解三角形中有关的取值范围问答

1、解决与三角形相关的取值范围问题例 1：在锐角 ABC中， A 2B ，则bc的取值范围是例 2：若 ABC的三边 a, b, c成等比数列， a,b,c所对的角依次为 A,B,C ， 则 sinB cosB 的取值范围是例 3：在 ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列。（1）求 B 的大小。（2）若 b 5，求 ABC周长的取值范围。例 4：在 ABC中， a 2 b2 c2 2ab，若 ABC的外接圆半径为 322 ，则ABC的面积的最大值为例 5：（2008 ，江苏）满足 AB 2,AC 2BC 的 ABC的面积的最大值是例

2、 6：已知角 A,B,C 是 ABC三个内角，m(1 cos(A B),cos A B)， n( 5 ,cos A B)82a,b,c 是各角的对边，向量，且 m n 9，且 m n81）求 tanA tan B的值。2)求 2absi2nC 2 的最大值 abc通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合 正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二 次函数、向量等知识综合考查。 这一类问题有利于考查学生对知识的 综合运用能力， 是高考命题的热点。 理顺这些基本知识以及技巧和方 法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮 助。巩固练习1在 ABC中

3、， a 2,c 1，则 C的取值范围为2若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边 长的比值为 m，则 m的取值范围是3在 Rt ABC中， C，且 A, B,C所对的边 a, b, c满足 a b xc，则实数 x 的取值范围为4在锐角 ABC中， A 2B，AC 1，则 BC的取值范围是5在锐角 ABC中，三个内角 A, B,C成等差数列，记 M cosAcosC ， 则M 的取值范围是6已知锐角三角形的边长分别为 1,3,a ，则 a的取值范围是7 已 知 ABC 外接 圆的 半径为 6 ，若面 积 SABC a2 （b c）2 且 sinB sinC 4 ，则sin A，

4、S ABC的最大值为38在 ABC中， m （sin A,cos C）, n （cos B,sin A），且 m n sinB sinC （1）求证： ABC 为直角三角形（2）若 ABC 外接圆的半径为 1，求 ABC的周长的取值范围9在 ABC中A, B,C所对的边分别为 a,b,c，已知 2sin A 3cosA （1）若 a2 c2 b2 mbc ，求实数 m的值2）若 a 3 ，求 ABC面积的最大值解决与三角形相关的取值范围问题在锐角 ABC中， A 2B ，则bc的取值范围是解析：由 0 A 2B且 0 C A B22c sinC sin3B sin2BcosB cos2B si

5、n B2B ，所以4cos2 B 1 ，4 b sinB sinB又cosB ( 2, 3)所以 c 4cos2 B 1 (1,2)2 2 b得6sinB点评：本题易错在求 B 的范围上，容易忽视“ABC是锐角三角形”这个条件。本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多A,B,C，元为一元，体现了解题的通性通法。例 2：若 ABC的三边 a,b,c 成等比数列， a,b,c所对的角依次为则 sinB cosB 的取值范围是解析：由题 设 知 b2 ac ， 又 余弦定理知222 acb cosB2ac22a c ac 2ac ac 1B 4 712所以2ac 2ac 2又 sinB co

6、sB 2 sin(B )且 442 sin(B ) (1, 2 即sinB cosB的取值范围是 (1, 2点评：本题将数列、基本不等式、三角函数、解三角形等知识结合起来，有利于提高学生解题的综合能力。例 3：在 ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列。（1）求 B 的大小。2）若 b 5，求 ABC周长的取值范围。解析 ：（1）由题意知 acosC ccosA 2b cosB ， 由正弦定理得 sin A cosC sin C cosA 2sin BcosB所以sin( A C) 2sin BcosB，于是 cosB 12,B

7、32)由正弦定理 a b c 10 ，所以sin A sin B sinC 3a b c 10 sin A 5 10 sinC 5 10 sin(2 A) 10 sin A 5 10sin( A )3 3 3 3 3 6又由0 A 2得 6 A 6 3 ，所以a b c 5 10sin( A ) (10,15。诱导公322，则点评：对三角函数式的处理常常借助于同角三角函数间关系、式以及恒等变换式等实施变形，达到化简、求值域的目的。例 4：在 ABC中， a 2 b2 c2 2ab ，若 ABC的外接圆半径为3ABC的面积的最大值为解析 ：又 a2 b2c2 32ab 及余弦定理得 cosCa2

8、 b2 c22ab，所以sinC 2 2 ，3又由于 c 2RsinC4，所以c22b2 2ab cosC 即 16 ab3b2 2ab32ab 4 2 ，故当且仅当 a1所以 ab 12，又由于 S 21absinC时， ABC 的面积取最大值 4 2点评 ：先利用余弦定理求 cosA的大小，再利用面积公式结合基本不等 式，求面积的最大值，要注意正弦定理与余弦定理的综合应用。例 5：（2008 ，江苏）满足 AB 2,AC 2BC 的 ABC的面积的最大值解析 ：设 BC x，则 AC 2x，1 根据面积公式得 S ABCAB BC sin BABC 22 2 2 由余弦定理得 cosB A

9、B BC AC 2AB BCx 1 cos2 B 4 x2 ( 2x)2 4 x24x 4x代入式得 SABC x 1 (44xx )2128 (x 12)16由三角形三边关系有 2x x 2且x 2 2x ，所以 2 2 2 x 2 2 2，故当 x 2 3 时，S ABC 取得最大值 2 2 。点评：本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题。例 6：已知角 A,B,C 是 ABC三个内角， a,b,c 是各角的对边，向量m (1 cos(A B),cos A B)，n (5 ,cos A B)，且 m n 92 8 2 8），(

10、1)求 tanA tan B的值。(2)求 2absi2nC 2 的最大值。abcA B 5 A B 9 解析：由 m (1 cos(A B),cos)，n ( ,cos)，且 m n 得2 8 2 8 5 2 A B 91 cos(A B) cos2，所以 4cos( A B) 5cos( A8 2 8即 cos A cosB 9sin Asin B ，所以 tanA tanBB)，(2)由余弦定理得 2absi2n C 2 absinCa b c 2abcosC tanA tanB 99tan(A B) (tanA tanB)1 tan Atan B 88即 tan(A B) 有最小值 3

11、 ，又 tanC tan(A 4 所以 tanC 有最大值 34 (当且仅当 tanA191tanC ，而22 tan A tanBB)，tanB 13 时取等号）所以 2absi2nC 2 的最大值为 3a b c 8通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合 正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二 次函数、向量等知识综合考查。 这一类问题有利于考查学生对知识的 综合运用能力， 是高考命题的热点。 理顺这些基本知识以及技巧和方 法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮 助。巩固练习1在 ABC中， a 2,c 1，则 C的取值范围为2若钝

12、角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边 长的比值为 m，则 m的取值范围是 3在 Rt ABC中， C，且 A, B,C所对的边 a, b, c满足 a b xc，则实数 x 的取值范围为 4在锐角 ABC中， A 2B，AC 1，则 BC的取值范围是 5在锐角 ABC中，三个内角 A, B,C成等差数列，记 M cosAcosC ， 则M 的取值范围是 6已知锐角三角形的边长分别为 1,3,a ，则 a的取值范围是 7 已 知 ABC 外接 圆的 半径为 6 ，若面 积 SABC a2 (b c)2 且 sinB sinC 4 ，则sin A，S ABC的最大值为38在 ABC

13、中， m (sin A,cos C), n (cos B,sin A)，且 m n sinB sinC(1)求证： ABC 为直角三角形(2)若 ABC 外接圆的半径为 1，求 ABC的周长的取值范围1）若a2c2 b2 mbc ，求实数 m 的值2）若 a 3 ，求 ABC面积的最大值。参考答案11sinC sin A2112,C (0,62(2, )3(1, 2同例BC AC sin AsinB5 易知 Bsin2BsinB1 知 6 B 4( 2, 3)，由正弦定理2cosB1cos2A23,A3sin2C32，AcosA由于M 1sin(2A )20A31 1 14 ( 2,42 则

14、M cos A cosC cosA cos(cosA 143sin2A43 A)121sin(2 A 6)2A 6 76，故由三角形三边关系有A ，要保证 ABC为锐角锐角，且 46.设 1,3,a 所对 的 角 分别 为 A,B,C ，三角形，只需 cosB 0,cos C120 ，即 1a2 3212 32 a20且 1 3 a0 ，解得21a2132 2 a 107由 S ABC a2 (b c)2 ，得 a2 b2c2 bc(sinA 2)2 2)由余弦定理得 a2 b2 c22bc cos A ，故有 2sinA2cosA ，2易得 A 为1 3 a,1 a 3且3 a 1，故 2

15、a 4 ，易知 B2sin A2 sin A4cos 2 A ，即17sin 2 A 8sin A 0 ，故有sin A 187，4则b c 2R(sin B sinC) 12 163S ABC 1bcsinA sinA(b c)2 4 64 256 (当且仅当 b c 8时取等 ABC 2 2 2 17 17号）即S ABC的最大值为 215768(1)由 m (sin A,cos C), n(cos B,sin A)，且 m n sinB sinC得sin AcosB sin AcosC sinBsinC ，由正弦定理得 acosB acosC由余弦定理得 aa2 c2 b22ac222a

16、bcbc2ab整理得 (b c)(a222b2 c2) 0又由于 b c 0 ，故 a2 b2c2，即 ABC 是直角三角形或者：由 sin AcosB sin AcosC sinB sinC 得，sin AcosB sin AcosC sin(A C) sin(A B)化简得 cos A(sin B sinC) 0，由于 sinB sinC 0，故 cosA 0， 即 ABC 是直角三角形)(2)设 ABC内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c由于 ABC外接圆的半径为 1， A 2，所以 a 2Rsin A 2，所以 b c 2R(sin B cosB) 2(sin B cosB) 2 2 sin(B )43又 0 B ，故 B ，因而 2 2 sin(B ) (2,2 22 4 4