待定系数法应用探究

1、待定系数法应用探究待定系数法应用探究待定系数法的定义待定系数法的定义 待定系数法是一种求待定系数法是一种求未知数未知数的方法。将一的方法。将一多项式表示成另一种含有待定系数的新形多项式表示成另一种含有待定系数的新形式，这样就得到一个式，这样就得到一个恒等式恒等式。然后根据。然后根据恒恒等式等式的性质得出系数应满足的的性质得出系数应满足的方程或方程方程或方程组组，其后通过，其后通过解方程或方程组解方程或方程组便可求出待便可求出待定系数，或找出某些系数所满足的关系式，定系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。这种解决问题的方法叫做待定系数法。应用范围应用范围1.1.代

2、数式变型代数式变型2.2.分式求值分式求值3.3.因式分解因式分解4.4.求函数解析式求函数解析式5.5.求解规律性问题求解规律性问题6.6.几何问题几何问题应用待定系数法解题以应用待定系数法解题以多项式的多项式的恒等知识恒等知识为理论基础。为理论基础。常用方法：常用方法：代入特殊值法代入特殊值法比较系数法比较系数法消除待定系数法消除待定系数法 “待定系数法待定系数法”的应用的应用 一、在代数式变型中的应用：一、在代数式变型中的应用： eg:eg:( (云南玉溪云南玉溪) )若若x+6x+kx+6x+k是完全平方是完全平方式，则式，则k=( )k=( ) A.9 B.-9 C. 9 D. 3A

3、 A例题解析例题解析解：设解：设 x+6x+k=x+6x+k=(x+Ax+A) 则则 x+6x+k =xx+6x+k =x+2Ax+A+2Ax+A2A=62A=6A=KA=KA=3A=3K=9K=9故选故选 A A应用方法：应用方法：比较系数法比较系数法归归 纳纳: :根据右边与左边多项式中对根据右边与左边多项式中对应项的系数相等的原理列出应项的系数相等的原理列出方程或方程组，从而得到答方程或方程组，从而得到答案案二、在分式求值中的应用二、在分式求值中的应用( D )( D )例题解析例题解析则则b=5k,a=13kb=5k,a=13k应用方法：应用方法：消除待定系数法消除待定系数法归归 纳纳

4、: :在部分分式求值问题中，已知在部分分式求值问题中，已知一个比例式求另一个分式的值一个比例式求另一个分式的值可以设待定的参数，把相关的可以设待定的参数，把相关的量用它表示出来，再代入所求量用它表示出来，再代入所求分式，从而使问题获解。分式，从而使问题获解。三、在因式分解中的应用三、在因式分解中的应用egeg：（：（湖北黄石湖北黄石）分解因式：）分解因式： x + x 2=x + x 2= (x - 1(x - 1）(x + 2)(x + 2)例题解析例题解析解：设解：设x x+x-2=+x-2=（x + Ax + A）(x + B)(x + B)则则xx+x-2= x+x-2= x + (A

5、+B)+ (A+B)X X+AB+ABA+B = 1A+B = 1AB = -2AB = -2A=-1A=-1B= 2B= 2或或A=2A=2B=-1B=-1 xx +x2 =+x2 =（x-1x-1）(x+2)(x+2)应用方法：应用方法：比较系数法比较系数法归归 纳纳: :在因式分解中，除正常提取公因式法、在因式分解中，除正常提取公因式法、公式法、十字相乘法外还可应用待定公式法、十字相乘法外还可应用待定系数法。本题实际运用系数法。本题实际运用“十字相乘法十字相乘法”更容易，只是作为一种解法介绍于此。更容易，只是作为一种解法介绍于此。四、在求函数解析式中的应用四、在求函数解析式中的应用初中阶

6、段学习的函数主要有：正比例函数：正比例函数：y=kx(k0)y=kx(k0)一次函数：一次函数：y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)二次函数：二次函数：y=axy=ax+bx+c(a0)+bx+c(a0)反比例函数：反比例函数： 二次函数：二次函数： 题目不同可设不同的解析式题目不同可设不同的解析式a a：一般式：一般式：y=axy=ax+bx+c(a0)+bx+c(a0)b b：顶点式：顶点式：y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(a0)+k(a0)（平移式）（平移式）c c：交点式：交点式：y=ay=a（x-xx-x1 1）（）（x-xx-x2 2）(a0(a0）（双根式）（双根

7、式）y=axy=ax2 2沿沿 X X 轴轴左左 右右 平平 移移 （顶点在（顶点在x x轴）轴）上上 下下 平平 移移y=axy=ax2 2+k+ky=a(x-h)y=a(x-h)2 2上上 下下 平平 移移y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k沿沿 X X 轴轴左左 右右 平平 移移（顶点在（顶点在y y轴）轴）（顶点式）（顶点式）平移规律：平移规律：左加右减，自变量；左加右减，自变量；上加下减，常数项。上加下减，常数项。（顶点在原点）（顶点在原点）例：例：( (山东聊城）山东聊城）如图直线如图直线ABAB与与x x轴交于轴交于点点A A（1,01,0），与），与y y轴交于点轴交

8、于点B B（0 0，-2-2）（1 1）：求直线）：求直线ABAB的解析式？的解析式？ 例题解析例题解析解：设直线解：设直线ABAB的解析式为的解析式为y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)直线直线ABAB过点过点A A（1,01,0），点），点B B（0,-20,-2） k+b=0k+b=0 b=-2 b=-2k=2k=2 b=-2 b=-2 直线直线ABAB的解析式为的解析式为 y=2x-2y=2x-2 应用方法：应用方法：特殊值法特殊值法归纳：归纳：经过原点经过原点的直线是的直线是正比例正比例函数；函数；不经过原点不经过原点的直线是的直线是一次一次函数；函数；解析式中有解析式中有一个待

9、定系数一个待定系数就在就在图象上找图象上找一个点一个点；解析式中有解析式中有两个待定系数两个待定系数就就在图象上找在图象上找两个点两个点。 egeg：已知一个二次函数的图象过：已知一个二次函数的图象过（-1,10-1,10）（1,61,6）、（0,70,7）三点，求这个函数的三点，求这个函数的解析式解析式？例题解析例题解析解：设二次函数解析式为解：设二次函数解析式为y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0) ab+c=10ab+c=10 a+b+c=6 a+b+c=6 c=7 c=7由题得由题得解得解得 a=1a=1 b=-2 b=-2 c=7 c=7这个二次函数的解析式为这个

10、二次函数的解析式为y=xy=x2 2-2x+7-2x+7 egeg：已知抛物线的顶点为：已知抛物线的顶点为（-1,-3-1,-3）与与y y 轴交点为（轴交点为（0 0，-5-5），求抛物线的解析求抛物线的解析 式？式？ 例题解析例题解析解：设所求抛物线的解析式为解：设所求抛物线的解析式为 y=a(x+1)y=a(x+1)2 2-3(a0)-3(a0) 点（点（0 0，-5-5）在抛物线上）在抛物线上 a-3a-3=-5=-5 a=-2a=-2 所求抛物线的解析式为所求抛物线的解析式为 y=-2(x+1)y=-2(x+1)2 2-3-3即即y=-2xy=-2x2 2-4x-5-4x-5 ege

11、g：已知抛物线与：已知抛物线与x x轴交于轴交于A A（-1,0-1,0），）， B B（1,01,0）两点，并且图象过）两点，并且图象过M M（0,10,1），），求抛物线的解析式？求抛物线的解析式？例题解析例题解析解：设抛物线的解析式为：解：设抛物线的解析式为： y=ay=a( (x+1x+1) )（x-1x-1）( (a0a0) )图象过点图象过点M M（0,10,1） a(0+1 a(0+1）（）（0-10-1）=1=1 a=-1 a=-1该抛物线的解析式为该抛物线的解析式为 y= - y= - ( (x+1x+1)()(x-1x-1) ) 即即:y= -x:y= -x2 2+1+1练

12、习：观察下列条件，说出求解析式的方法。练习：观察下列条件，说出求解析式的方法。（1 1）抛物线经过（）抛物线经过（ 0 0，-5-5）, ,（5,05,0）两点，）两点， 对称轴对称轴是直线是直线x=2x=2，求函数解析式？，求函数解析式？解：设解析式为：解：设解析式为： y=a(x-2) y=a(x-2)2 2+k(a0+k(a0）y=a(x-5)(x+1)(a0y=a(x-5)(x+1)(a0）（2 2）二次函数图象经过）二次函数图象经过(0,4),(0,4),且当且当 x=1x=1时函数值为时函数值为3 3，当，当x=-1x=-1时函时函 数值为数值为4 4，求函数解析式？，求函数解析式

13、？解：设解析式为：解：设解析式为：y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)（3 3）抛物线的）抛物线的顶点顶点为为(2,4)(2,4)且经过原且经过原 点，求函数解析式？点，求函数解析式？解：设函数解析式为：解：设函数解析式为：y=a(x-2)y=a(x-2)2 2+4+4（a0a0）（4 4）抛物线经过点（）抛物线经过点（0,-40,-4）且当）且当x=2x=2时函数图象时函数图象最高点最高点的纵坐标为的纵坐标为4 4，求函，求函数解析式？数解析式？ 解：设函数解析式为：解：设函数解析式为：y=a(x-2)y=a(x-2)2 2+4(a0)+4(a0) 求二次函数解析式的一

14、般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图像上的三点或三对对应值通常用：已知图像上的三点或三对对应值通常用：一般式一般式已知图象与已知图象与x轴的两个交点的横坐标轴的两个交点的横坐标x1,x2通常用：通常用：交点式交点式已知图象的顶点坐标（或对称轴或最值）通常：已知图象的顶点坐标（或对称轴或最值）通常：顶点式顶点式 探究探究：有一个抛物线形的立交桥，这：有一个抛物线形的立交桥，这 个桥拱的最大高度为个桥拱的最大高度为16m16m，跨度为，跨度为 40m40m，现把它的图形放在直角坐标系，现把它的图形放在直角坐标系 里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式？，求抛物线的解析式？设抛物线解析式为设抛物线解析式为y=axy=ax2 2+bx+c (a0)+bx+c (a0) 解法一：解法一： 设抛物线解析式为设抛物线解析式为y=a(x-20)y=a(x-20)2 2+16 (a0)+16 (a0) 解法二：解法二： 解法三：设抛物线解析式为解法三：设抛物线解析式为 y=a(x-0y=a(x-0）（）（x-40 x-40） (a0)(a0) 归纳：归纳：解法一选用一般式，过程比较复杂。解法一选用一般式，过程比较复杂。 解法二选用顶点式，方法简单灵活。解法二选用顶点式，方法简单灵活。 解法三选用交点式，方法灵活巧妙，解法三选用交点式，方法灵活巧妙，过程也较简捷。过程