz,选 B15、过抛物线y2 = 4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()C.有无穷多条D.不存在A.有且仅有一条B.有且仅有两条解答：丫2=4*的焦点是(1, 0),设直线方程为 y = k(x1) k#0 (1)将

9、(1)代入抛物线方程可得 k2x2 -(2k2 +4)x + k2 = 0 , x显然有两个实根，且都大于2k2 422.30,匕们的横坐标之和是 2 = 5= 3k =4=k = ±，选Bk3lg | x-11|, x #116、设定义域为R的函数f (x)=，则关于x的方程0,x = 1f2(x) +bf(x) +c=0有7个不同实数解的充要条件是()A. b<0 且 c>0B. b>0 且 c<0C. b<0 且 c = 0D. b20且 c=0f (x) = a(1)a > 0,不同实数解有4个解答：(2)a=Q不同实数解有3个(3)a &

10、lt;0,没有实数解22f (x)+bf(x)+c =0有7个不同实数解的充要条件是万程x +bx + c = 0有两个根，一个等于0, 一个大于0。此时应b<0且c=0。选C一、解答题(本大题满分 86分)本大题共有 6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17 .(本题满分12分)已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA1 =2 ,底面ABCD是直角梯形，/A为直角，AB/CD , AB=4, AD=2, DC=1,求异面直线BC与DC所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解18 .解法一由题意 AB/CD ,，/ C1BA是异面直线 BCi与DC所成的角.连结AC 1与AC

11、,在RtAADC中，可得AC = J5 , 又在Rt4ACC1中，可得 AC 1=3.在梯形 ABCD中，过 C作CH/AD 交AB于H , 得 CHB =90 ,CH =2, HB =3,. CB = . 13又在 riicbCi 中，可得 BCi =<i7 ,在 ABG中,cos ABCiAB2 BC12 - AC122AB BCi5 ,ABC1 = arcco，异而直线BCi与DC所成角的大小为arccos.17 .17解法二如图，以D为坐标原点，分别以 AD、DC、DDi所在直线为x、V、z轴建立直 角坐标系.贝UCi (0, 1, 2), B (2, 4, 0)二 BCi =(

12、2,4,2),CD =(o1,0)，设BC与CD所成的角为日，制 . BCi CD 3.17 .3.17cos 1 =.二-arccos,| BC1 |CD |1717一 . 3.17，异面直线BC与DC所成角的大小为 arccos.175 _ 5i 5-i (i为虚数单位)无解.19 .(本题满分12分)2-证明：在复数范围内，方程 z (1-i)z-(1 i)证明原方程化简为 |z|2 +(1 -i)z-(1 +i)z = 1 3i.卜2 十 y2 =1(1)2x+2y =3(2)设2=乂+丫1 (x、y w R),代入上述方程得 x2 + y2 -2xi -2yi = 13i.2将(2)

13、代入(1),整理得8x 12x+5 = 0.丁 = -16 <0,.方程f(x)无实数解，原方程在复数范围内无解20 .(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题?黄分8分.22如图，点A、B分别是椭圆 + =1长轴的左、右端点，点 F是椭圆的右焦点，点 36 20P在椭圆上，且位于 x轴上方，PA_L PF .(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴 AB上的一点，M到直线AP的距离等于 MB ,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.解解(1)由已知可得点 A ( 6, 0), F (4, 0) 设 点 P 的 坐 标(x,y),则AP=x + 6,y, FP=x 4

14、,y,由已知得, 22土 .L=1n-3吓36 20则 2x2 +9x-18=0,x=-或 x = -6.(x 6)(x 一4) y2 = 0235 3 5由于y a 0,只能x二万,于是y =万V3,点P的坐标是(万,-v13).(2)直线AP的方程是xJ3y+6=0.设点M的坐标是(m, 0),则M到直线AP的距离是|m+6|2，1m +6 | =| m 6|,又-6 < m £6,解得 m = 2, 2椭圆上的点(x, y)到点M的距离d有2_2225 249 2d2 =(x -2)2 y2 -x2 -4x 4 20 - -x2(x-)2 15,9929由于-6 WxE6

15、,二当x = 9时,d取得最小值Vi5.220.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题?黄分8分.假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有 250万平方米是中低价房.预计在今 后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%.另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加 50万平方米.那么，到哪一年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004年为累计的第一年)将首次不少于 4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85% ?解：(1)设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列，其中 a1=250,

16、 d=50,贝U Sn =250n+nnz1)M50 = 25n2 +225n,2令 25n2 +225n 之4750,即 n2 +9n 190 之 0,而n是正整数，二 n >10.到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列，其中 b二400, q=1.08,则 bn=400 - (1.08)n 1由题意可知an0.85bn有 250+(n1)50>400 <1.08)n 1 . 0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6,.到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年

17、建造住房面积的比例首次大于85%.21.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分6分.对定义域分别是Df、Dg的函数y = f(x)、y = g(x),f (x) g(x)当xw DfHx = Dg规定：函数h(x)=«f(x)当xwDf且x更Dg .g(x)当x更Df且x三Dg,J12(1)若函数f(x)=，g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式；x -1(2)求问题(1)中函数h(x)的值域；(3)若g(x) = f (x+u),其中口是常数，且"W 0,n ,请设计一个定义域为R的函数y = f (x),及一个a的值，使得h(x) =cos4x ,并予以证明.2解(1) h(x) = "11x (-二,1) 一(1,二)x =1(2)当 x =1 时，h(x)2_ xx -1若x >1,则h(x)24,其中等号当x=2时成立,若x<1,则h(x) W 4,其中等号当x=0时成立,函数 h(x)的值域(-二,0 一1 . 4, 二)." _._兀(3)斛法一令 f (x) =