2021年高考数学高分套路导数真题再现(解析版)

1、导数真题再现1.若函数f (x) = ax2+1图象上点(1f (1)处的切线平行于直线y= 2x+1 ,贝U a=(B. 0C.D. 1【解析】函数f (x) = ax2+1的导数为f' (x) = 2ax,可得点(1, f(1)处的切线斜率为2a,由点(1, f (1)处的切线平行于直线y=2x+1,可得2a=2,解得a=1,故选：D.2.函数 f (x)=e -巳C.的图象大致为()A .【解析】函数f ( - x)=2则函数f (x)为奇函数，图象关于原点对称，排除 A,f (x),B.当 x= 1 时，f (1) = e>0,排除D.当x- +8时，f (x) 一+8,

2、排除C,故选：B.3.设函数f (x)=x3+ (a- 1) x2+ax.若f (x)为奇函数，则曲线 y=f (x)在点(0,处的切线方程为C. y=2x【解析】函数 f (x) = x3+ (a - 1) x2+ax，若 f (x)为奇函数，f ( - x) = - f (x),-x3+ (a T) x2- ax= - ( x3+ (aT) x2+ax) = - x3 - (a- 1) x2 - ax.所以：(a-1)x2=- (a-1)x2可得 a= 1,所以函数f (x)=x3+x,可得 f'(x)= 3x2+1,曲线y=f (x)在点(0, 0)处的切线的斜率为：1,则曲线y

3、=f (x)在点(0, 0)处的切线方程为：y=x.故选：D.的极值点，则f (x)的极小值为(4.若 x= - 2 是函数 f (x) = ( x2+ax- 1) ex 1- oB. - 2e 3C. 5e 3D. 1【解析】函数f (x) = ( x2+ax - 1) ex 1,可得 f' (x) = ( 2x+a) ex 1+ (x2+ax-1) ex 1, x= - 2 是函数 f (x) = ( x2+ax- 1) ex 1 的极值点,(3 - 2a) = 0.解得可得：f' ( 2) = ( 4+a) e 3+ (4 2a T) e 3= 0,即4+a+可得 f (

4、x) = ( 2x-1) ex 1+ (x2-x-1) ex 1, = ( x2+x-2) ex1,函数的极值点为:x= 2, x= 1 ,当xv - 2或x>1时，f' (x) > 0函数是增函数，xC ( - 2, 1)时，函数是减函数, x=1时，函数取得极小值：f (1) = ( 12- 1 -1) e1 1= - 1.故选：A.5.若函数f (x) = x-ysin2x+asinx在(-8, +oo)单调递增，则 a的取值范围是(A. T, 1B. -1,D. -1, -4tJ【解析】函数f (x) = x sin2x+asinx 的导数为 f' (x)

5、=1 3cos2x+acosx,由题意可得f(x) >0恒成立，即为1-cos2x+acosx>0,cos2x+acosx>0, 即有t= cosx (一1*D,即有 5-4t2+3at>0,t=0时，不等式显然成立;50vtwi时，3a >4- - T54t 在(0T1递增,可得t= 1时，取得最大值-1,可得3a* 1,即a>当-14V0时,4t |在-1,0)递增，可得t= - 1时，取得最小值1可得3a<,即a-. J综上可得a的范围是-另解：设 t=cosx ( iqw,即有 5- 4t2+3at>Q由题意可得5- 4+3a>0,

6、且5-4-3a>Q解得a的范围是-L ,上.故选：C.6 .已知函数f (x) = exlnx, f' (x)为f (x)的导函数，则f' (1)的值为 .【答案】e【解析】函数 f (x) = exlnx,则 f' (x) = exlnx工？ex；. f' (1) =e?ln1+1?e=e.故答案为：e. 工7 .若函数f (x) =2x3- ax2+1 (aCR)在(0, +oo)内有且只有一个零点，则 f (x)在-1, 1上的最大值 与最小值的和为.【答案】-3【解析】,函数f (x) =2x3-ax2+1 (aCR)在(0, +oo)内有且只有一

7、个零点，f' (x) = 2x (3x-a), xC (0, +°°),当 awo时，f'(x) =2x(3xa) >0,函数f (x)在(0, +8)上单调递增，f (0) =1,f (x)在(0, +8)上没有零点，舍去；当 a>0时，f (x) = 2x (3x-a) > 0 的解为 x>-,.f (x)在(0，年)上递减，在(0，+°°)递增，又f (x)只有一个零点，f (二)=-1y+1 = 0,解得a=3,f (x) = 2x3 - 3x2+1 , f' (x) = 6x (x - 1) ,

8、x C - 1, 1,f' (x) >0 的解集为(-1,0),f (x)在(-1, 0)上递增，在(0, 1)上递减，f (- 1) =- 4, f (0) = 1, f (1) = 0, f (x) min = f ( 1) = 4, f (x) max = f (0) = 1 , .f (x)在T, 1上的最大值与最小值的和为：f (x) max+f (x) min= - 4+1 = - 3.8 .曲线y= 2lnx在点(1,0)处的切线方程为 .【答案】y=2x-2【解析】y=2lnx,，y'=Z, 当x= 1时，y'= 2,曲线y= 2lnx在点（1,0

9、）处的切线方程为 y=2x-2.故答案为：y=2x-2.9 .已知函数f (x) = 2sinx+sin2x,贝U f (x)的最小值是 .【答案】.，：2【解析】由题意可得 T = 2 7t> f (x) = 2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f (x) = 2sinx+sin2x在0 , 2兀)上的值域，先来求该函数在0, 2城上的极值点，求导数可得 f' (x) = 2cosx+2cos2x=2cosx+2 ( 2cos2x - 1) = 2 (2cosx 1)( cosx+1),令 f' ( x) =0 可解得 cosx=5"或 cosx= -

10、 1,可得此时x=兀或器； R-JJy= 2sinx+sin2x的最小值只能在点 x=上-,兀或和边界点x=0中取至 33计算可得 f (子)=p-, f (力=0, f (手)f (0) = 0,二函数的最小值为-：F210 .曲线y= (ax+1) ex在点(0, 1)处的切线的斜率为-2,则a=-3【答案】-3【解析】曲线 y= (ax+1) ex,可得 y = aex+ (ax+1) ex,曲线y= (ax+1) ex在点(0, 1)处的切线的斜率为-2,可得：a+1 = - 2,解得a =-3.故答案为：-3.11 .曲线y=2ln (x+1)在点(0, 0)处的切线方程为y=2x

11、.【答案】y=2x【解析】: y=2ln (x+1),，y'= ,当x= 0时，y'= 2, .曲线y=2ln (x+1)在点(0, 0)处的切线方程为 y=2x.故答案为：y=2x.12 .若曲线 尸工干(3>1)的切线l与直线 产片工平行，则l的方程为.【答案】3x - 4y+5 = 0【解析】设切点为(m, n),可得m+的导数为y = 1Cx-1 产由切线l与直线厂平行，可得1-1一=,解得m=3, 4(1产4即有切点为(3, 耳 可得切线的方程为 y一二号(X 3),即为 3x 4y+5=0.故答案为：3x4y+5=0.13 .已知aCR,设函数f (x) =

12、ax - lnx的图象在点(1, f (1)处的切线为1,则l在y轴上的截距为 .【答案】1【解析】函数f (x) = ax - lnx,可得f' (x) = a-,切线的斜率为：k= f' (1) = a- 1,切点坐标(1, a),切线方程1为：y- a= (aT) (x-1),1在y轴上的截距为：a+ (a-1) ( - 1) = 1.故答案为：1.14 .曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 . 工【答案】x- y+1 = 0【解析】曲线 y=x2+1,可得y= 2xy,切线的斜率为：k= 2-1=1.切线方程为：y - 2= x- 1,即：x - y+1 = 0

13、.故答案为：x- y+1 = 0.15 .已知f(x)为偶函数，当xv 0时，f(x)= 1n (-x)+3x,则曲线y=f (x)在点(1, -3)处的切线方程是.【答案】2x+y+1 =0.【解析】f (x)为偶函数，可得f (- x) = f (x),当 xv 0 时，f (x) = In ( - x) +3x,即有x>0 时，f (x) = lnx 3x, f '(x) = 3,可得 f(1) =ln13= - 3, f'(1) =1 3= 2,则曲线y = f (x)在点(1, - 3)处的切线方程为 y- (-3) = - 2 (x-1),即为 2x+y+1

14、=0.故答案为：2x+y+1 =0.16 .已知f(x)为偶函数，当xwo时，f (x) =e x: 1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .【答案】y=2x【解析】已知f (x)为偶函数，当xwo时，f (x) = e x 1-x,设 x>0,则-x<0, f (x) = f ( - x) = ex 1+x,则 f' (x) =ex 1+1, f' (1) = e0+1=2.二曲线y=f (x)在点(1, 2)处的切线方程是 y - 2= 2 (x-1).即y=2x.故答案为：y=2x.17 .若直线y= kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是

15、曲线 y= ln (x+1)的切线，则 b=.【答案】1- ln2【解析】设 y= kx+b 与 y= lnx+2 和 y= ln (x+1)的切点分别为(x1，kxi+b)、(X2, kx2+b);由导数的几何意义可得 k=一，得xi=x2+1rki+b-lrLXi + 2再由切点也在各自的曲线上，可得、I k 1?十b 二.n (叼+1)_1联立上述式子解得“町力；_ 1卜丁三从而 kxi+b=lnxi+2 得出 b= 1 - ln2.18 .已知函数f (x) = ax3+x+1的图象在点(1, f (1)处的切线过点(2, 7),则a=.【答案】1【解析】函数 f (x) = ax3+

16、x+1 的导数为：f' (x) = 3ax2+1, f' (1) = 3a+1，而 f (1) = a+2,切线方程为：y-a-2= (3a+1) (x- 1),因为切线方程经过(2, 7),所以 7-a-2= ( 3a+1) (2-1),解得 a=1.故答案为：1.三.解答题(共22小题)19.设函数 f (x) = ax2 (4a+1) x+4a+3ex.(I)若曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线与x轴平行，求a;(I)若f (x)在x= 2处取得极小值，求 a的取值范围.【答案】(1) 1(2) (, +8).2【解析】(I)函数f (x) =ax2 (4a

17、+1) x+4a+3ex的导数为f'(x) = ax2- (2a+1) x+2ex由题意可得曲线 y=f (x)在点(1, f (1)处的切线斜率为 0,可得(a 2a 1+2) e= 0,且 f (1) =3ewq 解得 a= 1 ；(I) f (x)的导数为 f' (x) = ax2- (2a+1) x+2 ex = ( x 2) (ax 1) ex,若 a=0 则 xv 2 时，f' (x)>0, f(x)递增；x>2,f'(x)< 0, f (x)递减.x=2处f (x)取得极大值，不符题意；若 a>0,且 a=l,则 f'

18、; (x) =1 (x- 2) 2ex>Q f (x)递增，无极值；若a>,则-Lv2, f (x)在( a2）递减；在（2, +8）递增,可得f （x）在x=2处取得极小值;若0V av=，则工>2,2 af （x）在（2, -1）递减；在（X, aa+ OO), (8, 2)递增,可得f （x）在x= 2处取得极大值，不符题意;(-8,）递减,若a<0,则工<2, f （x）在（！，2）递增；在（2, +8）, aa可得f （x）在x= 2处取得极大值，不符题意.综上可得，a的范围是（/，+8）.20.已知函数 f (x) = ( 2+x+ax2) ln (1

19、+x) - 2x.(1)若 a= 0,证明：当1vxv 0 时，f (x) v 0；当 x>0 时，f (x) >0；（2）若x= 0是f （x）的极大值点，求 a.【答案】见解析【解析】(1)证明：当 a=0 时，f (x) = ( 2+x) ln (1 + x) - 2x, (x> 1).f' (x>ln(x+l)(x+l )可得 xC (- 1, 0)时，f(x) WQ xe (0, +oo)时，f(x) >o f' （x）在（-1, 0）递减，在（0, +8）递增, f' (x) # (0) = 0,f (0) = 0.f (x)

20、= ( 2+x) In (1+x) - 2x 在(-1, +8)上单调递增，又 当1vxv0 时，f (x) V 0;当 x> 0 时，f (x) > 0.(2)解：由 f (x)f' (x) = ( 1+2ax)=(2+x+ax2) In (1 + x) - 2x,得,”、2+-3 ax2-x+(l + 2ai) (1-Fx)ln(x+1)ln(1+x)+-2= 令 h (x) =ax2-x+ (1+2ax) (1+x) ln (x+1), h' (x) = 4ax+ (4ax+2a+1) ln (x+1).当 a>Q x>0 时，h' (x)

21、 >0, h (x)单调递增，h (x) >h (0) = 0,即 f' (x) >0, .f (x)在(0, +8)上单调递增，故 x=0不是f (x)的极大值点，不符合题意.1 一%当 a<0 时，h" (x) = 8a+4aln (x+1) +,u+1显然h（x）单调递减,令 h(0) =0,解得 a= - J-6. 当1vxv0 时，h（x） >0,当 x>0 时，h（x） < 0,h' （x）在（-1, 0）上单调递增，在（0, +8）上单调递减, h' (x)号i' (0) = 0, .h (x)单

22、调递减，又h (0) = 0, 当1vxv0 时，h (x) >0,即 f' (x) > 0,当 x>0 时，h (x) v 0,即 f' (x) v 0, f (x)在(-1, 0)上单调递增，在(0, +8)上单调递减， .x=0是f (x)的极大值点，符合题意；H6a1布.若一一v a< 0,贝 U h" (0) = 1+6a> 0, h"(E 4 自-1) = (2a - 1) (1已4且)<0, .h(x) = 0在(0, +8)上有唯个零点，设为 xO,当 0vxvx。时，h" (x) >0,

23、h'(x)单调递增， h' (x) > h' (0) = 0,即 f' (x) > 0, f (x)在(0, x°)上单调递增，不符合题意；若 av ,贝U h" (0) = 1+6av0, h”(31) = ( 1 - 2a) e2>0,6e2 .h(x) = 0在(-1, 0)上有唯一一个零点，设为x1，当 xkx< 0时，h" (x) < 0, h'(x)单调递减， h' (x) >h' (0) =0,h (x)单调递增，h (x) v h (0) = 0,即 f&#

24、39; (x) v 0, f (x)在(x1, 0)上单调递减，不符合题意.综上，a=21.已知函数 f (x) = aex- lnx - 1.(1)设x= 2是f (x)的极值点，求a,并求f (x)的单调区间；(2)证明：当a工时，f (x) >0.e【答案】见解析【解析】(1) ,一函数 f (x) = aex- lnx - 1.x>0, f' (x) = aex 1.x=2是f (x)的极值点，f，(2) =ae2-l = 0,解得 a = L,- f (x) = -ex- Inx - 1, 1- f (x) =-巳2e22e£ 工当 0vxv 2 时，f

25、' (x) < 0,当 x> 2 时，f' (x) >0,.f (x)在(0, 2)单调递减，在(2, +8)单调递增.(2)证明：当a工时，f (x)ex设 g (x) = - Inx - 1,贝U WeF 1由/ (x): = 0,得 x= 1 ,e y当 0vxv 1 时，g' (x) V0,当 x> 1 时，g' (x) >0,1. x= 1是g (x)的最小值点,故当 x> 0时，g (x)为(1) =0,当 a时，f (x) >Q22.已知函数f (x)=(1)求曲线y=f (x)在点(0, - 1)处的切线

26、方程;(2)证明：当 a>l时，f (x) +e>0.Caz+L)(k-2)【答案】见解析 解析(1)ff' (0) =2,即曲线y=f (x)在点(0, - 1)处的切线斜率 k=2,曲线y=f (x)在点(0, - 1)处的切线方程方程为 y- (-1) = 2x.即2x - y - 1=0为所求.(2)证明：函数f (x)的定义域为：R,n/ f > (2ax+l) eK-(ai2+x-l) eK可信f-可 令f' (x) =0,可得0.当 xE 18 丁 上)时，f' (x) V 0, xf (J-, 2)时，f' (x) >0,

27、 xC (2, +8)时，r (x) V aa.f (x)在(8,工)，(2, +8)递减，在(一-L2 2)递增， aa注意到a>l时，函数g (x) = ax2+x- 1在(2, +对 单调递增，且 g (2) = 4a+1 >0函数f (x)的图象如下:'a>l, £ CO. 3,则 f(1):_丁 a e, aa1 f (x)一 -ea >- e,min c，当 a>l时，f (x) +e>Q23.已知函数 f (x) = ex- ax2.(1)若 a= 1,证明：当 x>0时，f (x) >1;(2)若f (x)在(0

28、, +8)只有一个零点，求 a.【答案】见解析【解析】证明：(1)当a=1时，函数f (x) = ex-x2.贝U f' (x) = ex- 2x,令 g (x) = ex- 2x,则 g' (x) = ex- 2,令 g' (x) =0,得 x= ln2.当 xC (0, ln2)时，g' (x) <0,当 xC (ln2, +川 时，g' (x) >0,.g (x)测(ln2) = eln227n2=2 2ln2>0, .f (x)在0, +8)单调递增，f (x)耳(0) =1,解：(2)方法一、，f (x)在(0, +8)只有一

29、个零点？方程ex- ax2=0在(0, +8)只有一个根,? a=一彳在(0, +00)只有一个根，即函数y = a与G (x) =J=L的图象在(0, +8)只有一个交点.G,(力=、当 xC (0, 2)时，G' (x) V 0,当C ( 2, +8)时，G' (x) >0, .G (x)在(0, 2)递减，在(2, +8)递增，当一0 时，G (x) 一+8,当一+OO 时，G (x) 一+8,2 .f (x)在(0, +8)只有一个零点时， a=G (2)=.方法二：当 awo时，f (x) = ex-ax2>0, f (x)在(0, +却 没有零点.当a&

30、gt;0时，设函数h (x) = 1 - ax2ex. f (x)在(0, +8)只有一个零点？ h (x)在(0, +8)只有 个零点.h' (x) = ax (x 2) e x,当 xC (0, 2)时，h' (x) v 0,当 xC ( 2, +引时，h，(x) > 0, h (x)在(0, 2)递减，在(2, +8)递增，,h(工)111Tl二h(Z)=1 当，(x>0.e当 h(2) <0 时，即 a>-,由于 h(0) = 1,当 x>0 时，ex>x2,可得 h (4a) = 1 一工一 =一：,：)3当h (2) > 0

31、时，即h (x)在(0, +8)没有零点,当h (2) = 0时，即h (x)在(0, +8)只有一个零点,IE曰=1 -上>0. h (x)在(0, +8)有 2 个零点x> 0lx十综上，f (x)在(0, +8)只有一个零点时，a= 24.已知函数f (x) =工-lnx.(I)若 f (x)在 x= x1, x2 (x1a2)处导数相等，证明： f (x1)+f (x2)> 8 - 8ln2;(I)若aW3- 41n2,证明：对于任意 k>0,直线y=kx+a与曲线y = f (x)有唯一公共点.【答案】见解析【解析】证明：(I) ,函数f (x) = '

32、;/In - 1nx,f (x)在x=x1, x2 (x1次2)处导数相等,0+2- 4ln2T，对于任意的 aCR及kC (0, +00),直线y=kx+a与曲线y = f (x)有公共点,由 f (x) = kx+a,彳导 k=-a设 h (x)=近4,则 h'(x)=V xInK-'-l+a2飞(工”l+a其中g (x)=一lnx,1 1 _ 1 1而不- xl,由基本不等式得：历十匹七出石,.- X1X2, /. X1X2>256,由题意得 f(Xi)+f(x2)=-.nx 2 ="2/x ix 2 - ln(X1X2)，设 g (x) =7p/x_ln

33、i，则/富二-4)列表讨论：(0, 16)16(16, +8)g' (x)一g (x)J .g (x)在256, +8)上单调递增， -g(X1X2) > g (256) = 8- 8ln2, f(X1) +f(X2)>8- 8ln2.(I)令 m=e(a1+k n=(ill±L)k则 f (m) - km - a> |a|+k- k- a>0,1 af (n) kn av n (k)由Vn 口存在 XoC (m, n),使 f(X0) = kxo+a,由(1)知 g (x)为(16),又 a<3- 4ln2 g (x) 1+aw g (16)

34、1+a= - 3+4ln2+awq，h' (x) <0,即函数h (x)在(0, +8)上单调递减,方程f (x) - kx- a= 0至多有一个实根,综上，aW3- 41n2时，对于任意 k>0,直线y=kx+a与曲线y=f (x)有唯一公共点.25.已知函数f (x)=一 a(x2+x+1).(1)若a= 3,求f (x)的单调区间;(2)证明：f (x)只有一个零点.【答案】见解析【解析】(1)当 a=3 时，f (x) =x3-3 (x2+x+1),3所以 f' (x) = x2 - 6x - 3 时，令 f' (x) =0 解得 x = 3

35、77;,当 xC (8, 3-25), xC (3+2寸' +8)时，f，(x) >0,函数是增函数，当xC (3-2眄，342® 时,f，(x) <0,函数是单调递减，综上，f (x)在(-£ 3-2、后)，(3+2J1, +8),上是增函数，在(3-2/5，3+2点)上递减.(2)证明：因为 x2+x+1= (x+工),岂>。，2 43所以f (x) =0等价于三-a二。，3( x4工+1)今一立，3(xz+z+l)22则(必二工"("1)右十2 >0,仅当x= 0时，g' (x) =0,所以g (x)在R上是

36、增函数; 3Q2 ) 2g (x)至多有一个零点，从而 f (x)至多有一个零点.又因为 f(3a-1) = - 6a2+2 a - -= - 6 (a-*) 2-v。， 366f (3a+1) =y>0,故f (x)有一个零点，综上，f(x)只有一个零点.26.已知函数 f (x) =§-x+alnx.(1)讨论f (x)的单调性;(2)若f (x)存在两个极值点X1, X2,证明：±_<a-2. 町-”【答案】见解析【解析】(1)函数的定义域为(0, +8),函数的导数f' (x)=-上-1+且=-Z-aHl2 V23 K X设 g (x) = x2

37、 - ax+1 ,当awo时，g (x) >0恒成立，即f' (x) v 0恒成立，此时函数 f (x)在(0, +8)上是减函数,当a>0时，判别式= a2-4,当0vaW2时，即g(x)即f' (x)wo恒成立，此时函数f(x)在(0,+8)上是减函数,当a>2时，x, f'(x), f (x)的变化如下表:x0f'(x)-0f(x)递减+递增递减综上当aW2时，f (x)在(0, +8)上是减函数,当 a>2 时，在(0,和(空空 Ji,+8)上是减函数,)上是增函数.(2)由(1)知 a>2, 0vxi1vx2, xix2=

38、 1,贝U f (x1)- f (x2)= ( x2 - x1)( 1+-) +a (lnx1 - lnx2)= 2 (x2 - x1)+a (lnx1 - lnx2), 町1rz则Ins 1 -InK 9则问题转为证明 乙<1即可,工厂K?即证明 lnx1 - lnx2>x1 - x2,则 lnx Tx1 一即 lnxi+inxi>xi,勺即证21nxi>x1-在(0, 1)上恒成立，|勺设 h (x) = 21nx - x+ , (0vxv 1),其中 h (1) =0,y2KI则h (x)在(0, 1)上单调递减，1. h (x) > h (1),即 2ln

39、x - x+故 21nx>x -,) -f(y o)则!-< a- 2成立.(2)另解：注意到f (§) =x-即 f (x) +f ( ) =0,由韦达 7E 理得 x1x2= 1 , x1 + x2= a>可得 f (x2)+f(一)=0,即 f ( |s2要证<a-2,只告町F即证 2a1nx2 - ax2+0, (x2> 1构造函数 h (x) = 2a1nx - ax+,22XX>0,-alnx = - f (x),>2,得 0vx11vx2, x1,玉2x1)+f (x2)= 0,-£(米)-£(工 2) 町一

40、K?),(x>1), h，(x) =一",? wo,求导得 h'(x) =Z- 1-L=-= &T 产 <0h (x)在(1, +8：1. h (x) < h (1)=2a1nx - ax+-< 0 月 X即i二<町一M2X2耳X上单调递减，0,戈立.，即 2alnx2 ax2+<0, (x2>1)成立.町:a - 2成立.27.已知函数 f (x) = ax3- 3 (a+1) x2+12x.(1)当a>0时，求f (x)的极小值；(I)当awo时，讨论方程f (x) =0实根的个数.【答案】见解析【解析】f (x)

41、= 3ax(2, +8)-6 (a+1) x+12=3(ax- 2) (x- 2).(1)当a。时，令f' (x) = 0,得x= 2或耳十；当0vav 1时，有列表如下：ax(-8, 2)22)f' (x)+0f (x)极大值极小值故极小值为.&百I2>Q故f (x)在R上单调递增，无极小值;当 a=1 时，有三二2,贝U f (x) = 3 (x-2)当a>1时，有Z<2,列表如下：(2, 2)2(2, +8)ax e冬 if (x)+0f (x)极大值极小值故极小值为f (2) = 12-4a.(I)解法一：当 a= 0 时，令 f ( x) =

42、 - 3x2+12x= - 3x (x - 4),得 x= 0 或 x= 4,有两个根;当a<0时，令f' (x) =0,得 x= 2 或肝(，有 2,列表如下:昌2)af (x)0+0f (x)极小值/极大值故极大值为f (2) = 12-4a>0,极小值 K幻空空L<o因此f汽)=0有三个根.a J解法二：当a= 0 时，令 f (x)=-3x2+12x= - 3x ( x - 4),得 x= 0或 x= 4,有两个根;当 a<0时，f (x) =xax2-3 (a+1) x+12,对于二次函数 y=ax2-3 (a+1) x+12, x= 0 不是该二次函

43、数的零点，4=9 (a+1) 2- 24a>0,则该二次函数有两个不等的非零零点，此时，方程f (x) = 0有三个根.28.已知函数 f (x) =ex (ex-a) - a2x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)求a的取值范围.【答案】见解析【解析】(1) f (x) = ex (exa) - a2x= e2x-exa - a2x, - f (x) =2e2x-aex- a2= ( 2ex+a)(ex- a),当a=0时，f' (x) > 0恒成立， .f (x)在R上单调递增,当 a>0 时，2ex+a>0,令 f' (x) =0,解

44、得 x= Ina, 当xv Ina时，f' (x) v 0,函数f (x)单调递减，当x>Ina时，f' (x) >0,函数f (x)单调递增，当 a<0时，ex-a>0,令，(x) =0,解得 x= In当xvln (-)时，f' (x) v 0,函数f(x)单调递减， 当x>ln (-管)时，(x) >0,函数f(x)单调递增， 综上所述，当a=0时，f (x)在R上单调递增，当a>0时，f (x)在(-8,3)上单调递减，在(lna, +川上单调递增,当 av 0 时，f (x)在(-£ln (-子)上单调递减，

45、在(ln (-),+8)上单调递增,(2)当a=0时，f (x) =e2x>0恒成立，当 a>0时，由(1)可得 f(x)min=f (lna) =- a2lna >Q1. lna<0, .1 0V a< 1当a<0时，由(1)可得:f ( x) min = f ( ln (一年)3”丁-a2ln (一告)In (一3综上所述a的取值范围为-24,129.设函数 f (x) = ( 1 - x2) ex.(1)讨论f (x)的单调性；(2)当xRO时，f (x) <ax+1,求a的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)因为 f (x) = ( 1 -

46、x2) ex, x R,所以 f' (x) = ( 1 - 2x- x2) ex,令f' (x) =0可知x= - 1却百，当 xv 1走或 x>- 1 + 6时 f' (x) < 0,当-1 遭vxv 1+，万时 f' (x) > 0,所以 f (x)在(-°°, - 1- J2), (- 1+1, +°°)上单调递减，在(-1 - 1+/_2)上单调递增;(2)由题可知f (x) = ( 1 - x) (1 + x) ex.下面对a的范围进行讨论：当 a>l时，设函数 h (x) = ( 1 x

47、) ex,则 h' (x) = xex< 0 (x>0),因此h (x)在0, +°°)上单调递减，又因为h (0) =1,所以h (x) < 1,所以 f (x) = ( 1 + x) h (x)a+1Wax+1;当 0v av 1 时，设函数 g (x) = ex- x- 1,则 g' (x) = ex- 1 >0 (x>0),所以g (x)在0, +8)上单调递增，又 g (0) =1_0_1=0,所以 exsx+1.因为当 0vxv 1 时 f (x) > ( 1 x) (1+x) 2,所以(1x) (1+x) 2

48、- ax- 1 = x (1a xx2),a/R1取 x0=e (0, 1),贝 U(1 x0)( 1+x。)2 ax0 1 = 0,所以 f (x0)> ax0+1,矛盾；当 awo时，取 x0= J J 1 C (0, 1),则 f (x0)> 1 1 - x0) 11+x0)2= 1 知x0+1 ,矛盾；综上所述，a的取值范围是1, +8).30.已知函数 f (x) =excosx-x.(1)求曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；河(2)求函数f (x)在区间0, ;7上的最大值和最小值.【答案】见解析0,【解析】(1)函数 f (x) = excosx-

49、 x 的导数为 f' (x) = ex (cosx- sinx) - 1, 可得曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线斜率为 k=e° (cos0- sin0) - 1 切点为(0, e°cos0-0),即为(0, 1),曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为 y=1;(2)函数 f (x) = excosx-x 的导数为 f' (x) = ex (cosx- sinx) - 1,令 g (x) = ex (cosx- sinx) - 1,贝U g (x)的导数为g'(x)=ex(cosx sinx sinx cosx)=2

50、ex?sinx,qrr当 xC 0,-,可得 g' (x) = - 2ex?sinx<Q即有g (x)在0, *-递减，可得g (x)为(0) =0,则f (x)在0,弓-递减，即有函数f (x)在区间0,工上的最大值为f (0) =e0cos0-0=1；2IT最小值为f (萼)=-z- JTJLJTi c cos=-.22231.已知函数 f (x) = ax2axxlnx,且 f (x) >Q(1)求 a;(2)证明：f (x)存在唯一的极大值点x0,且 e 2<f (x0)v 2 2.【答案】见解析【解析】(1)解：因为 f (x) = ax2 - ax - x

51、lnx = x (axalnx) (x>0),则 f (x) >0等价于 h (x) =ax-a-lnx>Q 求导可知 h' (x) = a -.则当awo时h z (x) < 0,即y=h (x)在(0, +8)上单调递减,所以当 x0>1 时，h (x0) < h (1) =0,矛盾，故 a>0.因为当0vxv工时h' (x) v 0、当x>工时h' (x) > 0, aa所以 h (x) min = h ()a又因为 h (1) = a-a- ln1 = 0,所以上=1,解得a=1;a另解：因为f (1) =

52、0,所以f (x) >0等价于f (x)在x> 0时的最小值为f (1),所以等价于f (x)在x=1处是极小值,所以解得a=1;(2)证明：由(1)可知 f (x) = x2 - x- xlnx, f' (x) = 2x 2 Tnx,令 f' (x) =0,可得 2x 2 lnx = 0,记 t (x) = 2x- 2- Inx,贝U t' (x) = 2 , Tt令 t' (x) =0,解得：x = L,所以t (x)在区间(0, 1)上单调递减，在(-1, +oo)上单调递增，x2, +8)上为正,所以 t (x) min= t (-) = l

53、n2 - 1V 0,从而 t (x) = 0 有解，即 f x x) =0 存在两根 xo, x2,且不妨设f' (x)在(0, x°)上为正、在(x0, x2)上为负、在所以f (x)必存在唯一极大值点x0,且2x0-2-lnx0= 0,所以 f (x0) = /0 2 x0 x°lnx0=工口 2 x0+2x0 2y 0上 = *0 -由 x0V-y可知 f (x0)V (x0 一)max =122由f'(L) V 0 可知 x°vx0,十)上单调递减,当a<0时，令f (x) = 0,解得:所以f (x)在(0, x0)上单调递增，在(

54、所以 f (x0) >f () = ：r;综上所述，f (x)存在唯一的极大值点 x0,且e 2vf (x0) V 2 2.32.已知函数 f (x) = lnx+ax2+ (2a+1) x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)当 av 0 时，证明 f (x) w-上-2.4a【答案】见解析【解析】(1)解：因为 f (x) = lnx+ax2+ (2a+1) x,求导 f，(x) =+2ax+ (2a+1) = 2曰/+(Za+1)K+I =1,(*>。),当a=0时，f' (x) =L+1>0恒成立，此时y=f (x)在(0, +8)上单调递增；鼠当a>0

55、,由于x>0,所以(2ax+1) (x+1) >0恒成立，此时y=f (x)在(0, +8)上单调递增;因为当 xC (0, - L) f'(x) >0、当 xC ( -L, +8)f，(x) V0,2a2a所以y=f (x)在(0,-L)上单调递增、在(-+8)上单调递减.综上可知：当aRO时f (x)在(0, +8)上单调递增，当a<0时，f (x)在(0,-一)上单调递增、在(-，+8)上单调递减；%2a(2)证明：由(1)可知：当a<0时f (x)在(0,-一)上单调递增、在(-一，+oo)上单调递减,2a2a所以当 X= - 1时函数 y = f

56、 ( x)取最大值 f ( x) max= f ( ：T) = _ 1 _ ln2 - +ln (-).2a2a4a a从而要证f (x) <-2,即证f (-一)<-2,<-1 + ln2.4a2a 4a即证一 1 In2+ln () &-2, 即证 () +ln ()4a a 4a2 aa令t.=-,则t>0,问题转化为证明：- t+lnt<- 1+ln2.(*)令 g (t) = - t+lnt,则 g' (t) =- -1-+y ,> 0,当 t>2 时 g' (t) v 0,令 g' (t) = 0 可知 t = 2,则当 0V t<2 时 g' (t)所以y=g (t)在(0, 2)上单调递增、在(2, +8)上单调递减, 即 g (t) 0(2)=-二X2+n2= - 1 + ln2,即(*)式成立，所以当a<0时，f (x) w-2成立.33.已知函数 f (x) = ae2x+ (a 2) ex-x.(1)讨论f (