圆与方程知识点整理

1、关于圆与方程的知识点整理37 / 25、标准方程般方程:22_2_2 一X2y DxEyF0 D2E24F0.221. Ax By Cxy Dx Ey F0表示圆方程则ABC02DA02EF4 AAA B 0C 0 22D 2 E 24 AF 02 .求圆的一般方程一般可采用待定系数法。_ 2_ 23 . D E 4F 0常可用来求有关参数的围三、点与圆的位置关系点在圆外1 .判断方法：点到圆心的距离 d与半径r的大小：d r 点在圆；d r点在圆上；d r2 .涉与最值：(1)圆外一点B,圆上一动点 P,讨论PB的最值PBBNBC rminPBBMBC rmax(2)圆一点A,圆上一动点P,

2、讨论PA的最值PA . AN r ACminPA AM r ACmax四、直线与圆的位置关系只有一个公1 .判断方法(d为圆心到直线的距离)：(1)相离没有公共点0 d r ; (2)相切共点 0 d r； (3)相交有两个公共点0 dr。这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的围2 .直线与圆相切(1)知识要点：基本图形主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l与圆C相切意味着什么？ 圆心C到直线l的距离恰好等于半径 r(2)常见题型一一求过定点的切线方程切线条数：点在圆外 两条；点在圆上 一条；点在圆 无求切线方程的方法与注意点、 1- 2- 2 2 上一 _

3、,_.2, 222 2i)点在圆外：如 th 点 Pxyo，圆：x a yb r,xayb第一步：设切线l方程y V0 k x x0 ；第二步：通过d r k,从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上千万不要漏了!如：过点P 1,1作圆x2y2 4x 6y 12 。的切线，求切线方程.ii )点在圆上：(1)若点222 .%,丫0在圆x y r上，则切线万程为 xx22 c(2)若点x0, y0在圆x a y br2上，则切线方程为x aV。由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第判断点与圆的位置关系,得出切线的条数求切线长：利用基本图形,APCPA

4、P求切点坐标：利用两个关系列出两个方程AC r3.直线与圆相交(1)求弦长与弦长的应用问题:垂径定理与勾股定理一一常用 弦长公式：|.1kxx2), 221 kx1 x24x1x2(2)判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆(3)关于点的个数问题，一一2例：右圆 x 3 y0的距离为1,则半径r的取值围是-22,一* ,一，,，一 一5 r上有且仅有两个点到直线4x 3y 2答案：4,64.直线与圆相离: 五、对称问题会对直线与圆相离作出判断(特别是涉与一些参数时)1.若圆x2y22my0 ,则实数m的值为答案：3 (注意:1时,D2E24F 0,故舍去)变式：已知点A是圆

5、C： x2ax4y 5 0上任意一点,A点关于直线x 2y 1 0的对称点在圆C1关于直线xy0对称的曲线方程是上，则实数a一22.圆 x 1变式：已知圆21与圆C2 ： x 22y 41关于直线1对称，则直线1的方程为23.圆 x 3 y1关于点2,3对称的曲线方程是4.已知直线l： y x b与圆C： x2 y2 1,问：是否存在实数b使自A 3,3发出的光线被直线l反射后与24 7圆C相切于点B 24 ?若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由.25, 25六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程221.已知实数x, y满足万程x y 4x 1 0,求：（1

6、）_y_的最大值和最小值；一一看作斜率（2） y x的最小值；一一截距（线性规划）x 5（3） x2 y2的最大值和最小值.一一两点间的距离的平方2 .已知 AOB中，OB 3, OA 4, AB 5,点P是 AOB切圆上一点，求以 PA , PB , PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可!3.设P x, y为圆x21上的任一点，欲使不等式xy c 0恒成立，则c的取值围是答案：c J2 1 （数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程222x y r r 0八、相关应用x r cosy rsin为参数；x a 2 y b 2 r2 r 0x a

7、rcos y b rsin为参数1.若直线 mx 2ny 4 0 ( m, nR）,始终平分圆x2y2 4x 2y 4 0的周长，则 m n的取值围是3 .已知圆C ： x2 y2 2x 4y 4 0 ,问：是否存在斜率为1的直线l ,使l被圆C截得的弦为AB ,以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线 l的方程，若不存在，说明理由 .提示：x1x2 y1y2 0或弦长公式d 忑k2 |xi x?.答案：*丫10或*丫4 0.22224 .已知圆C： x 3 y 41,点A 0,1 , B 0,1 ,设P点是圆C上的动点，d | PA | PB ,求d的最值与对应的P点坐标.224 .已知

8、圆 C： x 1 y 225,直线 l： 2m 1 x m 1 y 7m 4 0（m R）（1）证明：不论 m取什么值，直线l与圆C均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程 .5 .若直线yx k与曲线xJ1 y2恰有一个公共点,则 k的取值围.6.已知圆x2y2 x 6ym 0与直线x 2y 3 0交于P , Q两点，O为坐标原点，问：是否存在实数 m ,使OP OQ,若存在，求出m的值；若不存在，说明理由九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d为圆心距）：（1 ） d r1r2外离（2 ） d r1r2外切（3）r1r2dr1r2相交 （4） dr1r2切（5）dr1r2含2.两圆

9、公共弦所在直线方程2222圆 G：x yD1xE1y F10,圆 C2 ： x y D2x E2 yF20,则D1D2 xE1E2 y F1F20为两相交圆公共弦方程.补充说明：若G与C2相切，则表示其中一条公切线方程；若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程 .3圆系问题2222（1）过两圆C1： x yDxEyF10和C2： x yD?xE2yF20交点的圆系万程为2222x y D1x E1y F1x y D2x E2 y F2 0（1）说明：1）上述圆系不包括 C2； 2）当 1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）2222_ 过直线Ax By C 0与圆x y Dx Ey F 0交

10、点的圆系方程x y Dx Ey F Ax By C 0（3）两圆公切线的条数问题：相切时，有一条公切线；相外切时，有三条公切线；相交时，有两条公切线；相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式轨迹方程.例：过圆x2 y2 1外一点A 2,0作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程一一222分析：OP AP OA（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动例1.如图，已知定点A 2,0，点Q是圆x2 y2 1上的动点，

11、AOQ的平分线交AQ于M ,当Q点在圆上移动时，求动点 M的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆O： x2 y2 9,点A 3,0 , B、C是圆O上的两个动点，A、B、C呈逆时针方向排列，且BAC 求3ABC的重心G的轨迹方程.BC为定长且等于343XaXbXc3 xBxC设G x, y，则取BC的中点为XEXB故由CEXc2yByc2(1)得:法2:（参数法）XEyA yBycOC3x2设 B 3cos , 3sinC 3cosVbyc3x, yXaXb XcVayByc34,一,，由3 3程,yE3.34XbyBXcyc,3sin2Xe2xe2yE32yBOCyE3

12、3cos 3cos3sin参数法的本质是将动点坐标通过参数的围得出 x, y（4）求轨迹方程常用到得知识BAC(1)2xe32yE233x 3Xecos3sinsinsin2得：Xx, y中的x和的围.23一 y20,cos30，23T，1y都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方XaXbXcXiX2重心G x, y2Yiy223 中点P x, yYaYbYc3角平分线定理:定比分点公式:韦达定理.BDCDABACAMMBXmXaXb1YmYa1Yb高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与

13、圆的关系.圆的方程为(x 1)2 y2 20；点P在圆外.例2求半径为4,与圆X2 y2 4x 2y 4 0相切，且和直线y 0相切的圆的方程.圆的方程为(x 2 26)2 (y 4)2 42 ,或(x 2 2v16)2 (y 4)2 42 .例3求经过点A(0,5),且与直线x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程.分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.解：二,圆和直线x 2y 0与2x y 0相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x 2y 0和2x y 0的距离相等.,x

14、2y| |x 2y . .-5. 5两直线交角的平分线方程是 x 3y 0或3x y 0 .又圆过点A(0,5),圆心C只能在直线3x y 0上.设圆心C(t, 3t) C到直线2x y0的距离等于AC2t 3t.5忒2 (3t 5)2 .化简整理得t2 6t 5 0.解得：t 1或t 5圆心是(1,3),半径为J5或圆心是(5,15),半径为5屈.所求圆的方程为(x 1)2 (y 3)2 5或(x 5)2 (y 15)2 125.说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程, 这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.例4、设圆满足：(1

15、)截y轴所得弦长为2; (2)被X轴分成两段弧，其弧长的比为3:1 ,在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 l: x 2y 0的距离最小的圆的方程.分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程.满足两个条件的圆有 无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最 小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程.解法一：设圆心为P(a,b),半径为r .则P到x轴、y轴的距离分别为b和a .由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为 90 ,故圆截x轴所得弦长为 其.22 r 2b又圆截y轴

16、所得弦长为2.22 r a 1 .又 P(a,b)到直线x 2y 0的距离为、522b4b2 4ab4b2 2(a2 b2) a2 1a 2b d1- 5d2 a2a2a2b2当且仅当a b时取“=”号，此时dmin,5、 a b这时有 o o2b2 a2 1又r2 2b2 2故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)22 或(x 1)2 (y 1)2 2解法二：同解法一，得a 2bla 2bJ5d. a2 4b2 445bd 5d2.将a2 2b2 1代入上式得：2b2 4 J5bd 5d2 1 0.上述方程有实根，故28(5d1) 0, d 5 一d .5r- .5 将d 代入方程得b 1

17、.5又 2b2 a2 1 a 1 .由a 2b 1知a、b同号.故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 .说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢? 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆O： x2 y2 4,求过点P 2,4与圆O相切的切线.解：二.点P2,4不在圆O上,，切线PT的直线方程可设为 y k x 24根据d r2k 4 c 七 21 k2,13解得k x0y0D2x0E2 y0F20 4-3所以y 3 X 2 44即3x 4y 10 0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求

18、另一条切线为x 2 .说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）.还可以运用x0x y0y r2,求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解.例 6 两圆Ci：x2y2DixEiyFi0与Cz：x2y2D?xE2yF20相交于 A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程.分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线 AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了 避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧.解：设两圆G、C2的任一交点坐标为（x0 , y0）,则有:22得：(D D2)

19、x0 (EiE2)y Fi F20.A、B的坐标满足方程（D1D2)x (Ei E2)y Fi F20.xyDi x0Eiy。Fi0 .方程(D D2)x (EiE2）y Fi F2 0是过A、B两点的直线方程.又过A、B两点的直线是唯一的.，两圆Ci、C2的公共弦AB所在直线的方程为（Di D2）x （Ei E2）y Fi F2 0 .说明：上述解法中，巧妙地避开了求 A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是 利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识容的角度上说， 还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以与对直线方程是一次方程的本

20、质认识.它的应用很广泛.例7、过圆x2 y2 i外一点M （2,3）,作这个圆的两条切线 MA、MB ,切点分别是 A、B,求直线AB的方程。练习:1.求过点M(3,1),且与圆(x 1)2 y2 4相切的直线l的方程.解：设切线方程为 y 1 k(x 3),即kx y 3k 1 0 ,圆心(1,0)到切线l的距离等于半径 2 ,|k 3k 1|3，切线万程为y 1(x 3),即3x 4y 13 0,4当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为 x 3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径 2, 故直线x 3也适合题意。所以，所求的直线l的方程是3x 4y 13 0或x 3.225 -2、过坐标原

21、点且与圆 x2 y2 4x 2y 0相切的直线的方程为 2解：设直线方程为 y kx,即kx y 0圆方程可化为(x 2)2 (y 1)2为三10.依题意有Rk 1 110,解得k3或k 1, .直线方程为y2k2 123y5，一一，圆心为(2, -1 ),半径23x或y1一 x.33、已知直线5x 12y a 0与圆x22x y20相切，则a的值为.解：:圆(x 1)2y2 1的圆心为18.1,0),半径为1, 15 a 1，解得a 8或a52 122类型三：弦长、弧问题例8、求直线l :3x y 6 0被圆C : x2y2 2x 4y 0截得的弦AB的长.例9、直线 3x y 2 3 0截

22、圆x2y24得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距 d 73,故弦长AB2“2 d22 ,从而 OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为AOB 一.3例10、求两圆X2 y2 x y 2 0和x2 y2 5的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线 第x y 2庭 0和圆x2 y2 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系例12、若直线y x m与曲线y J4 x2有且只有一个公共点,数 m的取值围. 222解：二.曲线y 44 x 表示半圆x y 4(y 0), .利用数形结合法，可得实数m的取值围是2 m 2或m 2收例13圆(x 3)2 (y 3)2 9上到直线3x 4y

23、11 0的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解.或先求出直线 11、12的方程，从代数计算中寻找解答.解法一：圆(x 3)2 (y 3)2 9的圆心为01(3,3),半径r 3.、3 3 4 3 11设圆心01到直线3x 4y 11 0的距离为d,则d .-2 2 3.、32 42如图，在圆心。1同侧，与直线3x 4y 11 0平行且距离为1的直线11与圆有两个交点，这两个交点符合题意.又 r d 3 2 1.与直线3x 4y 11 0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.，符合题意的点共有 3个.解法二：符合题意的点是平行于直线 3x 4y 11 0,且与之距离为1的直线和圆

24、的交点. 设所求直线为3x 4y m 0,则 dm 11_2.2341,m 115,即 m 6,或 m 16,也即1/3x 4y 6 0,或 12：3x 4y 16 0.设圆 0.(x 3)2 (y 3)29的圆心到直线112的距离为a、d2,则d1 1- 3, d21 32T73 3 4 3 16、32 42li与Oi相切，与圆Oi有一个公共点；12与圆Oi相交，与圆O1有两个公共点.即符合题意的点共3个.说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：3 3 4 3 11设圆心O1到直线3x 4y 11 0的距离为d ,则d ,-1 2 3.,3242，圆。1到3x 4 y 11 0距离为1的

25、点有两个.显然，上述误解中的 d是圆心到直线3x 4y 11 0的距离，d r,只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1 .到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是 这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心 与直线的距离和半径的大小比较来判断.练习1:直线x y 1与圆x22y 2ay 0 (a 0)没有公共点，则a的取值围是a 1解：依题意有a ,解得222 1 a 2 1. . a 0, 0 a 题 1.练习2：若直线y kx 2与圆(x 2)22(y 3

26、)1有两个不同的交点，则 k的取值围是解：依题意有2k 12k 1441 ,解得0 kk的取值围是(0,).333、 圆x2 y2 2x 4y 3 0上到直线x y 1（A） 1 个（B） 2 个（C） 3 个分析：把x2 y2 2x 4y 3 0化为x 10的距离为我的点共有().(D) 4 个y 2 2 8,圆心为 1, 2 ,半径为r 272,圆心到直线的距离为 2 ,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于,所以选C.4、过点P 3, 4作直线l ,当斜率为何值时，直线 l与圆C： x 1 2 y4有公共点，如图所示.分析：观察动画演示，分析思路.解：设直线l的方程为k 2 3k 4y 4

27、 k x 3即kx y 3k 4 0根据d r有整理得-23k2 4k 0解得类型五：圆与圆的位置关系 问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例14、判断圆C1:x22：求与圆x y5外切于点P( 1,2),且半径为2/5的圆的方程. y2 2x 6y 26 0与圆C2:x2 y2 4x 2y 4 0的位置关系，例15：圆x2 y2 2x 0和圆x2 y2 4y 0的公切线共有条。解：.圆(x 1)2 y2 1的圆心为Oi(1,0),半径 1,圆x2 (y 2)2 4的圆心为。2(0, 2),半径上 2, O1O2I J5,123,211.:21。1。212 ,，两圆相交.共有 2 条公切线。练

28、习1 ：若圆x2 y22mxm240与圆x2 y2 2x4my 4m2 8 0相切，则实数 m的取值集合是.解：:圆(x m)2 y2 4 的圆心为 O1(m,0),半径1 2 ,圆(x 1)2 (y 2m)2 9 的圆心为 O2 ( 1,2m), 半径2 3 ,且两圆相切，. O1O2 r1 r2 或 O1O2 r2 1 , ，(m 1)2 (2m)2 5 或 V(m 1)2 (2m)21,解得m ?或m 2,或m 0或m 5 ,，实数m的取值集合是125 一, 一，0, 2.52解：设所求圆的圆心为Oi(a,b),则所求圆的方程为(x a)2 (y b)2 20 .二两圆外切于点P ,1O

29、P -OO1 ,( 1,2) -(a,b) , a 3,b 6, .所求圆的方程为(x 3)2 (y 6)2 20.313类型六：圆中的对称问题例16、圆x2 y2 2x 6y 9 0关于直线2x y 5 0对称的圆的方程是例17自点A 3,3发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C： x2 y2 4x 4y 7 0相切(1)求光线l和反射光线所在的直线方程.(2)光线自A到切点所经过的路程.分析、略解：观察动画演示，分析思路.根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为3, 3 ,其次设过A的圆C的切线方程为y k x 3 3根据d r,即求出圆C的切线的斜率为43k 或

30、 k 34进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x 3y 3 0或 3x 4y 3 0最后根据入射光与反射光关于 x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x 3y 3 0 或 3x 4y 3 02光路的距离为 AM ,可由勾股定理求得 AM2CM说明：本题亦可把圆对称到 x轴下方，再求解.例18:圆x22y 4x 4y 10 0上的点到直线x y 140的最大距离与最小距离的差是类型七：圆中的最值问题解：圆(x2)2(y2)218的圆心为(2,2),半径r3豆，.圆心到直线的距离d 孚5J2r ,、2，直线与圆相离,二圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(d r) (d r) 2r 6 2.例

31、19 (1)已知圆Oi：(x 3)2 (y 4)2 1, P(x, y)为圆O上的动点，求d x2 y2的最大、最小值.(2)已知圆O2：(x 2)2 y2 1, P(x, y)为圆上任一点.求 匚2的最大、最小值，求x 2y的最大、最 x 1小值.分析：(1)、(2)两小题都涉与到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.解：(1)(法1)由圆的标准方程(x 3)2 (y 4)2 1 .x 3 cos ,可设圆的参数方程为(是参数).y 4 sin ,贝U dx2y29 6coscos216 8sin sin2_八4 ,一 ，、426 6cos 8sin 26 10cos( )(其中

32、 tan 一). 3所以 dmax 26 10 36, dmin 26 10 16.(法2)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离 d1加上半径1,圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离 d1减去半径1.所以 d1v32 42 1 6.d2 x-32 42 1 4.所以 dmax 36. dm.16.o ox 2 cos ,(2)(法1)由(x 2)2 y2 1得圆的参数方程：是参数.y sin ,则包_2令皿_2 tx 1 cos 3 cos 3得 sin tcos 2 3t, J1 t2 sin() 2 3t2sin(3 .333t 44所以tmaxmin即上上的最大值

33、为3-3 ,最小值为3x 144此时 x 2y 2 cos 2sin 2 v15cos( ).所以x 2y的最大值为2 5 ,最小值为 2 J5 .y k 2 0.由于P(x,y)是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示,2k k 2k2两条切线的斜率分别是最大、最小值.3.34所以y_2的最大值为3-1,最小值为3-3- x 144令x 2y t ,同理两条切线在 x轴上的截距分别是最大、最小值.,2 mf由 d 1,得 m 2 55 .5所以x 2y的最大值为 2 5 ,最小值为 2 J5 .例20：已知A( 2,0) , B(2,0)，点P在圆(x 3)2 (y 4)2 4上运动，则 PA

34、2 PB2 的最小值是.解：设 P(x, y),则 PA2 |PB2 (x 2)2 y2 (x 2)2 y2 2(x2 y2) 8 2OP|2 8 .设圆心为 C(3,4),22则 OPmin OC r 5 2 3， |PA PB 的最小值为 2 32 8 26.练习：1：已知点P(x, y)在圆x2 (y 1)2 1上运动.(1)求义二的最大值与最小值；(2)求2x y的最大值与最小值. x 2解：(1)设k,则k表示点P(x, y)与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时，k取得最大值与x 2- 2k /. 3 v 1-. 3-. 3最小值.由1rL1,解得k的最大值为,最小值为 .k

35、2 13 x 233(2)设2x y m,则m表示直线2x ym在y轴上的截距.当该直线与圆相切时，m取得最大值与最小值.由1,解得 m 1 J5 , 2xy的最大值为1 卮最小值为1 J5.y 2u -的取值围.x 12设点P(x, y)是圆x2 y2 1是任一点，求分析一:利用圆上任一点的参数坐标代替X、y ,转化为三角问题来解决.解法一:设圆x2y1 上任一点 P(cos , sin )则有Xy sin0,2 )u sinsin21- ucos1u cos sin(u 2).即 u2 1 sin(tanu)sin(u2)又 sin(u 2 u2 1解之得：u分析二：u2的几何意义是过圆2

36、2x2 y2 1上一动点和定点(1,2)的连线的斜率，利用此直线与圆2y 1有公共点，可确定出 u的取值围.解法二：由uV21一 22, ,-得：y 2 u(x 1),此直线与圆x y1有公共点，故点(0,0)到直线的距离x 1u 2u2 1,13解得：u 34另外，直线y222 u(x 1)与圆x2 y2 1的公共点还可以这样来处理:y 2 u(x 1)由 22 消去 y 后得：(u 1)x(2u 4u)x (u 4u 3) 0,x y 1此方程有实根，故(2u2 4u)2 4(u2 1)(u2 4u 3) 0,13解之得：u 3.4说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的

37、围问题转化成三角函数的有关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便.3、已知点A( 2, 2), B( 2,6), C(4, 2),点P在圆x2 y2 4上运动，求PA2 |PB2 |PC2的最大值和最 小值.类型八：轨迹问题1例21、基础训练：已知点 M与两个定点O(0,0), A(3,0)的距离的比为，求点M的轨迹万程.2例22、已知线段 AB的端点B的坐标是(4, 3),端点A在圆(x 1)2 y2 4上运动，求线段 AB的中点M的轨迹方程.例23如图所示，已知圆O： x2y2 4与y轴的正方向交于 A点，点B在直线y2上运动，过B做圆。的切线，切点为C ,求

38、ABC垂心H的轨迹.分析：按常规求轨迹的方法，设 H (x, y),找x, y的关系非常又t.由于 H点随B , C点运动而运动，可考虑H , B, C三点坐标之间的关系.BC是切线OC BC , OA OC ,解：设 H(x,y), C(x ,y),连结 AH , CH ,则 AH BC , CH AB , 所以 OC / AH , CH / OA 所以四边形AOCH是菱形.所以CH | |OA 2 ,得yy 2,x.22又 C(x , y )满足 x y 4,所以x2 (y 2)2 4(x 0)即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质与菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程.做

39、题时应注意分析 图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法.例24已知圆的方程为x2 y2 r2,圆有定点P(a,b),圆周上有两个动点 A、B,使PA PB ,求矩形APBQ 的顶点Q的轨迹方程.分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解.解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB , PQ交于M ,显然OM AB, AB PQ ,在直角三角形AOM中，若设Q(x , y),则M (-a ,)一b).22t222由 OMAMOA ,即W)2 (f 1(x a)2 (y b)2 r2, 224也即x2 y2 2r2 (a2 b2),这便

40、是Q的轨迹方程.2222r , x2y2r22斛法一：设 Q(x,y)、A(x1，yi)、B% , y?),则 x1y12又PQ22r2(x1x2 丫佻).2222(x a) (y b)(x1 x?)(y1 v2又AB与PQ的中点重合，故x a x1 x2 , y b y1 y2,即(x a)2 (y b)2 2r2 2(x1x2 yyz)十，有 x2 y2 2r2 (a2 b2).这就是所求的轨迹方程.解法三： 设 A(rcos , r sin )、B(rcos , r sin )、Q(x, y),由于APBQ为矩形，故 AB与PQ的中点重合，即有x a r cos r cos ,y b r

41、sin r sin ,又由PA PB有 3nb Lsn-1r cos a r cos a联立、消去 、，即可得Q点的轨迹方程为x2 y2 2r2 (a2 b2).说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题 陷入困境之中.本题给出三种解法. 其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系.而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法.解法二涉与到了x1、x2、y1、y2四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆x2 y2 r2的参数方程，只涉与到两个参数、，故只需列出三个方程便可. 上述三种解法的共同之处是，利用了图

42、形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解.练习：1、由动点P向圆x2 y2 1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,APB=60,则动点P的轨迹方程是.解：设 P(x, y) . . APB =60,OPA=300. . OA AP , . |OP 2OA 2 , v;x2 y2 2 ,化简得22一22x y 4, 动点P的轨迹方程是x y 4.练习巩固：设 A( c,0), B(c,0)(c 0)为两定点，动点 P到A点的距离与到B点的距离的比为定值 a(a 0),求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为PAP(x, y).由 HPBa(a 0),得、2x c)c)22y2y化简得(1 a2)x

43、2(1a2) y2 2c(1 a2 )x c2(1 a2)0.当a 1时，化简得x22c(1 a2)1 a20,整理得(x2 a 2 1c)当a 1时，化简得x 0.所以当a 1时，P点的轨迹是以（一_c,0）为圆心，|_2ac_|为半径的圆; a 1|a 1当a 1时，P点的轨迹是y轴.2、已知两定点 A（ 2,0）, B（1,0）,如果动点P满足PA 2PB ,则点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的坐标是（x,y）.由PA 2PB ,得心x 2）2 y224（x 1）2 y2 ,化简得（x 2）2 y2 4,1MB ,问点M的轨 3.点P的轨迹是以（2, 0）为圆心，2为半径的圆，所求面

44、积为4 .4、已知定点B（3,0）,点A在圆x2 y2 1上运动，M是线段AB上的一点，且AM迹是什么?解：设 M (x, y), A(x1, y1) . AM-MB，.二(x x1，y y1) 313(3 x, y),1、x x13(3 x)1y必 -y 34.x1x 134y -y3点A在圆x2 y2.221 上运动，.x1y11 ,(Ox 1)2 (Oy)2 (x 7黄旦，点M的轨迹方程是（x -）2 y2 -916416例5、已知定点 B（3,0），点A在圆x2y2 1上运动,AOB的平分线交 AB于点M ,则点M的轨迹方程的轨迹方程是（x 3）2 y2 . 416练习巩固：已知直线y

45、 kx 1与圆x2是.解：设M （x, y）, A（x1，y）. . OM是 AOB的平分线，.网! !A，AM 1MB.由变式1可得点MMB OB 332y 4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形 OAPB ,求点P的轨迹方程解：设P(x, y) , AB的中点为M . OAPB是平行四边形，是OP的中点，点M的坐标为(I)，2 2且 OM ABy kx i经过定占八、C(0,1)OM CM ,OM CM邑中1)(f)2(yi)2 i .点p的轨迹方程是22x (y i) i.类型九：圆的综合应用例25、 已知圆x2 y2x 6y m0与直线x 2y 3 0相交于P、Q两点,O为原点，且OP OQ ,数m的值.分析：设P、Q两点的坐标为(xi ,必)、(X2, y2),则由k0P kOQX1X2y/20 ,再利用一元二次方程根与系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为y ,由直线i与圆的方程构造以y为未知数二次方程，由根与系数关系得出kop koQ的值，从而使问题得以解决.解法一：设点P、Q的坐标为(xi , yi)、(x2 , y2). 一方面，由 OPkOP kOQi,即打比 xi x21 ,也即：xix2 y1y2 0 .另一方面(xi , yi)、x(x2,