上海市徐汇区2015高二上期末数学试卷解析版副本

1、9 .在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3 ,BD=1 ,则 ABAE =10 .已知Fi、F2是双曲线C：,=1 (a0, b0)的两个焦点,P是双曲线C上一2015-2016学年上海市徐汇区高二(上)期末数学试卷一、填空题(本大题满分 36分)本大题共12小题，每个空格填对得 3分，否则一律得0 分.1 .直线3x-4y - 5=0的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示)2 .若园=(-5, 4),屈=(7, 9),则与 屈同向的单位向量的坐标是 .3 .若线性方程组的增广矩阵为| 解为T，则a+b=.5忆I nl4 .行列式中2 5 k 中兀素-3的代数余子式的值为 7,则k

2、=. 45 .以点P (3, 4)和点Q ( - 5, 6)为一条直径的两个端点的圆的方程是 .6 .若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2-4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为.7 .在4ABC中，|AB| =3, | BC|=7, | CA|=5,则尿|在同方向上的投影是 目=(2, - 1),贝u k=8 .已知双曲线kx2-y2=1的一条渐进线的方向向量点，且 画，画, 若PFiF2的面积为16,则b=11 .若点。和点F分别为椭圆 1+y2=1的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意一点，则 2| OP| 2+| PF| 2的最小值为 .12 .在平面直角坐标系中，两个动圆均过点

3、A (1, 0)且与直线l: x=- 1相切，圆心分别为C1、C2,若动点M满足2应小后可+后耳则M的轨迹方程为.二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.13.al bia 2 b 是方程组x+b =C a? x+b 2yHe&有唯一解”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条C.充要条件D.既不充分又不必要条件14 .某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()际=0, 5=0A. 4 B. 5 C. 6 D. 715 .已知集合 P= (x, y) | x|+2|y|=5, Q= (x, y) | x2+y2=5,则集合 PAQ 中元素的

4、个数是()A. 0 B. 2 C. 4 D. 816 .已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=-x (a0, b0),若双曲线上有Lal一点M (x0, y0),使b|x0|va|y0,则该双曲线的焦点()A .在x轴上B .在y轴上C.当ab时，在x轴上 D.当ab时，在y轴上三、解答题(本大题满分 48分)本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.17 .已知：日后、口是同一平面内的三个向量，其中 值=(1,2)若|自二2近且/日求1的坐标;(2)若1. =匕1且0+2日与2|- m垂直，求三与匕的夹角9.18 .已知直线l经过点P ( - 2,旧)，并且与直线l0：

5、 X-近|y+2=o的夹角为,求直线 l的方程.19.如图所示,A (2口， 0)、B、C是椭圆E:(a b 0)上的三点,BE椭圆E的中心且斜率为1,椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形.(1)求椭圆E的方程;(2)求4ABC的面积.20 .如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,双曲线的左右顶点 A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点.(1)求双曲线的方程；(2)记双曲线的左、右焦点为Fi、F2,试在封闭区域的边界上求点P,使得/

6、F1PF2是直角.21 .对于曲线C： f (x, y) =0,若存在非负实常数 M和m,使得曲线C上任意一点P (x, y)有mW | OP| 0),求曲线C的外确界与内确界.2015-2016学年上海市徐汇区高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析、填空题(本大题满分 36分)本大题共12小题，每个空格填对得 3分，否则一律得0 分.1 .直线3x-4y - 5=0的倾斜角的大小为arctag(结果用反三角函数值表示)【考点】直线的倾斜角.【分析】根据所给的直线3x-4y-5=0,得到直线的斜率时 目，直线的斜率是倾斜角的正切, 得到tan炉同，虻0,兀，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数

7、的值域确定结果.【解答】 解：二直线3x-4y-5=0,，直线的斜率时直线的斜率是倾斜角的正切,tan = 同， 0,., ,皿吨， 故答案为：arctaj|.2 .若口= (-5, 4),同=(7, 9),则与 屈同向的单位向量的坐标是平行向量与共线向量.根据坐标运算求出向量屈，再求与 屈同向的单位向量AB解：:同二.5，4),同二(7, 9),(12, 5), 10=7122+52=13;，与届同向的单位向量的坐标为12513，13).故答案为：(12513， 13)3.若线性方程组的增广矩阵为,解为,则 a+b=2【考点】几种特殊的矩阵变换.【分析】根据增广矩阵的定义得到l! K二彳是方

8、程组的解，解方程组即可.则 a+b=1 +1=2,故答案为：2.+5产+(” 6产画.i J：一 m4.行列式中2 5 k 中兀素-3的代数余子式的值为 7,则k= 3|1 4_J【考点】三阶矩阵.mi【分析】由题意可知求得Ai2=-.=k+4,代入即可求得k的值.1 一 26 - 3 1【解答】 解：由题意可知：设 A= 2 5 k , 1 4 - E元素-3的代数余子式A12= - | 2卜女+4，-k+4=7,1. k=3 ,故答案为：3.5.以点P (3, 4)和点Q ( - 5, 6)为一条直径的两个端点的圆的方程是(x+1) 2+2-5) =17 .【考点】圆的标准方程.【分析】由

9、中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径，由此能求出圆的方程.【解答】 解：二点P (3, 4)和点Q ( - 5, 6),1,5),以点P (3, 4)和点Q ( - 5, 6)为一条直径的两个端点的圆的圆心为(-，圆的方程为：(x+1) 2+ (y-5) 2=17.故答案为：(x+1) 2+ (y-5) 2=17.6,若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2-4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为x= - 2 .【考点】抛物线的标准方程；圆的一般方程.【分析】由已知得抛物线的焦点 F (2, 0),由此能求出该抛物线的准线方程.【解答】解：二顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y

10、2-4x=0的圆心重合，抛物线的焦点 F (2, 0),.该抛物线的准线方程为 x=-2.故答案为：x= - 2.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】利用余弦定理求出A ,则以与固的夹角为兀-A.解：cosA=b2+c2 a2bc2X5X3，同在何方向上的投影是|同|?cos (兀-A) =3x故答案为I,8 .已知双曲线kx2-y2=1的一条渐进线的方向向量 = (2, - 1),则k=1【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率，建立方程求出【解答】解：.双曲线kx2-y2=i的渐近线的一条渐近线的方向向量值=(2, - D,.渐近线的斜率为或=目，故答案为:9 .

11、在正三角形 ABC中，D是BC上的点，AB=3, BD=1 ,则平面向量数量积的运算.利用向量的加法法则化AD=AB + BL,展开后利用数量积运算得答案.【分析】7.在4ABC中，|AB| =3, | BC|=7, | CA|=5,则屉|在园方向上的投影是.二屈疝卜向(十而)卜后虹1瓦卜 倡51印代福、前故答案为:15T10.已知Fl、F2是双曲线C：b2=1 (a 0, b0)的两个焦点，P是双曲线C上一点,且恒,若PF1F2的面积为16,则b= 4 .双曲线的简单性质.PF1F2中，由勾股定理及双曲线的定义，PF1F2面积为16,即可求出解：设 |PF1|二m, IPF2I =n,西至,

12、 得/ F1 PF2=90,m2+n2=4c2, PF1F2 的面积为 16,mn=321- 4a2= ( m - n) 2=4c2- 64,b2=c2- a2=16, b=4.故答案为：4.11 .若点。和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意一点,|OP| 2+| PF| 2的最小值为 2 .【考点】椭圆的简单性质.【分析】先求出左焦点坐标 F,设P (x, y),根据P (x, y)在椭圆上可得到式，表示出| OP| 2+| PF| 2,再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案.X、y的关系【解答】解：由题意，F ( - 1, 0),设点P (x, y),则

13、有+y2=1,解得 y2=1因为 | OP| 2+| PF| 2=x2+y2+ (x+1) 2+y2=x2+ (x+1) 2+2 - x2= (x+1) 2+2,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x= - 1,|OP|2+|PF|2的最小值为2.故答案为：2.12 .在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A (1, 0)且与直线l： x=- 1相切,圆心分别为C1、C2,若动点M满足2巨J，则M的轨迹方程为y2=2x - 1【考点】轨迹方程.,确【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x,利用2m定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程.【解答】 解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程

14、为y2=4x,设 Cl (a, b), C2 (m, n), M (x, y),则, 2 (x- m, y - n) = (a- m, b - n) +(1- m, - n),，2x=a+1, 2y=b,a=2x - 1, b=2y ,; b2=4a,1 ( 2y) 2=4 (2x-1),即 y2=2x-1.故答案为：y2=2x - 1.二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.氏bl3 2 b 2*A .充分不必要条件B.必要不充分条C.充要条件D.既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据两直线间的位置关系，从而

15、得到答案.一 .,lal bl，【解答】解：由D二产Ca1 b2*a2 b1,有唯一解,14.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是(直线ax+b1y=c1和直线a2x+b2y=C2不平行, ?方程组 故选：C.A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【考点】程序框图.k的值,PHQ中元素的16.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=x (a0,b0),若双曲线上有【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】 解：当S=0时，满足继续循环的条件，故 S=1, k=1 ;当S=1时，满足

16、继续循环的条件，故 S=3, k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故 S=11, k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059, k=4;当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4,故选：A15.已知集合 P= (x, y) | x|+2|y|=5, Q= (x, y) | x2+y2=5,贝U集合个数是()A. 0 B. 2 C. 4 D. 8【考点】交集及其运算.【分析】做出P与Q中表示的图象，确定出两集合的交集，即可做出判断.【解答】解：对于P中|x|+2|y|=5,当 x0, y0 时，化简得：x+2y=5；当 x0, y0 时，化简得：x-2y=5;当

17、x0 时，化简得：-x+2y=5；当 x0, yb时，在x轴上 D.当ab时，在y轴上 【考点】双曲线的简单性质.【分析】利用题设不等式，令二者平方,【解答】解： a| yo| b| x0| 0整理求得2 x0 a0,即可判断出焦点的位置.故选：B.三、解答题（本大题满分 48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.17.已知：口田、自是同一平面内的三个向量，其中 值=（1, 2）若1日=2近，且3日求郎坐标；若耻图,且】+唱与2图-由垂直，求g与何的夹角【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积 表示两个向量的夹角.y - 2 x=

18、0 -【分析】（1）设节工 训由| 口|=2近，且R/同知。,由此能求出口的坐II/ + T :20|标.（2）由知|（W+2E）（2l E）二d，整理得匕三国，故,由此能求出口与RI的夹角9.【解答】解：（1）设y）, - |金二2西，且上/至y- 2x=0x2+y =20故二(2, 4)或黑(2, -4)|(2) (a+2b)l(2a- b)（a+2b）2 曰一b）工，即|2+30E-灰？工，52X5+3a-b - 2X-c，整理得阶弓二II,cos 8 二1，?一 一 I al I b I又二族0,可，0=兀.18.已知直线l经过点P （ - 2,因），并且与直线10： x-近|y+2=

19、0的夹角为 三，求直线1的方程.【考点】两直线的夹角与到角问题.【分析】根据条件求出直线1的倾斜角，可得直线1的斜率，再用点斜式求得直线 1的方程.由于直线解：由于直线10： x - Hy+2=0的斜率为1和直线10： x-吏y+2=0的夹角为,故直线1的倾斜角为也，故它的倾斜角为 3故直线1的斜率不存在或斜率为-再根据直线1经过点P （ -2,以），可得直线1的方程为x=-2,或y -3(x+2),即 x= - 2,或 x+由y - 1=0 .19.如图所示，A （203，0）、B、C是椭圆E：-7=1 (a b 0)上的三点, b2BC过椭圆E的中心且斜率为1,椭圆长轴的一个端点与短轴的两

20、个端点内构成正三角形.(1)求椭圆E的方程;(2)求4ABC的面积.【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.【分析】(1)由题意可得a=2近，再由正三角形的条件可得 a=Tb,解得b,进而得到椭 圆方程；(2)由题意写出 A点坐标，直线CB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点C、B的纵坐标,S*A ABC =I OA| ?|yBycl ,代入数值即可求得面积.解：(1) A的坐标为(2近0),即有a=2T,椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形,可得a=Plb解得b=2,则椭圆E的方程为(2)直线BC的方程为y=x,代入椭圆方程x2+3y2=i2,得y=x=&q,SAABC =

21、微 oa|?Wyc| =近0, b0),b2b2=1，且 a=2,解得 b=2；所以双曲线的方程为2-L=1；4（2）双曲线的左、右焦点为 F1（- 2近，0）, F2（2超，0）, 若/ F1PF2是直角，设点 P （x, y）,则有x2+y2=8,解得 x2=6, y2=2;解得y=1 （不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（土近固）和（土近-近）.21 .对于曲线C：f（x,y）=0,若存在非负实常数M和m,使得曲线C上任意一点P（x,y）有mW | OP| 0）,求曲线C的外确界与内确界.【考点】曲线与方程.【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；（2）由题意求出曲