弦长公式高二版椭圆

1、圆锥曲线综合问题1.直线方程的处理：若直线方程未给出，应先假设。(1)若已知直线过点(xo,y0),则假设方程为y-y0二k(xx0)；(2)若已知直线的斜率 k ,则假设方程为 y=kx+ m ；(3)若仅仅知道是直线，则假设方程为 y二kx十m【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；(4)若已知直线恒过 x轴上一点(t,0),且水平线不满足条件(斜率为0),可以假设1直线为x=my+t。【反斜截式，m二1】不含垂直于y轴的情况(水平线)22x y_ _2.弦长公式：若直线l:y kx m与椭圆 3 1(a b 0)相交于P,Q两点，求弦长a b| PQ |的步骤：设P(。y)Q(

2、x2, y2),联立方程组(将直线方程代入椭圆方程)：y kx m,、2 22 22 2消去y整理成关于x的一元二次方程：Ax2 Bx C 0,b x a y a b ,2BC则x1,x2是上式的两个根，B2 4AC 0;由韦达定理得：x1 x2一, x1x2 一,A A|PQ| ，(X2 Xi)2 (y2 Yi)2又P,Q两点在直线l上，故y1 kx1 m, y2 kx2 m,则y y k( x2 Xi),从而(X2 X1)2 k2(x2 X1)2. (1 k2)(x2 X1)2(1 k2)(x1 X2)2 4X1X2, (1 k2) A2【注意：如果联立方程组消去x整理成关于y的一元二次方

3、程：Ay2By+c=0,则ICC I l/d 12 211反斜截式2A 1|PQ| J(1 六)(丫2 yjJ(1 T2)T2 >J(1+m)7?】V k¥ k A IA A3、其他常见问题处理(1)等腰(使用垂直平分)，平行四边形(使用向量的平行四边形法则或者对角线中点重合)(2)直径(圆周角为直角，向量垂直或斜率乘积等于 .1),其次考虑是否需要求圆的方程。(3)锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解;(4)三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：邑二rp,(这里p=a+b+c)；(5)圆的弦长用垂径定理；(6)涉及到焦点要联想到定义；(7

4、)三点共线，长度之比尽量使用相似三角形转化为坐标之比，利用韦达定理。例1. (2007山东卷)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦2点所组成的四边形为正方形，两准线(注：左右准线方程为 x二±9-)间的距离为4一 C(I)求椭圆的方程；(n)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于 A、B两点，当A AOB面积取 得最大值时，求直线l的方程.2例 1.解：(1) 土 y2 1.2(n )由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y kx 2, A(x1, y1), B(x2, y2)y kx 2由 99 ，消去y得关于x的方程：(1 2k2)x2 8kx 6 0由

5、直线l与椭圆相交于A、B两点,x2 2y2 264k2 24(1 2k2) 8(2k2 3) 0解得 k2 -|AB|8(2k2 3)_ 2 2(1 2k )2又 由韦达定理得 x1 x28k), x x2 6212k12k距离d看叩X令 m J2k2 3(m 0),22 ° o 2 ,2m 2 .2、. 2则2k m 3, S 1m2 442m m一一. 4当且仅当m 即m 2时,mSmax一此时k2'.14 士.所求直线为2、14 2y 4 0解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为y kx2,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线23 一由解法一知

6、k 一且x1 x22 2l与x轴的交点D( -,0),k8k62 , x x2 21 2k21 2k2解法1：x2 |c1 一，1,2,_,SAOB2 | OD | | yy2 |21k 11kxi2kx22 | =1 x1解法2:SAOBS.(x2 x2)2 4x1x2POB S POA、.16k2 241 2k22 |巴| |为| |x2212,2甘 31 2k2.下同解法2 2.2k2 3 x1 1 =21 2k2 x例2:已知椭圆一32 y_21的左、右焦点分别为Fi , F2 .过Fi的直线交椭圆于 B, D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点，且AC（I）设 P（X。，y0）,证明

7、:2 x032 y°2求四边形ABCD的面积的最小值.例2:解：（I ）椭圆的半焦距.3-21,AC J_ BD知点P在以线段F,F2为直径的圆上，故X22yo（处理方法2)32 x02（处理方法二）2x22 y。222x01x0326x0d） （ i ）当BD的斜率k存在且0时，BD的方程为k(x1），代入椭圆方程22x y, - -221,并化简得(3k2 2)x2326k2x 3k26 0.48(k21) 0设 B(x1，y1), D(X2, y2),则 x1X26k23k2 2x(x23k2 63k2 2BD(k2 1)_248(k1)4.3(k2 1)(3k22)23k2A

8、C与BC相交于点P ,且AC的斜率、，1 一 一为一，同理可得AC k4.34%3(k2故四边形 ABCD的面积,|bd|ac_2224(k1)21 Z 2(3k2)(2 k3)2k2-44(6k_ 2_12k6)_4_ 26k 13kAC和BD都过P与椭圆相交）k24(1 -2-) -6k 13k614(1 ) 4(1216(k) 13k26 2. k21k2)139625当k2 1时，上式取（ii）当BD的斜率k 0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S 4.四边形ABCD的面积的最小值为96 .【也可以令t=k2 + G 1 ,或者对分母用基本不等式】 25-例3、2014陕西文已知椭圆

9、马十 a由d<1,得|m|<坐(*) 4m2 (垂径定理)|CD|= 21 d2 = 2l 1 _m2 =l的距离d=2Jm|.5,设 A(x1，yi), B(x2y2),1y= 2x+ m,由 22得 x2mx+m23=0，= 3(4m2)>0x2 y217+3=1x1 + x2=m, X1X2= m233.1)中:41m2.y21b2=1(a>b>0)经过点(0, 取,离心率为左、右焦点分别为F 1, F2.1 ,(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为一2的直线l与椭圆父于 A, B两点，与以FF2为直径的圆交于C, D两点，且满足需=¥,求直线l的方程

10、.X2 y2例3.解：椭圆的方程为1+=1.(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2= 1,，圆心(0,0)到直线由黑! = *3，得、/上m2 =1,解得m="3，满足(*) .，直线l的为y=-1x +当|CD| 4 Y 5-4m232 - 3例4、(2014全国I卷理)已知点A(0, 2),椭圆E: |2+b2=1(a>b>0)的离心率为 平，F是 椭圆E的右焦点，直线 AF的斜率为 乎，Q为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P, Q两点，当 QPQ的面积最大时，求l的方程.2例 4.解：(1) x4" + y2=

11、1.(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l: y=kx-2, P(x1, y1)，Q(x2, y2).将 y=kx-2 代入 x2+ y2= 1 得(1 + 4k2)x2- 16kx+ 12=0, 号成立，满足 50,所以，当 OPQ的面积最大时，k= 奖 l的方程为y= +正- 23 一 当 A= 16(4k2-3)>0,即 k2>3时,从而4|PQ|= J(1+ k2)16(4k2 3) 4,k2+1 .4k2322(4k2+1)24k2 + 1又点O到直线l的距离d =Vk2+ 1OPQ1的面积 SAQPQ=2d |PQ|4 4k2- 34k2+1 .设;4 =t,则 t&g

12、t;0, SA。M=指=竟.因为t+44,当且仅当t=2,即k=&27时等222例5、（2007浙江文）如图，直线 y=kx+b与椭圆 y2 1交于A、B两点，记 AOB 4的面积为S.（I）求在k=0, 0V bv 1的条件下，S的最大值；（n ）当| AB | =2, S=1时，求直线 AB的方程.X22例5、解：（I）设点A的坐标为（Xi,b），点B的坐标为（X2, b）,由一 y 1,4得 X,22,1b2故S 1b|x2|2b1b2 b2 1b21（法一：基本不等式）2当且仅当b N2时，.S取到最大值1.2法二：S二2. b2（1b2）（看作b2的二次函数）法三：令 b 二

13、cosj,由0<b<：1,贝U % （0工），S 二2bj1-b2 =2cosjsin0二sin2" 12y(n)由x2X4220,16(4k b 1) Ckx b2 得(4k2 1)x2 8kbx 4b2 4y 1I AB I =(1 k2)16(4k2 b1)2 1) 2又因为O到AB的距离d Jb|NS- 1,1 k2 |AB|所以b2k2 1代入消去b得4k4 4k2 1 0解得，k2 1,b2 2故直线AB是y x 或y - x 或y 2222。，代入式检验，> 0,22 x 例6、（2007陕西又）已知椭圆 C:。 a2yy =1(a> b>

14、 0)的离心率为b26 ,，短轴一个端点到右3焦点的距离为.3.（I ）求椭圆C的方程；（n ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点 O到直线l的距离为,求 AOB面积的最大值.22例6、解：(I )椭圆方程为y2 1 .3(n)设 A(。y3 B(x2, y2). (1)当 ABx轴时，|AB 33 .(2)当AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为y kx m.把y kx m代入椭圆方程,整理得 (3 k21)x226kmx 3(m1) 0,12(3k22m 1),x16km2，3k 1XlX23(m2 1)3k2f(k2 1).4由于|AB|ABmaxAOB面积取最大值只需12(k2

15、 1)(3k2 1 m2)13(k2 1)(9k2 1)22(3k2 1)222(3k2 1)2|AB|最大,12k23 9k4 6k2(离分)【也可以令t=3k2 + 11,或者用基本不等式】0时 |AB| 3 12-：9k2；21222 .当且仅当9k22 3 61k2，即k时等号成立.综上所述 AB 2 .3iiiaxAB最大时， AOB面积取最大值SABmax例7、【2015江苏文理】如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆2 y b2的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.2(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于 A, B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB

16、于点P, C,若PC=2AB,求直线AB的方程.2 a2例7、解析：（1）2y2 1.(2)处理一：当x轴时,、2,3,不合题意.与x轴不垂直时，设直线的方程为的方程代入椭圆方程，得222k x4k2xk20, = 8(1+k2)>0X1X24k21 2k2AB的中点C的坐标为2k21 2k21 2k222 1 k2 |1 2k20,则线段的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.从而kw。，故直线PC的方程为y22k 1 2k5k 22 (x 2),故 P( 2,-)1 2k k 1 2kk(1 2k )从而（用两点间距离公式）|PC|二2(3k2 1),1 k|k|(1 2k2)2

17、,因为 |PC|二2|AB| ,所以2(3k2 1).1 k22|k|(1 2k2)4.2 1 k221 2 k2解得k1 ,所以直线AB方程为y x 1或yx 1处理二：显然 AB不可能水平，且过F(1，0),故设AB直线为x=my + 1 ,联立x = my+122x2 +2y2 =2,得(2 +m2)y2 +2my -1-0A = 8(m2 + 1)> 0'C(M,y0)则y十 y2y0 二二m2，-2 , x0 - my0 + 1 -22+m2-m故C(2+m2 '2 + m2) , |AB|二(1 + m2)8(m、1) 2.2(11m2)(2+m2)2 2+m

18、2故PC直线方程为y + my=-m(x-2 ),故P(.2,2+m22+m2_3_2m 5m），点P到直线AB的距离（用点到直线的距离公式）2m4 5m2| 3 c 2|PC|= 2 m,1 m2_22_2(m 1)(m 3) (2 m2) , 1 m22(m2 +1)(m2 +3)4 .'2(1 +m2)(2 + m2)、1 + m22十m2解得m4 2m2 12x 2例8、120i5浙江理】椭圆 一 y2 i上两个不同的点 A, B关于直线y mx 2（i）求实数m的取值范围；（2）求 AOB面积的最大值（O为坐标原点）.例8、（ 1）解法1:由题意知m0,可设直线AB的方程为y

19、m(b y),2,x由x2y2 m(by)(m22)y2 2bm2y m2b2直线2b与椭圆21有两个不同的交点,8(m2x2,y2yi + y2 2bm m2 4 2故AB中点2,2mb m b、小、士心,工口M （i,i）代入直线万程 m22 m22mxi一解得b 2m2 21，代入判别式2 m2中得 2(3m4 4 m2 4)(3m2 2)( m2解法二：（点差法）设xi, Vi ,x2, y22)AB中点J.3，M (xo,yo)故x22yi2_2_ 22 , x22 y22 ,两式相减得22xiX2_222(yi v)0,即(xix2)(xix2) 2( yiy2)(yiy2)0(x

20、i x2)2 ViV2 (Vixix22Vo m又C在直线ymx故y0i mx0-2i i、.，联立得C（ 一，一）在椭圆m 2内，所以i2m2i解得(2)|AB| (i m2)2(3m2 2)(m2 2)2/22m (m 2)点O到AB距离d|m(m2 2)|iS d |AB|2m(m2 2) |if2 2m2. i|mb|222 ， m2 m2、2(3m2 2)(m2 2)(i m )222m (m 2)一 2 一、m 2)(m2)22(3m2 2)(m2 2)2 m22m2 2)(m2 2)22m m(32 m)(i）换元法22 ,t m2(0,3), S 二?#3川中)1(0,当且仅当

21、t=1时，5由2*二#（或者S2 3m414m214 . 2 :. 4,3-：-2,令t 1y化为二次函数处理。）m m m例9、2015山东，文理】平面直角坐标系22xoy中，已知椭圆C:冬当 1 a b 0的a b离心率为旦,左、右焦点分别是 F1,F2 ,2Fi为圆心以3为半径的圆与以 F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 c上.2一 x（i）求椭圆C的方程；（n）设椭圆E：14a2 1, P为椭圆C上任意一点，过点 P的4b直线y kx m交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于点Q .OQ(i)求FQ的值;OP（ii）求 ABQ面积的最大值.例9.解析：（I）椭圆C的标准方程为

22、1.（II ）由（I）知椭圆2E的方程为162y41,设P Xo，yoOQOP|x。，y。2因为y21,42又一162x042V。1，所以OQ|op|(ii)设 A %, % , BX2, V2 将 ykx m代入椭圆E的方程,可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 162。由16(16k2（估计你算晕了吧,记住：系数太大要提取公因数减少计算）,可得m2 416k2则有xx228km4m 16一,、2，为次 2-，因为直线y14k14kkx m与轴-交点的坐标为 0,m , _ 1所以OAB的面积S 1mx2 x221 4k22(16k2 4 m2) m21 4k2J22m m42214k1

23、4k人 m于是A, B两点的坐标满足方程组2 .令2 t，【这换元太有难度了 ，最好看成关于 m2的开口向下的二次函数，看对称轴】1 4k2将y kx m代入椭圆C的方程可得1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0由 0 ,可得m2 1 4k2 由可知0 t 1因此S 2/4 t t 2j t2 4t，故S 2M当且仅当t 1 ,即m2 1 4 k2时取得最大值2J3由(i)知， ABQ面积为3S，所以 ABQ面积的最大值为6J3 .例10、(2011天津理)已知椭圆 三 £ 1 a b 0的离心率e ,连接椭圆的四 a2 b22个顶点得到的菱形的面积为 4 . (I)求椭圆的方程

24、；4、2,求直线l的倾斜角；(i )若 AB(n)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B .已知点A的坐标为 a,0 .4 .求y0的值.5(ii)点Q 0, y0在线段AB的垂直平分线上，且2例10、【解】(I)椭圆的方程 y2 1 .4(n ) ( i )由(1)得 A 2,0 .设点B的坐标为 x1,y1 ,由题意直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k ,则直线l的方程为y k x 22 ,由方程组消去y并整理得 1,22221 4k2 x2 16k2x 16k2 4 0AB处理方法一：（直接求解点的坐标）因为x2是方程的一个根，则由韦达定理有2x124-（体会这种方法）1 4k22 8k2

25、2 ,从而y1 k1 4k2Xi4k1 4k2处理方法二:2 8k24k216>04k 21 4k24 J k21 4k2（两点间距离公式）。|AB|216(1 k2)2 2(1 4k2)241 k24 k2AB4.25得五工1 4k2返，整理得32k4 9k2 2350,k21 32k2230,一 .3所以直线l的倾斜角为一或3-44（ii）线段AB的中点为M ,则M的坐标为8k22k2 ,21 4 k2 1 4k2卜面分情况讨论:(1)当 k于是QA0时，点B的坐标为 2,0 ,线段AB的垂直平分线为y轴.（2）当 k2, y00时，线段2k1 4k2QA 2,2, V。，由 QA

26、QB 4 得 y0AB的垂直平分线方程为V。1QB8k2定令x 0倚y06k4k2由2 2 8k22x1V。y1V。1 4k26k1 4k24k4k26k1 4k24 16k4 15k2所以y04k2 24 .整理得7k2 2.-14k 76k1 4k22,，14 人.综上，y052V2 或 y。2. 145例11、（2007山东理）已知椭圆 C的中心在坐标原点，焦点在 点距离的最大值为3 ,最小值为1 .（I）求椭圆C的标准方程；X轴上，椭圆C上的点到焦（n ）若直线l : y kx m与椭圆C相交于A , B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点，求证：直线l过定

27、点，并求出该定点的坐标.22例11、解(I)由题意设椭圆的标准方程为x2 乌 i(a b 0)a b2a c 3,a c 1 , a 2,c 1,b3,28mkx 4(m3) 0,y kx m(II)设 A(X1,yJB(X2,y2),由 x2 y2得(3 4k2)x214364m2k2 16(3 4k2)(m2 3)_22_ 一_ 22_48(4 k2 m2 3) 0 ,得 3 4k m 0 .X1X28mk2,X1 x23 4k4(m23)3 4k23(m2 4k2)3 4k222y y2 (kx1 m) (kx2 m) k x1x2 mk(x1 x2) m二以AB为直径的圆过椭圆的右顶点

28、D(2,0), kAD kBD1, 1, y1y2 X|X2 2( x1 x2) 4 0,x1 2 x2 22 .223(m 4k ) 4(m3) 16mk22-# 廿 4 0, 7m 16mk 4k 0,解得3 4k23 4k23 4k2一2k22_m12k, m2,且满足 3 4k m 0.7当m2k时，l: y k(x 2),直线过定点(2,0),与已知矛盾；当m2k时，l : y k(x 2),直线过定点(2,0).2综上可知，直线l过定点，定点坐标为(2,0).2例12、(2005全国卷II)已知P、Q、M、N四点都在椭圆x2 工 1上，F为椭圆在y轴 正半轴上的焦点.已知 pF与彘

29、 共线，MF与三N共线，且pF MF 0.求四边形pmqn的面积的最小值和最大值.例12、解：如图，由条件知 MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点 F(0,1),且PQ± MN , 直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ的斜率为K,又PQ过点F(0,1),故PQ 的方程为y = kx+1,将此式代入椭圆方程得(2+ k2 )x2+2 kx 1=0设P、Q两点的坐标分别为(x，y1), (x2, y2)，则28(k2 1),从而 |PQ|2.2(1k2)2 k2（1）当 k wo 时,MN的斜率为一1 , k1 ,（一2代替k）同理可得|MN | k22(1 ( 1)2) k

30、故四边形面积S1-| PQ|MN |224(1 k )(1_24(2 k一 2 一(2 k )(2人 11令u =k 得S k24(2 u)12-2(1 ) ，u = k25 2u 5 2u当卜=±1时u=2, S=!6且S是以u为自变量的增函数，.92MN |=22 (9 k2k221 i?竺S 9当 k=0 时，MNK/椭圆长轴，|MN|二2 J2,|PQ|= V2 ° - S=-| PQ|综合知四边形 PMQN的最大值为2,最小值为16O92 x例13、（2013年浙江理）如图，点P（Q 1）是椭圆C1 : a的长轴是圆C2: x2y24的直径.l1,l2是过点P且互

31、相垂直的两条直线，其中交圆C2于两点，l2交椭圆Ci于另一点D（1）求椭圆Ci的方程;（2）求 ABD面积取最大值时直线1i的方程.2X 9例 13、解:（I ） y21;4b 0）的一个顶点，C1( ) 1il2,都过点P(0, 1),设直线l1: y kx 1 kx y 1 0, k存在不为0,直线1，一l2:y-x 1 x ky k 0 ,所以圆心(0,0)到直线l1:kx y 1 0的距离为k122d,直线l1被圆x2y24所截的弦AB2/4d,1 k2,1k2x ky k 0y2 1(k2 4)x2 8kx 0,所以 A=64k2>0S ABD|DP|64k222(k 4)8

32、k2 1 F-2,所以k 41|AB|DP| 1 2 中 8f7 千口22.1k2k 4 k 44 8 1'4k2 34k2 3 13324k2 3、4k23134k2.4k23、送渺3,4k2 3134k2 3k2叵时等号成立，直线： y2例14、已知椭圆的焦点坐标为F1 （-1,0）F2 （1,0）,过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3,（1）求椭圆的方程； （2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点 M、N,则FMN的内切圆的面积是否存在最大值若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理 由.例14、2 x解：（1）椭圆方程为一42y =13(2)设

33、M（x1,y1），N（x2,y2）,设 Fmn的内切圆的径 R,则4Fmn的周长为4a=8,F1MN1一(MN + F1M+F1N) R=4R,因此 2F1MN最大，R就最大, _1法一：利用面积公式sAFiMn二万|FiF2 |,| y1 _ y21（水平宽与铅垂高乘积的一半，三角形被水平线或竖直线分割成同底的两个三角形）由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1 ,（灵 活使用反斜截式）x由x24my 1y2 得(3m2 4)y2+6my-9=0, A = 144(m，1)y 13贝”SAF1 MN1二 2|F1F2l,|y1 y2产令仁 Jm2 1,则 t>1,则

34、Samn12 m2 13m2 412 m2,（这里使用了I Yi y21=3m212t23t2 1121, 3t -tamn & 12 =3，即当 t=1,m=0 时, 312=3,3AMN =4R, . . Rmax =549这时所求内切圆面积的最大值为三兀.故直线l:x=1, AMN内切圆面积的最大值为16.1法二、更具有一般性 Sv1MN二一| MN |,d,（其中d是F1到直线MN的距离）129兀16由题知，直线l的斜率不为零，可设直线 l的方程为x=my+1,（灵活使用反斜截式）点F1到直线MN的距离d 2. 1+m2x my 1由 x2 v2得(3m2 4)y2+6my-9

35、=0, A = 144(m2+1)y 14 3|MN |二.：(1+m2)144(m2 +1) 12(m2+1)22(3m2 +4)2二2,(3m2+4)12 . m2 1AMN 2 -3m 412t23t2 1123t 1 tAMN =3, SAMN=4R，' Rmax=，34这时所求内切圆面积的最大值为例15、2014四川文已知椭圆x= my 2,3=162amn & =3, 即当 t=1,m=0 时, 3-9-兀.故直线l:x=1, AMN内切圆面积的最大值为 兀 1616C： a2+，= 1(a>b>0)的左焦点为F(-2, 0),离心率为 空.(1)求椭圆

36、C的标准方程；(2)设O为坐标原点，T为直线x= 3上一点，过F作TF 的垂线交椭圆于 P, Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.例 15、解：(1) 77+ y-= 1. 62m 0(2)设T点的坐标为(一3, m),则直线 TF的斜率kTF= _3_ (_ 2)=- m.当mw0时，直线PQ的斜率kPQ=1,直线PQ的方程是x=my2. m当m=0时，直线PQ的方程是x=- 2,也符合x= my2的形式.设P(x1，y1), Q(x2, y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去 x,得(m2+3)y24my2=0,其判别式 A= 16m2 + 8(m2+3

37、)>0.匚已14m 212所以 y1+y2=m2+3，y1y2=m2q，X1+x2=m(y+y2)4 = m.因为四边形 OPTQ是平行四边形，所以 OP = QT,即(xi, y1) = (-3-x2, m-y2).12x1 + x2= 2+3 = 3,所以m解得m= 土.4my1+y2=m2+3=m.方法2:利用平行四边形对角线OT和PQ的中点重合.OT的中点(_3, ), PQ的中点2 2(T!)，故 二_3且栏上二m,解得m=*故四边形OPTQ的面积m +3,m +3 m +3- 2 m +3. 2_124(m2 + 1)门 cS 四边形 optq = 2sopq= 2X c &

38、#39; |OF | ' |y1 y2|= 2 J亍=2 a/3.2； (m2 + 3)2例16、2014四川卷已知椭圆C: 5+y|=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴 的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=- 3上任意一点, 过F作TF的垂线交椭圆 C于点P, Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);当|TF|最小时，求点t的坐标.IPQI例16.解：（1）由已知可得a2+ b2= 2b,2c= 202- b2 =4,解得 a2=6, b2=2,所以椭圆C的标准方程是y2= 1.（2）证明：由（

39、1）可得，F的坐标是（一2, 0）,设T点的坐标为（一3, m）, 则直线TF的斜率"f= J：0* =- m.3 （ 2）1当mw0时，直线PQ的斜率kPQ=m.直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时，直线PQ的方程是x=- 2,也符合x= my2的形式.x= my 2,设P（X1, y1）, Q（x2, y2）,将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得 x2 y2 .6+2 = 1.消去 x,得（m2+3）y24my2=0,其判别式 A= 16m2 + 8（m2+3）0.汇 I、14m-212所以 y1+y2=mT3 y1y2=m3 X1+x2=m(y1+y2)4 = m.、一一

40、 一 6 2mm设M为PQ的中点，则 M点的坐标为 m2+3, m2+3 .所以直线OM的斜率koM = - -3 ,又直线OT的斜率koT=m,所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.32 4yy2由可得，|TF|=m2+1, |PQ|=、(x1一x2)2+ (y1 一y2)2 = 4 ( m2+ 1) (y+ y2)所以ITF_| |PQ|4m 2 2m2+3 4m11(m2+3P，五m2+1 -标(m2+1)m2+ 3424 m2+1+m4R 724(4+4)=兴当且仅当科1=能,即m-时，等号成立，此时岗取得最小值故当|TF|最小时，T点的坐标是（3, 1）或（3, - 1）. |

41、PQ|2x 922.例17、（2011北东理）已知椭圆 G： y2 1,过点（m, 0）作圆x y 1的切线l4交椭圆G于A, B两点。（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值。<3.c2_3例17、解：（I）由已知得a 2,b 1,所以c va2 b2所以椭圆G的焦点坐标为（43,0）,（J3,0）,离心率为e（n）由题意知，点（m, 0）不在圆内，故|m| 1.（注：点（m, 0）在x轴上，且水平线不满足条件，用反斜截式处理直线方程）22设切线l的万程为x=ty + m,因为与圆x y 1相切，故圆心到直线 l的距离d 二瑞二 1,即 m

42、2 = 1ft2x 二 ty m2 2214得(t ")y +2tmy+m -4 = 0 ,设 A(x1，y1), B(x2, y?), 1.则 yi + y2 二2tm不必力二2 m .4 币,A = 16(t2m2+4) = 48 (利用式)1AB L)潞)24.3|m|m2 3 .（特别注意弦长公式的变形）因为| AB|4.3|m|43m2 3|m|不 2,故当mJ3时,3|AB|的最大值为2.|m|例 18、（20132y21的左、右焦点F1，F2关2 x 年湖南（文）已知F1, F2分力U是椭圆E：5于直线x y2 0的对称点是圆C的一条直径的两个端点（I）求圆C的方程；（

43、n）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a, b .当ab最大时，求直线l的方程.例18.解、（I）【画图】先求圆 C关于直线x + y - 2 = 0对称白圆D,由题知圆D的直径为F1F2,所以圆D的圆心D（0,0），主径r= c JaL b2 :2,圆心D（0,0）与圆心C关于 直线x y 2 0对称 C（2,2）圆C的方程为：（x 2）2 （y 2）2 4.yC yD X（-1）二1（说明：这里最好能列出关系式xC 1 xD，求C点坐标）x"xd . yc+ yD _2二022（n ）由（I ）知F2 （2,0）,据题可设直线l方程为：x = my +2,m C

44、R.这时直线l可被.圆和椭圆截得2条弦，符合题意.所以 | PQ | 2j|AQ|2 d2 2/16 4m； 4J3m4 ,1 m2,1 m2Smpnq| MN | |PQ |2112 m 12 3m1321m 112,8. 3由已知，2a=4, a-c= 1a =2, c= 1 -b=>/3,故椭圆的标准方程3=143（2）若该直角三角形斜边斜率存在且不为0,设直角三角形斜边所在直线方程为y=kx + m,斜边与椭圆的交点 A（xi, y1）, B（x2y2）,联立方程组'y = kx+ m22x y .+ 114例20.某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草，为

45、增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草（如图），并以该直角三角形斜边开辟观赏小道（不计小道的宽度），某园林公司承接了该中心花园 的施工建设，在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4（单位：百米）,且椭圆上点到焦点的最近距离为1（单位：百米）.（1）试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系，求出该在（2）请计算观赏小道的长度（不计小道宽度）的最大值.例20.解、（1）两焦点连线为x轴，中心为坐标原点建立苜 22圆为 xl+ y-2= 1（a>b>0）, a b得 3x2+4(kx+ m)2= 12,即(3+4k2)x2+8kmx +

46、 4m212=0, (6 分)贝U = 64k2m24(3 + 4k2)(4m212) = 48(4k2m2+3)>0,即 4k2m2+3>0.(7 分)28 km4 m 122 , x#2 二j-, 3+4k23 4k222y1y2= (kx1+ m)(kx2 + m)= k xix2+ km(x1 + x2)+ m4m2- 12=k23+4k23 +4k23+4k22要>AAOB为直角三角形，需使 x1x2+y1y2=0,12k2 + 12 即 m2= 48(16k2+9) >0所以|AB|(1+k2)48(16k2-t9)48 16k4+ 25k2+ 9_ .2

47、27(3 +4k )7 16k4+24k2+948k27 1 + 16k4+ 24k2+9c 9当仅当16k2=k23.一k=琮时，等号成立.4m2-12 3m2-12k2即-+-= 0,所以 7m212k212=0, (9 分)3+4k23+4k212k2+ 12,故= 48(4k2+3 7-若该直角三角形斜率不存在或斜率为综上可知，观赏小道长度的最大值为人 一 4 21,0,则斜边长为7 .（12分）25（百米）.方法二，整理得Tm'll （k2+l ）所以o到直线a且的距凿=音=fn=rjn.为定值旧1 J7 7V OA1OB- /. OA2-OR2=ARz>2OA*OR，当且假当OA= OB时取“="日由且5=Cd *得衣且5=04,，.,月32 d=,即夜AB的卡虔的最小但是峥Lf22例21、（2013全国II卷理）平面直角坐标系 xOy中，过椭圆M：x2 -y2- i（a b 0）的右a b焦点F作直x y 君 0交