第4章根轨迹1

1、1第四章第四章 根轨迹法根轨迹法内 容 提 要 根轨迹是一种图解法，它是根据系统的根轨迹是一种图解法，它是根据系统的开环零极点分布开环零极点分布，用作图的方法简便地确定，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。对系统的特性进行定性分析和定量计算。 根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的根轨迹的基本条件，常规根轨迹绘制的基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图基本规则，广义根轨迹的绘制，用根轨迹图确定闭环极点及系统性能指标。确定闭环极点及系统性能指标。2知 识 要 点 传递函数的零极点表示，根轨迹的概传递函数

2、的零极点表示，根轨迹的概念，根轨迹的基本条件，根轨迹的基本规念，根轨迹的基本条件，根轨迹的基本规则，等效开环传递函数的概念，根轨迹定则，等效开环传递函数的概念，根轨迹定性分析系统性能指标随系统参数变化的趋性分析系统性能指标随系统参数变化的趋势，确定系统闭环零极点及系统性能指标。势，确定系统闭环零极点及系统性能指标。 3 线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环线性时不变系统的动态性能主要取决于闭环系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统系统特征方程的根（闭环极点），所以控制系统的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调的动态设计，关键就是合理地配置闭环极点。调整开环增益是改变闭环极点的常用办法

3、。整开环增益是改变闭环极点的常用办法。 1948 1948年伊万斯年伊万斯(W.R.Evans)(W.R.Evans)提出了根轨迹法，提出了根轨迹法，它不直接求解特征方程它不直接求解特征方程, ,而用图解法来确定系统的而用图解法来确定系统的闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连闭环特征根。所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可以根据期望的闭环特征根确

4、定开环增益。以根据期望的闭环特征根确定开环增益。 44.1 4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4.1.1 4.1.1 什么是根轨迹什么是根轨迹 图图4-14-1所示负反馈控制所示负反馈控制系统，设其开环传递函数系统，设其开环传递函数为：为：（）（）)2s)(1s( sK)s(H)s(G+ + += =0)2s)(1s( s= =+ + +该系统的开环特征方程为：该系统的开环特征方程为：解得系统开环极点为：解得系统开环极点为：s1=0，s2=1 ，s2=2图图4-1 4-1 反馈控制系统反馈控制系统50Ks2s3s23= =+ + + +该系统的闭环特征方程为：该系统的闭环特征方程为：系统

5、闭环传递函数为系统闭环传递函数为：K)2s)(1s( sK)s(G1)s(G)s(R)s(C)s(+ + + += =+ += = = 如果将系统的开环增益如果将系统的开环增益K（根轨迹增益）从（根轨迹增益）从0向向 变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制变化时，系统闭环特征根在复平面上的变化情况绘制为曲线，如图为曲线，如图4-2所示。这样获得的曲线称为所示。这样获得的曲线称为K从从0向向 变化时系统的根轨迹。从根轨迹图可以看到：当变化时系统的根轨迹。从根轨迹图可以看到：当0K0.385时有两个闭环极点成为共轭复数，只要时有两个闭环极点成为共轭复数，只要0K=,)ps).(ps)(ps

6、()zs).(zs)(zs(K)s(H)s(Gnm4.2.1 4.2.1 开环零极点与相角条件开环零极点与相角条件式中式中p1，p2，pn为开环极点，为开环极点，z1，z2，zm 为开环为开环零点。零点。17这样，系统的闭环特征方程可以表示为：这样，系统的闭环特征方程可以表示为： 0)ps).(ps)(ps()zs).(zs)(zs(K1n21m21= =+ +以以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方程，相应地，我们称之为程，相应地，我们称之为典型根轨迹方程典型根轨迹方程。上。上式也可以写成：式也可以写成：1)ps()zs(Kn1iim1ll= =

7、 = =-18这时，将这时，将幅值条件具体化为：幅值条件具体化为：m1lln1ii)zs()ps(K= = = =将将相角条件具体化为：相角条件具体化为： ,2 ,1 ,0k180)1k2()ps()zs(0in1ilm1l= =+ + = = = =19 按相角条件绘制根轨迹图的依据。具体方法是：按相角条件绘制根轨迹图的依据。具体方法是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，查它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上如果不是则该点不在根轨迹上，最后将

8、在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。以下列的试验点连接就得到根轨迹图。以下列4 4阶系统为阶系统为例：例： )()()()()()(43211pspspspszsKsHsG20 先在复平面上标出开环极点先在复平面上标出开环极点p1,p2,p3,p4和开环零点和开环零点z1如图如图4-3。对试验点。对试验点S，如果它在根轨迹上，就应，如果它在根轨迹上，就应当满足相角条件当满足相角条件 ：, 2 , 1 , 0180) 12(043211kk 量出或计算出量出或计算出5个角度，就知道试验点个角度，就知道试验点s是否在根轨是否在根轨迹上。判别了一个试验点，再判别其它试验点迹上。判别了一个试验点，再

9、判别其它试验点。 21 为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记并理解为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记并理解三句话：绘制根轨迹三句话：绘制根轨迹依据的是开环零极点分布，依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。 图图4-3 4-3 相角条件的图示相角条件的图示 22 纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人们研巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘图更快更究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘图更快

10、更准。概括起来，以开环增益准。概括起来，以开环增益K为参变量的根轨迹图为参变量的根轨迹图主要有下列基本规则：主要有下列基本规则： 4.2.2 基本规则基本规则23规则规则1 ：起点和终点起点和终点根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。 因为根轨迹是闭环特征方程的根，当因为根轨迹是闭环特征方程的根，当K=0时时方程的根就是它的方程的根就是它的n个开环极点，当个开环极点，当K时方程时方程的根就是它的的根就是它的m个开环零点。根轨迹的起点和终个开环零点。根轨迹的起点和终点是根轨迹的特殊点。点是根轨迹的特殊点。 当当n=m时，开始于时，开始于n个开环极点的

11、个开环极点的n支根轨迹，支根轨迹，正好终止于正好终止于m个开环零点。个开环零点。 24 当当nm时，开始于时，开始于n个开环极点的个开环极点的n支根轨迹，支根轨迹，有有m支终止于开环零点，有支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。支终止于无穷远处。用式（用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是）可以解释这一规则：终点就是K的的点，要点，要K只有两种情况，一是只有两种情况，一是s=zl(l=1,2,m)，二是二是s。这时，无穷远处也称为。这时，无穷远处也称为无穷远零点无穷远零点。 当当nm时，根轨迹一定有时，根轨迹一定有nm支趋向无穷远；支趋向无穷远；当当nm的一般情况下，可以的一般情况下，

12、可以有不同形式的表示有不同形式的表示mjjniizsKps1*1)()(个根之和：闭环特征方程个极点之和总是等于取何值，开环无关，无论系数与项时，特征方程第二项（当nnKKsmnn)2 1111apsniinii41在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，随着所以，随着 的增大的增大(或减小或减小)，若一些闭环特征，若一些闭环特征根在根在s平面上向左移动，则另一些闭环特征根必平面上向左移动，则另一些闭环特征根必向右移动，且在任一向右移动，且在任一 下，闭环特征根之和保持下，闭环特征根之和保持常数不变。常数不变。此规则可用于判断根轨迹的走向。

13、此规则可用于判断根轨迹的走向。*K*K 闭环特征根之积与开环零、极点有如下关系：闭环特征根之积与开环零、极点有如下关系：mjjniiniizKps1*11)()()(对应于某一对应于某一 值，若已知某些闭环特征根，利值，若已知某些闭环特征根，利用上述结论有助于求出其它闭环特征根。利用上用上述结论有助于求出其它闭环特征根。利用上述结论，也可估计当述结论，也可估计当 变化时，根轨迹的走向。变化时，根轨迹的走向。*K*K424.3 绘制根轨迹举例绘制根轨迹举例有了以上绘制根轨迹的基本法则，在已有了以上绘制根轨迹的基本法则，在已知系统的开环零、极点知系统的开环零、极点(开环传递函数开环传递函数)的的情

14、况下，利用这些基本法则，就可以迅情况下，利用这些基本法则，就可以迅速准确地确定出根轨迹的主要特征和大速准确地确定出根轨迹的主要特征和大致图形。如果需要，再利用根轨迹方程致图形。如果需要，再利用根轨迹方程的相角条件。利用试探法确定若干点，的相角条件。利用试探法确定若干点，就可以绘制出准确的根轨迹。就可以绘制出准确的根轨迹。绘制根轨迹的一般步骤为：绘制根轨迹的一般步骤为：43根据给定的开环传递函数，求出开环零、极点，根据给定的开环传递函数，求出开环零、极点，并将它们标在复平面上；并将它们标在复平面上；确定根轨迹的分支数及趋于无穷远处根轨迹的确定根轨迹的分支数及趋于无穷远处根轨迹的条数；条数；确定实

15、轴上的根轨迹；确定实轴上的根轨迹；确定根轨迹的渐近线；确定根轨迹的渐近线；确定根轨迹的分离点；确定根轨迹的分离点；计算根轨迹的出射角和入射角；计算根轨迹的出射角和入射角；确定根轨迹与虚轴的交点；确定根轨迹与虚轴的交点；44大体绘出根轨迹的概略形状；大体绘出根轨迹的概略形状；利用对称性画出上、下复平面的根轨迹；利用对称性画出上、下复平面的根轨迹；利用闭环特征根之和、之积的性质估计根轨利用闭环特征根之和、之积的性质估计根轨迹的走向；迹的走向；利用相角条件试探确定根轨迹上某些点；利用相角条件试探确定根轨迹上某些点；某些系统在复平面上的根轨迹为圆或圆的一某些系统在复平面上的根轨迹为圆或圆的一部分时，求

16、出圆心和半径。部分时，求出圆心和半径。必要时，对根轨迹进行修正，以画出系统精确根必要时，对根轨迹进行修正，以画出系统精确根轨迹。轨迹。45 根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤其是手工绘图，根据规则其是手工绘图，根据规则14就能很快地画出大致就能很快地画出大致形状，再按规则形状，再按规则7求出临界增益求出临界增益K0，这样的根轨迹图，这样的根轨迹图就很有用了，我们称这样的根轨迹图为概略图，一就很有用了，我们称这样的根轨迹图为概略图，一般手工画根轨迹的习题（考题）就是指这种概略图。般手工画根轨迹的习题（考题）就是指这种概略图。 除非系统阶次很低，否则手

17、工解方程求分离点除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点决非易事；手工求出射角和入射角也不太好操作，决非易事；手工求出射角和入射角也不太好操作，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。起作用了。 46按按7个基本规则绘制根轨迹图个基本规则绘制根轨迹图 解：首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点：解：首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点：p1=0,p2=-1,p3=-2，将它们标在复平面上（见图，将它们标在复平面上（见图4-5），），开环极点

18、的位置用开环极点的位置用表示（开环零点的位置一般用表示（开环零点的位置一般用表示）。根据表示）。根据规则规则1和和2，根轨迹将有，根轨迹将有3支，分别开始于支，分别开始于这三个开环极点，趋向无穷远。这三个开环极点，趋向无穷远。 绘图示例绘图示例图图4-1 4-1 反馈控制系统反馈控制系统例例2：试绘制图：试绘制图4-1所示负反所示负反馈控制系统的馈控制系统的K变化时闭环变化时闭环根轨迹略图，设其开环传递根轨迹略图，设其开环传递函数为：函数为：（）（）)2s)(1s( sK)s(H)s(G+ + += =47 根据根据规则规则3 3，根轨迹有，根轨迹有3 3根渐近线，它们与实轴根渐近线，它们与实

19、轴的夹角是：的夹角是： 0201000300,180,602 , 1 , 0,3180) 12(kkk所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为： 1321048 根据根据规则规则4，实轴上的，实轴上的-1,0段是根轨迹的一部分，段是根轨迹的一部分，实轴上的实轴上的(-,-2段也是根轨迹的一部分，实际上后者段也是根轨迹的一部分，实际上后者就是从开环极点就是从开环极点p3出发趋向无穷远的一支，与渐近线出发趋向无穷远的一支，与渐近线的分析一致，这一支已经是精确图形了。的分析一致，这一支已经是精确图形了。 根据根据规则规则7，可以确定根轨迹与虚轴的交点，我，可以确定根

20、轨迹与虚轴的交点，我们先用劳斯判据，们先用劳斯判据， 根据特征方程系数列出劳斯阵列根据特征方程系数列出劳斯阵列为：为： KsKsKss012336321 使第一列中使第一列中s1项等于零，可项等于零，可以求得以求得K=6。通过求解由。通过求解由s2行得行得出的辅助方程出的辅助方程 ：063322sKs 可以求得根轨迹与虚轴的交点为可以求得根轨迹与虚轴的交点为 ，虚轴，虚轴上交点处的频率为上交点处的频率为 。 2js . 249 另外一种确定根轨迹与虚轴交点的方法是令特另外一种确定根轨迹与虚轴交点的方法是令特征方程中的征方程中的s= =j得：得： 0)2()3(2)(3)(3223jKKjjj

21、令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得令上式中的实部和虚部分别等于零，可以得到到=0,=0,K=0=0或或 。因此，根轨迹在。因此，根轨迹在 处与虚轴相交，并且交点处处与虚轴相交，并且交点处=0=0。实轴上。实轴上的根轨迹的根轨迹K= =6处也与虚轴相交。处也与虚轴相交。 6,2K250 根轨迹在实轴上的根轨迹在实轴上的-1-1，00段一定有一个分离段一定有一个分离点，根据点，根据规则规则5 5 021111整理得整理得 02632解得解得=- -0.423, , =-=-1.577 ，显然只有，显然只有- -0.423在根轨在根轨迹上，所以分离点为迹上，所以分离点为- -0.423。 根轨迹

22、从根轨迹从p1, ,p2, ,p3 3出发的出射角已经很明确，为出发的出射角已经很明确，为了验证了验证规则规则6 6，我们还是计算一下：，我们还是计算一下： 00003002001180180180180, 01800180,18000180ppp与实际完全一致。与实际完全一致。 51图图4-5 4-5 绘制根轨迹图示例绘制根轨迹图示例 52例例 若已知系统的结构图为： 试绘制系统的概略根轨迹。解：系统开环传递函数为：) 15(2 . 0) 1(sssK)(sR)(sC)2 . 0() 1()2 . 0() 1() 15(2 . 0) 1()(*sssKsssKsssKsGK53KK *11z

23、2 . 0021pp，1 2 . 00，开环零点：开环极点：实轴上的根轨迹：渐近线：1条，负实轴方向分离点：8 . 012 . 01111dddd分离角：2/3 , 2/画出根轨迹如图所示，在复平面上，有一部分根轨迹为一圆，其圆心为（-1，j0) ，半径为8 . 0R54-0.2-1sj-21z1p2p55 例例2 单位负反馈系统的开环传递函数为： 试绘制系统的根轨迹。解：由系统的开环传递函数得：) 121)(131() 15 . 0()(2sssssKsG)22)(3()2()22)(3()2(3)(2*2sssssKsssssKsGKK3*56 开环零点： ， 开环极点：将它们标注于复平面

24、上；实轴上的根轨迹：渐近线： 条21zjppp1304, 321，320，314114)2()1130(11jjmnzpmjjniia3) 12() 12(kmnka57 时， 时， 时，起始角：根轨迹与虚轴的交点：0k603/a1k2k180a603/5a)(180431113343jjppjpzppjj6 .26)906 .26135(4518058系统的闭环特征方程式为：将 代入上式，整理可得：联立求解得：02)6(85*234KsKsssjs 0)6(5)28(*3*24KjK0)6(5028*3*24KK00*LK66. 12*LK59 画出概略根轨迹如图所示：-1sj-21z1p2

25、p-33p4pa604.5 利用根轨迹分析系统的性能利用根轨迹分析系统的性能 控制系统的根轨迹绘制完毕后，当参数值控制系统的根轨迹绘制完毕后，当参数值k确定确定之后，即可确定闭环传递函数，进而分析系统的控之后，即可确定闭环传递函数，进而分析系统的控制性能。下面以例题进行说明。制性能。下面以例题进行说明。【例【例9】：已知单位负反馈系统的开环传递函数为】：已知单位负反馈系统的开环传递函数为试应用根轨迹法分析开环放大倍数试应用根轨迹法分析开环放大倍数K对系统性能的影对系统性能的影响，并计算响，并计算K5时，系统的动态指标。时，系统的动态指标。)15s. 0( sK)s(G )2s( sk)2s(

26、s2K)15s. 0( sK)s(G 解：解：将开环传递函数将开环传递函数G(s)化为根轨迹法的常用形式，即化为根轨迹法的常用形式，即（式中（式中 k=2K）61该系统的根轨迹图如图所示。该系统的根轨迹图如图所示。 按根轨迹图分析，按根轨迹图分析，k为任意值为任意值时，系统都是稳定的。时，系统都是稳定的。当当0k1时，系统具有两个不相等时，系统具有两个不相等的负实根。的负实根。当当k=1时，系统具有两个相等的负时，系统具有两个相等的负实根，这时系统的动态响应是非振实根，这时系统的动态响应是非振荡的。荡的。当当1k时，系统具有一对共轭复时，系统具有一对共轭复数极点，则系统的动态响应是振荡数极点，

27、则系统的动态响应是振荡的。的。系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为：k)2s( sk)s(G1)s(G)s(R)s(C)s( 62解得闭环系统的特征根：解得闭环系统的特征根：0s2sk2ss)s(G1)s(D2nn22 闭环系统的特征方程为：闭环系统的特征方程为：2nn1,21jk11s 当当K=5(k=10)时，代入上式解得系统的闭环极点为时，代入上式解得系统的闭环极点为j311jk11s2nn1,2 由此得由此得101,10n 63于是得系统的动态性能指标：于是得系统的动态性能指标：超调量：超调量：上升时间：上升时间：峰值时间：峰值时间：过渡过程时间：过渡过程时间：35%ee05. 1-1

28、p2 63s. 01arccost2ndr 05s. 11t2ndp 5%)3s(3tds 64控制系统稳定的充要条件是闭环极点均在控制系统稳定的充要条件是闭环极点均在s平面的平面的左半平面，左半平面，而根轨迹是所有闭环极点的集合，因此，而根轨迹是所有闭环极点的集合，因此，只要控制系统的根轨迹位于只要控制系统的根轨迹位于s平面的左半平面平面的左半平面,控制系控制系统就是稳定的，否则就是不稳定的。当系统的参数变统就是稳定的，否则就是不稳定的。当系统的参数变化引起系统的根轨迹从左半平面变化到右半平面时，化引起系统的根轨迹从左半平面变化到右半平面时，系统从稳定变为不稳定，根轨迹与虚轴交点处的参数系统

29、从稳定变为不稳定，根轨迹与虚轴交点处的参数值就是系统稳定的临界值。因此，根据根轨迹与虚轴值就是系统稳定的临界值。因此，根据根轨迹与虚轴的交点可以确定保证系统稳定的参数取值范围。根轨的交点可以确定保证系统稳定的参数取值范围。根轨迹与虚轴之间的相对位置，反映了系统稳定程度的大迹与虚轴之间的相对位置，反映了系统稳定程度的大小，根轨迹越是远离虚轴，系统的稳定程度越大，反小，根轨迹越是远离虚轴，系统的稳定程度越大，反之则越小。之则越小。 1.基于根轨迹的系统稳定性分析基于根轨迹的系统稳定性分析652.基于根轨迹的系统稳态性能分析基于根轨迹的系统稳态性能分析 对于典型输入信号，系统的稳态误差与开环对于典型输入信号，系统的稳态误差与开环放大倍数放大倍数K和系统的型别和系统的型别v有关。在根轨迹图上，有关。在根轨迹图上，位于原点处的根轨迹起点数就对应于系统的型位于原点处的根轨迹起点数就对应于系统的型别别v,而根轨迹增益与开环增益仅仅相差一个比而根轨迹增益与开环增益仅仅相差一个比例常数。因此，利用静态误差系数法可得到典例常数。因此，利用静态误差系数法可得到典型输入信号作用下的稳态误差。型输入信号作用下的稳态误差。663.基于根轨迹的系统动态性能分析基于根轨迹的系统动态性能分析对单位反馈系统，闭环零点就是开环零点，所以闭对单位反馈系统，闭环零点就是