高中数学竞赛辅导第一讲集合概念及集合上的运算

1、高中数学竞赛辅导第4讲集合概念及集合上的运算(1)高中一年级数学(上)(试验本)课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件(或具有某种性质)的对象集中在一起就成为一个集合在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背 景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目I.集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集合之间的

2、基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高 中数学竞赛题.请看下述几例.31 3 1例1 ：求点集( x, y) 11g(x y ) lg x 1g y中元素的个数.39【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之1 。 1【略解】由所设知x 0,y 0,及x3 1V 1 xy,39由平均值不等式，有x3 1y3 1 33 (x3) (1 y3) (1) xy,当且仅当x3 y3，即x 31, y 3口(虚根舍去)时，等号成立39. 93故所给点集仅有一个元素.【评述】此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌 握之.例 2:已知 A y | y x2 4x 3,

3、x R, B y | yx2 2x 2, x R求 A B.【略解】y (x 2)2 1 1,又 y (x 1)2 3 3.A=y|y 1, B y|y 3,故 AB y| 1 y 3.【评述】此题应避免如下错误解法：联立方程组y x2 4x 3,29消去y,2x2 2x 1 0.因方程无实根，故 A B .y x2 2x 2.这里的错因是将 A、B的元素误解为平面上的点了 .这两条抛物线没有交点是实数 .但这不是抛物线的值域.例3：已知集合 A (x,y)|x| |y| a, a 0, B(x, y川 xy| 1 |x| |y|.若A B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为【略解】

4、点集A是顶点为(a, 0), (0, a), (a, 0)(0, a)的正方形的四条边构成 (如图I 1 11).将 |xy | 1 |x| |y|,变形为(|x| 1)(|y| 1) 0,所以，集合 B 是由四条直线x 1,y1构成.欲使A B为正八边形的顶点所构成，只有 a 减1 a 2这两种情况.(1)当a 2时，由于正八形的边长只能为2,显然有J2a 2J2 2,故a 2 J2 .(2)当1 a 2时，设正八形边长为l,贝M cos45这时，a 1 -2.2综上所述，a的值为2 J2或J2,如图 I 1 11 中 A(V2,0), B(2 V2,0).2 l,l2/2 2,【评述】上述

5、两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法H.集合之间的基本关系充分应用集合之间的基本关系(即子、交、并、补) 综合题.请看下述几例.,往往能形成一些颇具技巧的集合例 4：设集合 A n|n Z, B n |n Z, C在下列关系中，成立的是1n 1 ,、n -|n Z, D - -|n Z,则23 6( )A. A B C DB. A B ,C DC. A B C,C DD. A B B,C D【思路分析】应注意数的特征，即【解法1】 . A n|n Z, B1 n -2n|n2n 1 n 1 2n 1,，-,n Z.23 661nZ,C n i|n

6、 Z, D n 2361n Z, A B C,CD.故应选 C.【解法2】如果把A、B、C、D与角的集合相对应，令A 或1n Z,B n |n Z,C n -|n Z，d 4-|n Z.结论仍然不变，显然 A'为终边在坐标轴上的角的集合，B'为终边在x轴上的角的集3合，C为终边在y轴上的角的集合，D 为终边在y轴上及在直线y一 x上的角的集3合，故应选(C).【评述】解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解 例5：设有集合 A x|x2 x 2和B x|x| 2,求A B和A B (其中x表示不

7、超过实数x之值的最大整数).【思路分析】应首先确定集合A与B.从而 1 x 2.显然,2 A.A B x| 2 x 2.若 x A B,则x2x 2,x 1,0, 1, 2,从而得出 x J3(x 1)或x 1(x1).于是 A B 1,73【评述】此题中集合 B中元素x满足“ |x|<3"时，会出现什么样的结果，读者试解之例 6：设 f(x) x2 bx c(b,c R),且A x | xf (x), x R, B x | x ff(x), x R,如果A为只含一个元素的集合，则 A=B.【思路分析】应从 A为只含一个元素的集合入手，即从方程f(x) x 0有重根来解之.【略

8、解】设A |R,则方程f(x) x 0有重根，于是f(x) x (x )2,f (x)(x )2x.从而xff(x),即 x(x)2 (x )2 (x )2 x,整理得(x)2(x1)2 1 0,因x,均为实数(x 1)21 0,故x .即 B A.【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化为一般方程来解之例 7：已知 M (x, y)|y x2, N (x, y) |x2 (y a)2 1.求M N N 成立时，a 需满足的充要条件.【略解】M N N N M.由 x2 (y a)2 1 得x2y y2 (2a 1)y (1 a2).于是,若 y2 (2a 1)y (1 a2) 0必有y x2

9、,即N M .而成立的条件是y max2_24(1 a ) (2a 1)01即 4(1 a2) (2a 1)2 0,解得 a 1-.4将问题转化为不等式问题来求解【评述】此类求参数范围的问题，应注意利用集合的关系,例8：设A、B是坐标平面上的两个点集，Cr (x,y)|x2 y2 r2.若对任何r 0都有CrA Cr B,则必有A B.此命题是否正确？【略解】不正确.反例：取A ( x,y) | x2 y2 1, B为A去掉(0, 0)后的集合容易看出Cr A Crb“Ha不包含在B中.【评述】本题这种举反例判定命题的正确与否的方法十分重要，应注意掌握之m.有限集合中元素的个数有限集合元素的个

10、数在课本P23介绍了如下性质：一般地，对任意两个有限集合 A、B,有card (A B) card (A) card (B) card (A B).我们还可将之推广为：一般地，对任意n个有限集合 A1, A2, ,An,有card ( AiA2A3AmAn)card (A1) card(A2) card (A3)card (An) card(AA2) card( A1A3)card (A1An)card (An1An)card (A AA3)card (A 2An1An)(1)n 1 card(A1A3An).应用上述结论，可解决一类求有限集合元素个数问题【例9】某班期末对数学、物理、化学三科

11、总评成绩有21个优秀，物理总评19人优秀，化学总评有20人优秀，数学和物理都优秀的有9人，物理和化学都优秀的有7人，化学和数学都优秀的有8人，试确定全班人数以及仅数字、仅物理、仅化学单科优秀的人数范围(该 班有5名学生没有任一科是优秀).【思路分析】应首先确定集合，以便进行计算.【详解】设A=数学总评优秀的学生, B=物理总评优秀的学生 , C=化学总评优秀的学生. 则 card(A) 21,card (B) 19,card(C) 20,card (A B) 9,card (B C) 7, card (C A) 8.card (A B C) card (A) card (B) card (C)

12、 card (A B) card (B C) card (C A)card (A B C),. card (A B C) card (A B C) 21 19 20 9 8 36.card (A B C)是这这里，card (A B C)是数、理、化中至少一门是优秀的人数,三科全优的人数.可见，估计card (A BC)的范围的问题与估计 card (A B C)的范围有关.注意到 card (A B C) mincard (A B), card(B C), card (C A) 7 ,可知0 card (A B C) 7.因而可得 36 card (A B C) 43.又. card (A

13、B C) card(ABC) card (U ),其中 card (ABC) 5.41 card(U ) 48.这表明全班人数在 4148人之间.仅数学优秀的人数是 card (A BC).card (A B""C) card (A B C) card(B C) card (A B C) card(B) card (C) card (B C) card (A B C) 32.可见 4 card (ABC) 11,同理可知 3 card (B AC) 10,5 card (C B A) 12.故仅数学单科优秀的学生在411之间，仅物理单科优秀的学生数在310之间，仅化学单科优

14、秀的学生在 512人之间.【评述】根据题意，设计这些具有单一性质的集合，列出已知数据，并把问题用集合中元素 数目的符号准确地提出来，在此基础上引用有关运算公式计算，这是解本题这类计数问题的 一般过程.针对性练习题1 .设S=1, 2,，n, A为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S中，且添加S的其他元素于 A后均不能构成与 A有相同公差的等差数列.求这种A的个数，(这 里只有两项的数列也看做等差数列)2 .设集合Sn=1 , 2,，n,若X是Sn的子集，把X中的所有数的和为 X的“容量”.(规 定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数，则称 X为Sn的奇(偶)子集.(1)求证：Sn的奇子集与偶子集个数相等.(2)求证：当n 3时，Sn的所有奇子集的容量之和与所有偶子集的容量之和相等(3)当n 3时，求Sn的所有奇子集的容量之和.3 .设M=1 , 2, 3,，1995, A是M的子集且满足条件：当 X A时，15x A ,则A 中元素的个数最多是多少个 .14 .集合x| 1 log110-,x N*的真子集的个数是多少个?