高考数学压轴专题(易错题)备战高考《函数与导数》专项训练答案

1、高中数学函数与导数知识点归纳一、选择题1 ,已知定义在R上的函数f(x)满足f 01,且f(x)的导函数f '(X)满足f '(x) 1 ,则不等式f ln x ln ex 的解集为()A0,1B1,eC0, eDe,【答案】A【解析】【分析】设g(x) f (x) X ,由题得g(x)在R上递增，求不等式 f lnx ln ex的解集，即求不等式 g (ln x) g(0) 的解集，由此即可得到本题答案.【详解】设 g(x) f(x) x,则 g(0) f (0) 0 1, g (x) f (x) 1,因为f (x) 1 ,所以g (x) 0,则g(x)在R上递增，又 f(l

2、nx) ln(ex) 1 lnx,所以 f (lnx) lnx 1 ,即 g(ln x) g(0),所以 ln x 0，得 0 x 1 .故选： A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数.2.已知函数f(x)是偶函数，当x 0时,处的切线方程为()A y xB y x 2【答案】A【解析】【分析】首先根据函数的奇偶性，求得当x 0时，求得斜率，从而求得切线方程.【详解】f (x) xln x 1 ，则曲线y f (x) 在 x 1C y xD y x 2f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数因为 x 0， f (x) f( x) x

3、ln( x) 1， f ( 1) 1 ， f (x) ln( x) 1 ，f ( 1)1 ，所以曲线y f (x) 在 x 1 处的切线方程为y 1 x 1 ，即 y x故选： A【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.f (x) f(x)3.设定义在(0,)的函数f x的导函数为f x ,且满足 一 ,则关于X3 x3的不等式x 1 f(x 3) f (3) 0的解集为()3A. 3,6B. 0,3C. 0,6D. 6,【答案】A【解析】【分析】根据条件，构造函数 g(x) x3f(x),利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该 函数在(，0

4、)上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出 自变量值的关系从而解出不等式即可.【详解】x Q解：Q ( 1)3 f(x 3) f(3) 0,33 _'_(x 3) f (x 3) 27f (3)0 ,3 _(x 3) f (x 3) 27f (3),Q定义在(0,)的函数f(x),3 x ,令 g(x) x3f(x),不等式(x 3)3 f(x 3) 27f (3),即为 g(x 3) g (3), 3 _2 _3 _g(x) (x f(x) 3x f(x) x f (x),Q 止 .f(X)3 x 'xf (x) 3f (x),xf (x) 3f (

5、x) 0 , 3 _2 _x f(x) 3x f (x) 0,g (x) 0,g(x)单调递增，又因为由上可知g(x 3) g (3),x 3 3, Q3 x , 3x6.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断 函数的单调性，属于中档题.x224.已知 f(x)-(x 1),右关于 x万程f(x)(2m 1)f(x) m m 0恰有 411nxi个不相等的实根，则实数 m的取值范围是()1 1 ,. 、1A.一,2(2,e) B.- 1,ec. (e 1,e)D. -, eeee【答案】C【解析】【分析】由已知易知f(x) m与f (x

6、) m 1的根一共有4个，作出f(x)图象，数形结合即可得到答案.【详解】 , 一 2一2由f(x)(2 m 1) f (x) m m 0,得 f (x) m 或 f (x) m 1 ,由题忌 f (x) m与f(x) m 1两个方程的一共有 4个，又f(x)的定义域为(0,1)(1,)，所以f(x)而 1nx,、 x i'/ 、 1n x 1 工 ,广，令 g(x)，则 g(x)-，由 g(x) 0得 x e， 1n x(1n x)由g(x) 0得1 x e或0 x 1,故g(x)在(0,1),(1,e)单调递减，在(e)上单调递增，由图象变换作出f(x)图象如图所示 _0 m e

7、-要使原方程有4个根，则，解得e 1m 1 e故选：C【点睛】本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的 思想，是一道中档题.A.C.D.函数f(x)2x?x2 .,的定义域为(4x 1x ( x)22x x24 x 11 4x,0)U(0,)f(x)，函数为奇函数，故排除B,C. f 0 ,故排除D.故选A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手:从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛

8、选选项.6.在二项式（x2a2x2）6的展开式中，其常数项是 15.如下图所示，阴影部分是由曲线a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（A.-4 61B.4 6C.一4【答案】B【解析】【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a,然后利用定积分求阴影部分的面积.【详解】(x2+A)6展开式中，由通项公式可得 12xr 1C6rir 12 2rX令12-3r= 0,可得r = 4,即常数项为 C46，可得C4= 15,解得 a = 2.曲线y=x2和圆x2+y2=2的在第一象限的交点为1所以阴影部分的面积为 一-X-X2 dx 4 041,1)10故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理的应用

9、，二项式展开式的通项公式，属于基础题.4-X2，一一，,“7.已知函数 f (X) = ( k+ -) 1nx + k点 M (小，y1)，N (X2, y2),使曲线 y= fX2的取值范围为(X)在M, N两点处的切线互相平行，则 X1 +A8,八A. - , + °°)5【答案】B【解析】 【分析】16、B. ( , + °°)5C.r8,、,+ °°)516、D. , 十 °°)5利用过M、N点处的切线互相平行，建立方程, 的取值范围.【详解】结合基本不等式，再求最值,即可求X1+X2由题得f'(x

10、) =k 4 *XJ2X -4/X 4 k-2X4k ， (x> 0, k>上士，ke4,+8),曲线y=f(X)上总存在两0)由题意，可得 f ' (X1)=f '( X2) ( X1 , X2 >0,且 X1 W2),42 Xik k 41 =kX242 1，X2化简得4(X1 +X2),4、=(k+ 一)kX1X2,hXi X2、2而 XiX2< (-),2,4、Xi X2、24(Xi+X2)< ( k+ )(),k 216即Xi+X2>4对ke 4, +8)恒成立kk.4令 g (k) =k+, k一,4 k 2 k 2.,一、贝U

11、g (k) =1 =>0 对 kC4, +8)恒成立,k2k2 -g (k) >g (4) =5,1616一 16-X1+X2 > ,5故X1+X2的取值范围为（ ,+oo）.5故答案为B【点睛】本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解 题的关键，属于中档题.8.已知 a 3ln3, b 3 31n3,c ln3 2,则 a,b,c 的大小关系是（）A. cbaB. cabC. a c bD. abc【答案】B【解析】【分析】根据a,b,c与中间值3和6的大小关系，即可得到本题答案.【详解】一.3 一一 .3因为a Q Q2 ,所以1 I

12、n 3 3,e 3 e23则 3 a 31n3 32 3m 6,b 3 3ln 3 6,c （In 3）2 3，所以c a b.故选：B【点睛】本题主要考查利用中间值比较几个式子的大小关系，属基础题9,若关于x的不等式x2A. (242,(,2 - 2)C. (,3)D.(27)把x2ax0在区间1,5上有解，转化为存在一个x 1,5使得x2 2axa ,解出f x的最大值.ax0在区间1,5上有解，转化为存在一个1,5使得axx的最大值27，当x5【点睛】5时取得，故选D10.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱

13、柱容器的底面边长为（）时，其容积A. 一42B.31°。3设正六棱柱容器的底面边长为x，则正六棱柱容器的高为，则可得正六棱柱容器的容积为V xx2，再利用导函数求得最值，即可求解.【详解】设正六棱柱容器的底面边长为x,则正六棱柱容器的高为1 x2ax 2 0在区间1,5上有解，则a的取值范围是（）所以正六棱柱容器的容积为V xx 2x mxlil x22所以V x27 2 一x49-x，则在2八2,0,3 上,V x0 ；在 一，1 上,V x3一一 .2 2所以V x在0,-上单调递增，在一,1上单调递减332 .所以当x 时,V x取得最大值，3故选:B【点睛】本题考查利用导函数

14、求最值，考查棱柱的体积，考查运算能力11 .已知函数f x21r 3.x x,且 a fln一,b2,1,1,f log2 , c f 2 ，则 3a, b, c的大小关系为()A. a c bB. b c a【答案】A【解析】【分析】由函数f x x2 x ,可得f xC. cabD. b a cf x ,得到函数f x为偶函数，图象关于 y轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数f x在0,)上为单调递增函数，则函数f x在(，0)上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解.由题意，函数f x x2 x ,满足f x (x)2x x2 x f x ,所以函数f x为定义域上的

15、偶函数，图象关于y轴对称，2又当x 0时，f x x x,由二次函数的性质可得，函数 f x在0,)上为单倜递增函数，则函数 f x在(，0)上为单调递减函数，3,-11c11又由 1n2 m5 2, log2.4根据对称性，可得 f (ln -) f (2 1) f (log 23),即a c b ,故选A.2【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性, 以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. log221，22，一 ax 1, x 012.已知函数f x,下列关于函数f f x m 0的零点个数的判lnx,

16、 x>0断，正确的是（）A.当a=0, mCR时，有且只有1个B.当a>0, mw 1时，都有3个C.当a<0, mv- 1时，都有4个D.当a<0, - 1 vmv0时，都有4个【答案】B【解析】【分析】分别画出a 0, a 0,a0时，y f x的图象，结合t f x , f t m 0的解的情况，数形结合可得所求零点个数.【详解】令 t f x ,则 f t m 0,当a 0时，若m 1,则t 0或t e,即0 x 1或x ee,即当a 0, m R时，不是有且只有1个零点，故A错误；当a 0时，m 1时，可得t 0或t em e,可得x的个数为1 2 3个，即B

17、正确；当a 0, m 1或1 m 0时，由 m 0,且 m 1,可得零点的个数为 1个或3 个，故C, D错误.本题考查了函数零点的相关问题，考查了数形结合思想，属于中档题13.设奇函数f x在 1,1上为增函数，且 f 1 1,若 x1,1 ,使 a1,1 ,不等式f x t2 2at 1成立，则t的取值范围是（）1 1A.2 t 2B.- t -2 2一 八,1.1.C. t 2或t 2或 t 0D. t 一或 t 一或 t 022【答案】C【解析】t2 2at 1 成【分析】f x在x1,1上为增函数，x1,1 ,使 a1,1，不等式f x2立，只需对于 a1,1 , f 1 t 2at

18、 1即可.【详解】 奇函数f x在x1,1上为增函数，且 f 11, 函数在x1,1上的最小值为f 1 f 11,又 x1,1，使 a1,1 ,不等式 f xt2 2at 1 成立， t2 2at 1 f 11 ,即 t2 2at 0,t 0时，不等式成立；2t0时，t2att t2a0恒成立，从而t2a,解得t2；2t0时，t22att t2a0恒成立，从而t2a,解得t 2故选：C.本题考查了含参数不等式恒成立问题,需要将不等式问题转化为函数最值问题，考查了理解辨析能力、运算求解能力和分类讨论思想，是中档题2-14.设函数f x在R上存在导数f x , x R有f x f x 2x ,在0

19、,上fx 2x,若f 4 m f m 16 8m,则实数m的取值范围是（）A. 2,B. 0,C.2,2D.,22,【答案】A【解析】【分析】22通过 xR有fx f x 2x ,构造新函数g x f x x ,可得g x为奇函数；利用f x 2x ,求g x的导函数得出g x的单调性，再将不等式f m 16 8m转化，可求实数 m的取值范围【详解】2设 gx f x x，22gxgx fxx fxx 0,，函数g x为奇函数，在 x 0, 上，f x 2x,即 f x 2x0,.g x f x 2x 0, 函数g x在x 0,上是减函数， 函数g x在x ,0上也是减函数，且 g 00， 函

20、数g x在x R上是减函数，. f 4 m f m 16 8m,22 . g 4 m 4 m gm m 16 8m,.g 4 m g m ,1 4 m m ,即 m 2.故选： A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，考查运算求解能力、转化与化归的数学思想，是中档题 .2x 6x 3,x 015 f x，则函数y f f x 的零点个数为()3x 4,x 0A 3B 5C 6D 7【答案】D【解析】【分析】作出 f (x) 的图像，将y f f x 的零点个数即f f x 0的实数根个数，令t f (x) ，解 f (t) 0 有三个实数根，再结合图像即可得到答案.【详解】由题意，y

21、f f x 的零点个数即f f x 0 的实数根个数，作 f x 的图像如图所示，设 t f(x),则 f(t) 0,当 t 0时，即 t2 6t 3 0,解得，ti3 J6,t23 J6;当t 0时，即3t 4 0,解得t3 log34；结合图像知，f (x)3 、.6时有一个根，f(x) 3 J6时有三个根，f (x) 10g3 4时有三个根，所以f f x 0有7个根，即y f f x的零点个数为7.故选：D【点睛】本题主要考查函数的零点问题、解函数值以及一元二次函数和指数函数的图像，考查学生 数形结合的思想，属于中档题 .一. 1n x 一 316 .函数f x 2x的图象在点1,f

22、1处的切线方程为() xA. y 6x 4 b. y 7x 5c. y 6x 3d. y 7x【答案】B【解析】【分析】首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可.【详解】由函数的解析式可得：f'x 1 1n x 6x2,x1 ln1则所求切线的斜率k f ' 1 T1 6 12 7,12且：f 10 2 12,即切点坐标为1,2 ,1由点斜式方程可得切线方程为：y 2 7x1,即y 7x5.本题选择B选项.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共

23、点，直线不一定 是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共 点.三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式.由外向内逐层求导，其导数为两层导数 之积.x17.设函数f x x e ,则（）A.f x有极大值-B.f x有极小值-eeC.f x有极大值eD.f x有极小值e【答案】B【解析】【分析】利用导数求出函数 y f x的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.【详解】Q f x x ex,定义域为 r, f x x1ex,令 fx 0,可得 x 1当 x 1 时，f x 0 ；当 x 1 时，f x 0.x . .1所以，函数f x x e在x1处取得极小值f 1一，e故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计 算能力，属于中等题.0垂直,-218.