第四节无穷大和无穷小ppt课件

1、无穷大与无穷小第四节第四节 第二章 二、二、 无穷小无穷小 四、四、 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、 无穷大无穷大 第四节无穷大与无穷小三、无穷小的运算性质三、无穷小的运算性质的的绝绝对对值值无无限限增增大大。轴轴无无限限接接近近于于时时，函函数数当当yyxyx,10 X0Y绝对值无限增绝对值无限增大的变量叫无大的变量叫无穷大穷大. .一、无穷大一、无穷大定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大定义：绝对值无限增大的变量称为无穷大. .准确定义：准确定义： )(lim) 10 xfxx, 0 , 0 M.)(Mxf 有有： )(lim ) 2xfx, 0, 0 XM时时，当当X

2、x .)(Mxf 有有,00时时当当 xx特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或.ln0,ln,10,100是负无穷大是负无穷大时时即当即当是正无穷大；是正无穷大；时时即当即当是无穷大；是无穷大；时时即当即当例如：例如：xxxexexxxxxxxx limlimlimlimlimlimOxyxy1 1yOxxyln Oxey y留意留意: :1 1无穷大是变量无穷大是变量, ,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆; ;3 3无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量, ,但是无界变但是无界变 量未必是无穷大

3、量未必是无穷大. .)(lim0认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx( 1)=0, 4, 0, 8,0,12,nnn 例如：数列例如：数列是无界的，但并不是无穷大是无界的，但并不是无穷大).n （4 4无穷大是相对而言的概念，和极限过程有关。无穷大是相对而言的概念，和极限过程有关。例如：例如：.0大大极极限限过过程程中中都都不不是是无无穷穷两两个个和和时时是是无无穷穷大大，但但在在在在 xxxex2 2例例 证证明明 xx1lim0. . 即即 Mx1 , , 当当 x0时时, ,恒恒有有Mx 1. . 所所以以取取M1 , , 证证: 得证得证. . Oxyxy1 .)(,0, 0

4、 , 0)(lim00MxfxxMxfxx 有有时时当当 .11lim1 xx证明证明例例证证. 0 M,11Mx 要要使使,11Mx 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就就有有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的垂直渐近线的图形的垂直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy.)(,0, 0 , 0)(lim00MxfxxMxfxx 有有时时当当 二、无穷小二、无穷小定义定义:.)(0)(小小这这个个极极限限过过程程中中是是无无穷穷在在，则则称称函函数数的的极极限限为为函函数数极极限限过过程程中中时时如如果果当当自自变变量

5、量趋趋于于某某个个xfxf例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时时的的无无穷穷小小是是当当数数列列 nnn留意：留意：1 1无穷小是变量无穷小是变量, ,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆; ;2 2零是可以作为无穷小的独一的数零是可以作为无穷小的独一的数. .3 3无穷小也是相对而言的，也和自变量无穷小也是相对而言的，也和自变量 的变化过程有关的变化过程有关. .1、在同一极限过程中，两个无穷小的和仍是无穷小。、在同一极限过程中，两个无穷小的和

6、仍是无穷小。0)(lim, 0)(lim xgxf即即 . 0)()(lim xgxf三、无穷小的运算性质三、无穷小的运算性质定理定理)(.)()(lim7900PxxAxfAxfxx时是无穷小时是无穷小当当函数函数 证略证略. .推论推论 在同一极限过程中有限个无穷小的和仍是在同一极限过程中有限个无穷小的和仍是 无穷小无穷小. .留意无穷多个无穷小的和未必是无穷小留意无穷多个无穷小的和未必是无穷小. .此定理阐明极限的概念可以由无穷小概念来论述此定理阐明极限的概念可以由无穷小概念来论述例例).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无穷穷多多个个无无穷穷小小之之和和时时, n222221

7、lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限. .3 3、有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小、有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小. .2 2、在同一极限过程中，有限个无穷小的乘积依、在同一极限过程中，有限个无穷小的乘积依然是无穷小然是无穷小. .例例01arctanlim0 xxx01coslim0 xxx0 . 例例.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxxxxysin 注：无穷大不具有类似的一些性质注：无穷大不具有类似的一些性质

8、.四、无穷大和无穷小的关系四、无穷大和无穷小的关系)()(10)()()(1)(80Pxfxfxfxfxf是是无无穷穷大大。，则则且且是是无无穷穷小小，是是无无穷穷小小；反反之之，函函数数则则函函数数是是无无穷穷大大，如如果果函函数数同同一一极极限限过过程程中中在在自自变变量量的的 定理定理倒数关系倒数关系此定理阐明关于无穷大的讨论都可以归结为无穷小的讨论此定理阐明关于无穷大的讨论都可以归结为无穷小的讨论. .证：证：.11lim1 xx证明证明例例0)1(lim1 xx 11lim1xx例：例：.212lim230 xxxxx 求求解：解：010122lim320 xxxxx.212lim2

9、30 xxxxx例：例：.)()()()(00为为无无穷穷大大时时证证明明当当为为有有界界函函数数，为为无无穷穷大大，时时已已知知当当xgxfxxxgxfxx 证：证：， )(lim0 xfxx. 0)(1lim0 xfxx. 0)(1)(lim)()(lim00 xfxgxfxgxxxx是有界函数，是有界函数，又又)(xg)()(1)(1lim)()(1lim00 xfxgxfxgxfxxxx , 0010 .)()(lim0 xgxfxx例：例：).(lim)(lim11)(001xfxfexfxxx ，求求设设解：解：,1lim0 xx,1lim,lim1010 xxxxee. 011lim)(lim100 xxxexf,1lim0 xx, 0lim10 xxe, 101111lim)(lim100 xxxexf. 110)(lim)(lim00 xfxfxx内容小结：内容小结：1、 无穷大和无穷小的概念无穷大和无穷小的概念. 2、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质在同一极限过程中，两个无穷小的和仍是无穷小；在同一极限过程中，两个