近世代数期末考试试卷及答案(正)(共5页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（C ）是子群。A、 B、 C、 D、2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A、a*b=a-bB、a*b=maxa,b C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|4、

2、设、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（ ）A、 B、 C、 D、5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群 D、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-变换群-同构。2、一个有单位元的无零因子的-交换环-称为整环。3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于-25-。4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-模n乘余类加群-同构。5、A=1.2.3 B=2.5.6 那么AB=-2-。6、若映射既是单

3、射又是满射，则称为-一一映射-。7、叫做域的一个代数元，如果存在的-不都等于零的元-使得。8、是代数系统的元素，对任何均成立，则称为-右单位元-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合作成一个群，如果满足对于乘法封闭；结合律成立、-消去律成立-。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是-交换环-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设集合A=1,2,3G是A上的置换群，H是G的子群，H=I,(1 2)，写出H的所有陪集。解：H的3个右陪集为：I,(1 2)，(1 2 3 )，(1 3)，(1 3 2 )，(2 3 )H的3个左陪集为：I,(1 2) ，(1 2

4、 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 )2、设E是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是E中的运算，（E，）是一个代数系统，问（E，）是不是群，为什么？答：（E，）不是群，因为（E，）中无单位元。3、a=493, b=391, 求(a,b), a,b 和p, q。解 ：方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102b=3×102+85102=1×85+17 由此得到 (a,b)=17, a,b=a×b/17=11339。然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a

5、-5b.所以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、若<G，*>是群，则对于任意的a、bG，必有惟一的xG使得a*xb。证明 ：设e是群<G，*>的幺元。令xa1*b，则a*xa*(a1*b)(a*a1)*be*bb。所以，xa1*b是a*xb的解。若x¢G也是a*xb的解，则x¢e*x¢(a1*a)*x¢a1*(a*x¢)a1*bx。所以，xa1*b是a*xb的惟一解。2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：ab当且仅当mab。证明：容易证明这样的关系

6、是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为a=xZ；mxa或者也可记为，称之为模m剩余类。若mab也记为ab(m)。当m=2时，Z2仅含2个元：0与1。近世代数模拟试题二一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。A、2阶B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个 B、5个 C、6个 D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。A、偶数 B

7、、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）A、（N,） B、（Z,） C、（2,3,4,6,12,|（整除关系） D、 (P(A),)5、设S3(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是-唯一-的，每个元素的逆元素是-唯一-的。2、如果是与间的一一映射，是的一个元，则

8、-。3、区间1，2上的运算的单位元是-2-。4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=24。5、环Z8的零因子有 -。6、一个子群H的右、左陪集的个数-相等-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-商群-。8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-特征-。9、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为-。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？解： 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，

9、等等，可得总共8种。2、S1，S2是A的子环，则S1S2也是子环。S1+S2也是子环吗？证： 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,bS1S2 有a-b, abS1S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b, abS1和a-b, abS2 ，因而a-b, abS1S2 ，所以S1S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、设有置换，。1求和；2确定置换和的奇偶性。解： 1，；2两个都是偶置换。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a，由理想的定义，因而R的任意元这就是说=R，证