电磁场与电磁波(第1章)

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波理论基础理论基础 成绩：平时（成绩：平时（3030）+ +考试考试7070（闭（闭卷）卷）前言前言 1 1、电磁场与电磁波理论的发展。、电磁场与电磁波理论的发展。2 2、学习、学习电磁场与电磁波理论电磁场与电磁波理论的意义。的意义。 （1 1）、是电子、气信息类专业必修的一门专业基础课程；）、是电子、气信息类专业必修的一门专业基础课程； （2 2）、电磁场与电磁波技术已遍及人类的科学技术、政治）、电磁场与电磁波技术已遍及人类的科学技术、政治、经济、军事、文化以及日常生活的各个领域。、经济、军事、文化以及日常生活的各个领域。家用方面：电磁炉，微波炉。军用方面：雷达、卫

2、星通信。家用方面：电磁炉，微波炉。军用方面：雷达、卫星通信。另外还有磁悬浮列车、汽车的另外还有磁悬浮列车、汽车的GPS、喷墨打印机等等、喷墨打印机等等 。最主要的也是现在应用的最频繁的当然是用于通信了，比如手机信号等就最主要的也是现在应用的最频繁的当然是用于通信了，比如手机信号等就是电磁波。是电磁波。 先修课程：先修课程：高等数学高等数学、大学物理大学物理 课程的内容及学时分布：课程的内容及学时分布：第三章第三章 介质中的介质中的麦克斯韦方程麦克斯韦方程 （8 8学时）学时）第五章第五章 静态场的解静态场的解 （6 6学时学时) )第四章第四章 矢量位与标量位矢量位与标量位 （2 2学时）学时

3、）第六章第六章 自由空间中的电磁波自由空间中的电磁波 （8 8学时）学时）第七章第七章 非导电介质中的电磁波非导电介质中的电磁波 （4 4学时）学时）第一章第一章 矢量分析矢量分析 （8 8学时）学时）第二章第二章 电场、磁场与麦克斯韦方程电场、磁场与麦克斯韦方程 （8 8学时）学时）教材：教材：电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础刘岚刘岚 胡钋胡钋 黄秋元黄秋元 胡耀祖胡耀祖 编编 武汉理工大学出版社武汉理工大学出版社 20062006参考书：参考书：1.1.电磁场与电磁波理论基础电磁场与电磁波理论基础学习指导与习题解答学习指导与习题解答 刘岚、黄秋元、胡耀祖、程莉编刘岚、黄秋元、胡

4、耀祖、程莉编. . 武汉理工大学出版社，武汉理工大学出版社，200920092.2.电磁场与电磁波电磁场与电磁波谢处方，饶克谨编谢处方，饶克谨编. 高等教育出版社，高等教育出版社，200220023.3.电磁场与电磁波典型题解析及自测试题电磁场与电磁波典型题解析及自测试题 赵家升主编赵家升主编, ,西北工业大学出版社西北工业大学出版社,2002,20024.4.电磁波理论电磁波理论( (影印版影印版, ,英文英文),J.A.Kong),J.A.Kong编编 高等教育出版社，高等教育出版社，20022002第第1 1章章 矢量分析矢量分析(Vector Analysis) 重点重点：1. 1.

5、标量、矢量，标量场、矢量场标量、矢量，标量场、矢量场3. 3. 通量与散度通量与散度 2. 2. 矢量的运算，坐标系矢量的运算，坐标系4. 4. 环量与旋度环量与旋度5. 5. 方向导数与梯度方向导数与梯度 7. 7. 斯托克斯定理斯托克斯定理 6. 6. 高斯散度定理高斯散度定理 8. 8. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 1.1 矢量代数矢量代数1.1.标量标量 只有大小，不包含方向的物理量叫做标量只有大小，不包含方向的物理量叫做标量(Scalar) (Scalar) 。如：温度、电位、能量、长度、时间等。如：温度、电位、能量、长度、时间等。 既有大小，同时又包含方向的物理量称为矢量既有大小，同

6、时又包含方向的物理量称为矢量(Vector) (Vector) 。如：力、速度、加速度等。如：力、速度、加速度等。 矢量矢量根据国家有关符号使用标准，印刷时使用黑斜根据国家有关符号使用标准，印刷时使用黑斜体字母来表示矢量。书写时，矢量表示为体字母来表示矢量。书写时，矢量表示为 。 A矢量的大小矢量的大小称为矢量的模称为矢量的模矢量的方向矢量的方向称为单位矢量称为单位矢量 矢量的表示矢量的表示矢量的表示矢量的表示 在三维空间中在三维空间中在一维坐标系中矢量表示为在一维坐标系中矢量表示为aAA e矢量的模矢量的模表示矢量的方向表示矢量的方向分别为矢量在笛卡儿坐标系中的分别为矢量在笛卡儿坐标系中的x

7、 x轴分量、轴分量、xAyAzAy y轴分量和轴分量和z z轴分量。轴分量。2.矢量的代数运算矢量的代数运算 l矢量的加法和减法矢量的加法和减法 （平行四边形法则）（平行四边形法则）设设两矢量进行标积后的结果变成了无方向性的两矢量进行标积后的结果变成了无方向性的矢量的标积矢量的标积 （Scalar ProductScalar Product）则则数量值数量值 !物理意义物理意义 如果作用在某一物体上的力为如果作用在某一物体上的力为 ，当，当 A A 使该物体发生位移时，位移矢量为使该物体发生位移时，位移矢量为 ，则，则 表示表示力力 使物体位移所作的功。使物体位移所作的功。 B A B A 为

8、矢量为矢量 与矢量与矢量 之间的夹角之间的夹角 设设两矢量进行矢积后的结果仍为矢量两矢量进行矢积后的结果仍为矢量矢量的矢积矢量的矢积 （Vector Product）则则为矢量为矢量 与矢量与矢量 之间的夹角之间的夹角 其方向符合右手法则。其方向符合右手法则。()()()yzzyxzxxzyxyyxzABA BA BeA BA BeA BA Be上式可上式可记为记为xyzxyzxyzeeeABAAABBB注注矢积的几何意义矢积的几何意义 以两矢量为邻边所围成的平以两矢量为邻边所围成的平行四边形的面积为矢积的大小，行四边形的面积为矢积的大小，以该平行四边形的法向为矢积的以该平行四边形的法向为矢积

9、的方向。方向。 sinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB注意几个问题注意几个问题: :1.1.矢量与标量不能相等矢量与标量不能相等; ;2.2.两矢量标积两矢量标积( (点积点积) )结果为标量结果为标量; ;3.3.两矢量矢积两矢量矢积( (叉积叉积) )结果为矢量结果为矢量, ,并且该矢量并且该矢量垂直于原来两个矢量组成的平面垂直于原来两个矢量组成的平面; ;4.4.两矢量作乘法两矢量作乘法, ,中间必须有符号中间必须有符号; ;05.5.两矢量的夹角两矢量的夹角: : 在火炉、暖气片等热源周围空间的每一点上，在火炉、暖气片等热源周围空间的每一点上，都存在着温度的某种分布，于是我

10、们就说空间存在都存在着温度的某种分布，于是我们就说空间存在着温度场；在电荷周围各点，存在对电荷得作用力，着温度场；在电荷周围各点，存在对电荷得作用力，我们就说电荷周围有电场等等。我们就说电荷周围有电场等等。 温度场是标量场，温度场是标量场，电场是矢量场。电场是矢量场。3. 3. 标量场与矢量场标量场与矢量场 在电磁场中，若描述场的物理量随时间变化，在电磁场中，若描述场的物理量随时间变化，则将场称为时变场。而当描述场的物理量与时间无则将场称为时变场。而当描述场的物理量与时间无关时，就将场称为静态场。关时，就将场称为静态场。 “场场”是指某种物理量在空间的分是指某种物理量在空间的分布布场场标量场标

11、量场矢量场矢量场具有标量特征的物理量在空间的分布具有标量特征的物理量在空间的分布具有矢量特征的物理量在空间的分布具有矢量特征的物理量在空间的分布 在直角坐标系中，空间任意一点在直角坐标系中，空间任意一点P P的位置可以用三个相互独立的变量的位置可以用三个相互独立的变量, , ,表示表示, ,记为记为P(xP(x0 0,y,y0 0,z,z0 0).).它们的变化范围分别是：它们的变化范围分别是： 。 1.2 1.2 正交坐标系正交坐标系 (Quadrature Coordinate system(Quadrature Coordinate system） 考虑到被研究的物理量的空间分布及其变化

12、规律不同，考虑到被研究的物理量的空间分布及其变化规律不同，或物体的几何形状不同等等，可采用直角坐标系、圆柱坐标或物体的几何形状不同等等，可采用直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系，这是最常用的三种正交坐标系。系和球坐标系，这是最常用的三种正交坐标系。1.1.直角坐标系直角坐标系( (笛卡儿坐标系笛卡儿坐标系) )点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeye 任意一点的单位矢量亦即三个坐标轴的单位矢量，因任意一点的单位矢量亦即三个坐标轴的单位矢量，因为它们处于正交坐标系中，因此，它们相互垂直并遵循右

13、为它们处于正交坐标系中，因此，它们相互垂直并遵循右手螺旋法则，即手螺旋法则，即 xyzyzxzxyeeeeeeeee0 xyyzzxeeeeee1xxyyzzeeeeee 在直角坐标系中，空间任一点在直角坐标系中，空间任一点 P P 的位置可用一矢量来的位置可用一矢量来表示，即表示，即 xyzxxyyzzOPAe xe ye ze Ae Ae A XZYP(x,y,z)0A在直角坐标系下，任意矢量的线元可表示为在直角坐标系下，任意矢量的线元可表示为 在直角坐标系下，任意曲面上的面元可表示为在直角坐标系下，任意曲面上的面元可表示为 在直角坐标系下，任意体积元可表示为在直角坐标系下，任意体积元可表

14、示为 xyzdldxedyedzexxyyzzdSdydzedSdxdzedSdxdyedVdxdydzx yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd 在圆柱坐标系中，空在圆柱坐标系中，空间任一点间任一点P P可用可用r, r, ,z,z三个坐标变量来表示，三个坐标变量来表示，P P点的位置在圆柱坐标系下点的位置在圆柱坐标系下可写为可写为P P（r r0 0, , 0 0 ,z,z0 0）。三个变量。三个变量r, r, ,z ,z的的变化范围分别是：变化范围分别是：0 0 r r 0 0 2

15、2 2.2.圆柱坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系的三个变量的单位矢量分别是圆柱坐标系的三个变量的单位矢量分别是 三个单位矢量的方向？三个单位矢量的方向？ rzeee，它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即 rzzrzreeeeeeeee空间任一点的位置可用单位矢量表示为空间任一点的位置可用单位矢量表示为rzeeeOMArz3.3.球坐标系球坐标系 l球坐标系中，三个坐标球坐标系中，三个坐标变量分别为：变量分别为：R,R,， 这三个变量的变化范围这三个变量的变化范围是：是： 0R0R 0 0 0 0 2 2 yoPQXZ球坐标系的三个变量的单位矢量分别

16、是球坐标系的三个变量的单位矢量分别是 Reee，它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即它们始终保持相互正交，且符合右手螺旋法则，即 RRReeeeeeeee空间任一点的位置可用单位矢量表示为空间任一点的位置可用单位矢量表示为ReeeAR1.3 1.3 矢量函数的通量与散度矢量函数的通量与散度(Flux and Divergence of Vector function(Flux and Divergence of Vector function）1.1.矢量的通量矢量的通量 为了研究矢量场的空间变化情况，我们需要引入矢量场为了研究矢量场的空间变化情况，我们需要引入矢量场的散度的概念。矢量

17、函数的散度是一个标量函数，它表示矢的散度的概念。矢量函数的散度是一个标量函数，它表示矢量场中任意一点处，通量对体积的变化率，即描述了通量源量场中任意一点处，通量对体积的变化率，即描述了通量源的强度。的强度。 在研究电场、磁场时，可用一组曲线来形象地表示矢量在研究电场、磁场时，可用一组曲线来形象地表示矢量场的空间分布，如电场的电力线、磁场中的磁力线等，它们场的空间分布，如电场的电力线、磁场中的磁力线等，它们都是带有方向的线，线上每一点的切线方向代表了这一点处都是带有方向的线，线上每一点的切线方向代表了这一点处矢量场的方向，这样的一些有方向的曲线叫矢量线。矢量场矢量场的方向，这样的一些有方向的曲线

18、叫矢量线。矢量场中每一点都有唯一的一条矢量线通过，线的疏密表示该点矢中每一点都有唯一的一条矢量线通过，线的疏密表示该点矢量场强度的大小。量场强度的大小。 矢量线矢量线 借用矢量线的概念，通量可借用矢量线的概念，通量可以认为是矢量穿过曲面的矢量以认为是矢量穿过曲面的矢量线总数，矢量线也叫通量线，穿线总数，矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负。矢量场出的为正，穿入的为负。矢量场也可称为通量面密度矢量。也可称为通量面密度矢量。 通量的物理意义通量的物理意义通量通量 若若S 为闭合曲面为闭合曲面: : dsAS ：矢量矢量A A沿有向曲面沿有向曲面S 的面积分的面积分 为矢量为矢量 A A 穿过有

19、向曲面穿过有向曲面 S S 的通量的通量dSA S面元矢量：面元矢量： 一个面元除了大小以外，它在空间一个面元除了大小以外，它在空间还有一定的取向，用一个矢量表示面元，取还有一定的取向，用一个矢量表示面元，取一个与面元垂直的单位矢量一个与面元垂直的单位矢量ndSndS （1）开表面上的面元，按右手螺旋法则，前进方向为的）开表面上的面元，按右手螺旋法则，前进方向为的 方向方向n（2）闭合面上的面元，闭合面的外法线方向为的）闭合面上的面元，闭合面的外法线方向为的 方向方向n 0 0 ( (有正源有正源) ) 0 0 ( (有负源有负源) ) = = 0 0 ( (无源无源) )若若S 为闭合曲面为

20、闭合曲面 ，可以根据净通量的大小判断闭，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质合面中源的性质: :dsAS矢量场矢量场为什么讨论为什么讨论散度散度问题问题? ? 矢量场的通量讨论了一定曲面所包围的体积矢量场的通量讨论了一定曲面所包围的体积内场的性质内场的性质, ,即闭合面内是否存在源，但是不能即闭合面内是否存在源，但是不能说明闭合面内每一点的性质，要讨论空间中每说明闭合面内每一点的性质，要讨论空间中每一点场源的分布规律一点场源的分布规律, ,必须引入散度的概念。必须引入散度的概念。2 2、散度、散度 如果包围点如果包围点的闭合面的闭合面 S S所围区域所围区域 V V以任意方式缩小为点以任意

21、方式缩小为点时时, , 通量与体积之比的极限存在，即通量与体积之比的极限存在，即V01divlimVSdAASzAyAxAzyxAAdiv计算公式计算公式 如果此极限存在，则称此极限为矢量场在空间点处的如果此极限存在，则称此极限为矢量场在空间点处的散度（散度（divergencedivergence），记作：），记作：div div 称为称为哈密顿算子，它是一个矢性微分算子，即哈密顿算子，它是一个矢性微分算子，即式中式中zeyexezyx 散度代表矢量场的通量源的分布特性（场中任一散度代表矢量场的通量源的分布特性（场中任一 点场源的分布）点场源的分布） 矢量的散度是一个矢量的散度是一个标量标量

22、，是空间坐标点的，是空间坐标点的函数函数散度的物理意义散度的物理意义（无源）0A（正源）0 A（负源）0 A 在矢量场中，若在矢量场中，若 = = 0 0，称之为有源场，称之为有源场， 称为称为( (通量通量) )源密度；若矢量场中源密度；若矢量场中处处处处 =0=0，称之为无源场。，称之为无源场。AAVSdVdASA 该公式表明了区域该公式表明了区域V V 中场中场A A与边界与边界S S上的场上的场A A之间的关系。之间的关系。SVddV ASA 矢量函数的面积分与体积分的互换。矢量函数的面积分与体积分的互换。SvvdSAA10limdiv 由于由于 是通量源密度，是通量源密度，即穿过包围

23、单位体积的闭合面即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对的通量，对 体积分后，体积分后，即穿出闭合面即穿出闭合面S S的通量的通量AA3 3、高斯公式、高斯公式( (散度定理散度定理) )高斯公式高斯公式意义：任意矢量函数通过一闭合面的通量等于该矢量函数的意义：任意矢量函数通过一闭合面的通量等于该矢量函数的散度对该闭合面所包围的体积的体积分。散度对该闭合面所包围的体积的体积分。22222324xyzAe xe x yex y z A例 求(1) 矢量 的散度; (2) 求对中心在原点的一个单位立方体的积分; (3) 求对此立方体表面的积分,验证散度定理. 解 (1) (2) 对中心在原点的一个单位

24、立方体的积分为 2222232222()()(24)2272xx yx y zAxx yx y zxyz 1/ 21/ 21/ 222221/ 21/ 21/ 21227224Adxx yx y z dxdydzVdVA221/ 21/ 21/ 21/ 21/ 21/ 21/ 21/ 21122sA d Sdydzdydz 221 / 21 / 21 / 21 / 2221 / 21 / 21 / 21 / 2112222xd xd zxd xd z331/ 21/ 21/ 21/ 222221/ 21/ 21/ 21/ 211124242224x ydxdyx ydxdy 故有 A(3)对此

25、立方体表面的积分VSdVdASA1.4 1.4 矢量函数的环量与旋度矢量函数的环量与旋度 ( (Circulation and and rotation of Vector function of Vector function）1.1.矢量的环量矢量的环量 通量和散度是针对具有通量源的矢量场，并用来描述场通量和散度是针对具有通量源的矢量场，并用来描述场中的通量源与场点的关系的。而能够产生矢量场的源除了通中的通量源与场点的关系的。而能够产生矢量场的源除了通量源外，还有一类源，叫旋涡源。要讨论旋涡源所形成的场量源外，还有一类源，叫旋涡源。要讨论旋涡源所形成的场，就需要讨论矢量场的旋度，就需要讨论

26、矢量场的旋度(rotation)(rotation)，而要讨论矢量函数，而要讨论矢量函数的旋度，必须先引入环量的概念。的旋度，必须先引入环量的概念。 矢量矢量A A沿空间有向闭合曲线沿空间有向闭合曲线L L的线积分的线积分cldAC称为矢量称为矢量A A的环量的环量该环量表示绕线旋转趋势的大小。该环量表示绕线旋转趋势的大小。水流沿平行于水管轴线方向流动水流沿平行于水管轴线方向流动C=0C=0，无旋涡运动，无旋涡运动流体做涡旋运动流体做涡旋运动C C 0 0，有产生旋涡的源，有产生旋涡的源例：流速场例：流速场流速场流速场 环量是一个代数量（标量），其大小和正负与矢量场的分环量是一个代数量（标量）

27、，其大小和正负与矢量场的分布有关，而且与所取积分环绕方向有关。布有关，而且与所取积分环绕方向有关。 过点过点P P作一微小曲面作一微小曲面 S S, ,它的边界曲线记为它的边界曲线记为 L L, ,面的法线面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当方与曲线绕向成右手螺旋法则。当 S S点点P P时时, ,存在极限环存在极限环量密度量密度LldSdSdCPS1lim取不同的路径，其环量密度不同。取不同的路径，其环量密度不同。2.2.矢量的旋度矢量的旋度 (1) 环量密度环量密度 该极限值与该极限值与S 的形状无关，但与的形状无关，但与S的方向的方向n 有关有关。称为。称为矢量场矢量场 在在P 点沿点

28、沿n 方向的方向的环量密度。环量密度。A 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。方向为最大环量密度的方向。AArot 2.2.矢量的旋度矢量的旋度 (2) 旋度旋度在直角坐标系下在直角坐标系下zyxzyxzyxAAAeeeArot()()()yyzxzxxyzAAAAAAAAeeeyzzxxy 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 点点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。的旋度的方向是该点最大环量

29、密度的方向。 旋度的物理意义旋度的物理意义旋度的重要性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于旋度的重要性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于0 0()0A 若矢量场处处若矢量场处处 ，称之为无旋场。称之为无旋场。0A 在矢量场中，若在矢量场中，若 ,称之为旋度场称之为旋度场( (或涡旋场或涡旋场) )， J 称为旋度源称为旋度源( (或涡旋源或涡旋源) )；0AJ 旋度旋度是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此 在电磁场理论中，在电磁场理论中，GaussGauss定理和定理和 StockesStockes定理是两个非常定理是两个非常重要的定理。重要的

30、定理。 矢量函数的线积分与面积分的互换矢量函数的线积分与面积分的互换 该公式表明了区域该公式表明了区域S S中场中场A与边界与边界L L上的场上的场A之间的关系之间的关系 (3)斯托克斯斯托克斯(Stockes)定理定理SAAdldSl)( StockesStockes定定理理A 求矢量 正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合.再求对此回路所包围的表面积分,验证斯托克斯定理.沿xy平面上的一个边长为2的222220000208cA dlxdxxdxdydy2222xyzxzeeeAey zexxyzxxyz 2200(22 )8xzzsA d Seyzexe dxdy 8cs

31、A d lA d S 解 又 所以 故有 1.7 1.7 亥姆霍亥姆霍兹兹定理定理( (Helmholtz s TheoremHelmholtz s Theorem) ) 1.矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋度却是一个矢量函数度却是一个矢量函数 。散度和旋度的比较散度和旋度的比较 2.散度表示场中某点的通量密度，它是场中任一散度表示场中某点的通量密度，它是场中任一点通量源强度的量度；而旋度表示场中某点的最大环点通量源强度的量度；而旋度表示场中某点的最大环量强度，它是场中任一点处旋涡源强度的量度。量强度，它是场中任一点处旋涡源强度的量度。 通过比较

32、说明通过比较说明 散度表示矢量场中各点的场与通量源的关系，散度表示矢量场中各点的场与通量源的关系，而旋度表示场中各点场与旋涡源的关系。因此，场而旋度表示场中各点场与旋涡源的关系。因此，场的散度和旋度一旦给定，就意味着场的通量源和旋的散度和旋度一旦给定，就意味着场的通量源和旋涡源就确定了。既然场总是由源所激发的，通量源涡源就确定了。既然场总是由源所激发的，通量源和旋涡源的确定便意味着场已确定，因而可得出下和旋涡源的确定便意味着场已确定，因而可得出下述亥姆霍兹定理给出的结论。述亥姆霍兹定理给出的结论。 在有限区域内，矢量场由它的在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度散度、旋度及及边边界条件界条件唯一

33、地确定。唯一地确定。已知已知矢量矢量A的通量源密度的通量源密度矢量矢量A的旋涡源密度的旋涡源密度场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电荷密度电荷密度 电流密度电流密度J场域边界条件场域边界条件（矢量（矢量A唯一地确定）唯一地确定） 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 矢量场可以根据散度和旋度分为：无旋场、无源场和有矢量场可以根据散度和旋度分为：无旋场、无源场和有旋有源场。旋有源场。 （1）无旋场）无旋场 （2）无源场）无源场 （3）有旋有源场）有旋有源场0F0F矢量场的分类矢量场的分类0F场场 中每一点上有中每一点上有F0 F场场 中每一点上有中每一点上有F例：判断矢量场的性质例：判断矢量场的性

34、质?FF?FF?FF=0 0=0=0=0 02xyAexex y222xyaA 2ccA d lxdxxy dy4224220(cos sincossin)4aaadyxzzssAAA d See dSxy 4222200sin4asay dSrrd dr 求矢量 沿圆周的线积分,再计算对此圆面积的积分. 解 转换到球坐标系下 xyEeyex1(2,1,1)p2(8,2, 1)pEd l22xyxycccE dlE dxE dyydxxdy2222211(2)2614ydyy dyy dy1(2,1,1)p2(8,2,1)p2812xxyy640 xy21(64) (64)xyccE dlE

35、dx E dyydyydy 21(124)14ydy给定矢量函数,试求从点到点的线积分(1) 沿抛物线; (2) 沿连接该两点的直线.解 (1) (2) 连接点到点直线方程为 即 故 ; 在一定条件下，矢量场是可以用标量（标量函数）来在一定条件下，矢量场是可以用标量（标量函数）来描述的，这样就可以简化运算。那么，如果要用标量来描描述的，这样就可以简化运算。那么，如果要用标量来描述矢量场，势必就需要给标量添加上方向因素后，这种描述矢量场，势必就需要给标量添加上方向因素后，这种描述才成立。但如何给标量添加上方向因素呢？述才成立。但如何给标量添加上方向因素呢？ 在标量场中，空间每一点都只能对应于一个

36、数值，在标量场中，空间每一点都只能对应于一个数值，这个数值是用标量函数来描述的。在研究标量场时，我们这个数值是用标量函数来描述的。在研究标量场时，我们常常关心的是标量函数值随空间位置的变化规律，即标量常常关心的是标量函数值随空间位置的变化规律，即标量函数最大变化率及其方向。这个标量函数在空间中的最大函数最大变化率及其方向。这个标量函数在空间中的最大变化率和最大变化率的方向正是我们所需要的方向因素。变化率和最大变化率的方向正是我们所需要的方向因素。 1.5 1.5 标量函数的方向导数与梯度标量函数的方向导数与梯度( (Directivity derivative and and gradient

37、 of Scalar functionof Scalar function） 常借助于画出其一系列等值间隔的等值面来直常借助于画出其一系列等值间隔的等值面来直观地表现标量场的空间分布情况。观地表现标量场的空间分布情况。 常借助于画出其场线（力线）的方法来形象和常借助于画出其场线（力线）的方法来形象和直观地描述矢量场在空间的分布情形或沿空间坐标直观地描述矢量场在空间的分布情形或沿空间坐标的变化情况。的变化情况。 u=2u=2u=3u=3u=4u=4等值面等值面场线（力线）场线（力线）1. 1. 标量场与等值面标量场与等值面（1 1）标量场）标量场-等值线等值线( (面面) )等值线等值线标量场中

38、每一点都有一个等值面通过，标量场中每一点都有一个等值面通过，且只有一个。也就是说，等值面充满整且只有一个。也就是说，等值面充满整个标量场所在的空间，且互不相交。个标量场所在的空间，且互不相交。 等值面的性质等值面的性质u=2u=2u=3u=3u=4u=4等值面等值面constzyxu),( 若有描述标量场的标量函数，其方程为若有描述标量场的标量函数，其方程为( , , )u ux y z当当便可得到一个空间曲面，在这个曲面上，便可得到一个空间曲面，在这个曲面上，各点的坐标值各点的坐标值x, y, z虽然不同，但是函数值虽然不同，但是函数值是相等的，这些函数值相等的点组成的曲是相等的，这些函数值

39、相等的点组成的曲面称为标量场的等值面。面称为标量场的等值面。（2 2）方向导数）方向导数 方向导数表示函数方向导数表示函数(x,y,z(x,y,z) )在一给定点处沿某一方向在一给定点处沿某一方向的变化率。的变化率。 coscoscoslM（x,y,z）M（x+ x,y + y,z + z） 设一个标量函数设一个标量函数u(x,y,z), ,若函数若函数 u u 在点在点M可微可微, ,则则 u 在在点点M沿任意方向沿任意方向 的方向导数为的方向导数为: : l 方向导数表示函数方向导数表示函数(x,y,z(x,y,z) )在一给定点处沿某一方向在一给定点处沿某一方向的变化率。的变化率。 co