2020版高考数学二轮复习分层设计(全国通用)第四层热身篇：专题检测(十三)概率

1、专题检测（十三）A组一一“6+3+3”考点落实练-17 -、选择题1.（2019全国卷出）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是1 A.6b.41C.O31 D.2解析：选D 设两位男同学分别为 A, B,两位女同学分别为a, b,则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示Ub bfi A-d b-a A-W H收小（画7的情况）共有12由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果 一一12 1 ,种，故所求概率为 万=2.故选D.2.已知定义在区间3,3上的函数f(x) = 2x+m 满足 f(2)=6,在 3, 3上任取一个实数x,则使得f（

2、x）的值不小于4的概率为（1B.31 C.2解析：选 B .f（2） = 6-22+ m= 6,解得 m= 2.311P=彳.故选B.3- ( 3)3由 f(x)>4,得 2X+ 2>4,即 x>1 ,而 xC -3, 3,故根据几何概型的概率计算公式，得f（x）的值不小于4的概率3.（2019广东六校第一次联考）在区间兀兀上随机取两个实数a, b,记向量m=（a,4b), n=(4a, b),则 mn>47t A.6 D.3的概率为()兀B.i 了兀D一百解析：选B 在区间兀，向上随机取两个实数 a, b,图所示的正方形内部及其边界上.因为m n = 4a2+ 4b2

3、>4 t?则点（a, b）在如所以a2+ b2>兀2,满足条件的点（a, b）在以原点为圆心，兀为半径的圆外部（含边界），且在正方形内（含边界）,24兀2兀如图中阴影部分所示，所以 mn>4/的概率P=-4兀兀=i-4,故选 B.4.（20i9成都第一次诊断性检测）齐王有上等、中等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为4A.95B.92C.37D.9解析：

4、选C将齐王的上等、中等、下等马分别记为ai, a2a3,田忌的上等、中等、下等马分别记为bib2, b3,则从双方的马匹中随机各选一匹进行比赛,其对阵情况有ai biaib2,aib3, a2bi, a2b2,a2b3, a3bi, a3b2, a3b3,共9种，其中齐王的马获胜的对阵情况有aibiaib2,aib3, a2b2, a2b3a3b3,共6种，所以齐王的马获胜的概率 P=6 = 2,故选C.9 35.从4名男生和2名女生中任选3人参加某项活动，则所选的3人中女生人数不超过概率是（）A.0.8B.0.6C.0.4D.0.2解析：选A 设事件Q为“所选3人中女生人数不超过 i，事件M

5、为“所选3人中女生人数为i”，事件N为“所选3人中女生人数为0”，则事件M, N是互斥事件.4名男生分别记为i, 2, 3, 4; 2名女生分别记为a, b.从4名男生和2名女生中任选3人有20种不同的结果，分别为i , 2, 3, i , 2, 4,1 , 2, a, 1 , 2,b, 1 , 3, 4, 1 , 3, a, 1 , 3, b, 1 , 4, a, 1 , 4,b, 2, 3, 4, 2 , 3, a, 2, 3,b, 2, 4, a, 2,4, b, 2, a,b, 3, 4, a,3, 4, b, 3, a, b, 4, a, b.事件M所含的基本事件分别为1 ， 2,

6、a, 1 , 2,b, 1 , 3, a, 1 , 3, b, 1 , 4,a, 1 , 4, b, 2 , 3, a, 2, 3,b, 2, 4, a, 2,4, b, 3, 4,a, 3, 4, b,.一一12 3共12个，所以p（M）=2r -；事件N所含的基本事件分别为1 , 2, 3, 1 , 2, 4, 1 , 3, 4, 2 , 3, 4,共 4 个,所以 p(N) = 20=5； N0 5所以事件 Q的概率为P(Q)=P(M) + P(N) = 3+1=0.8,故选A.5 56 .如图（1）所示的风车是一种用纸折成的玩具.它用高粱秆、胶泥瓣儿和彩纸制成，是老北京的象征，百姓称它

7、吉祥轮.风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一.图（2） 是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A14解析：选B 设白色的等腰直角三角形的斜边长为2,则白色的等腰直角三角形直角边的长为2,1所以白色部分的面积为 = 4X2X72X72=4, ,一 1易知阴影部分中的等腰直角三角形的腰长为1,所以阴影部分的面积为 82=4X2X1X18221=2,由几何概型的概率公式，可得此点取自阴影部分的概率为P=：81+82 4+2 3二、填空题7 .一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a, b, c,当且仅当其中两个数字的和

8、等于第三个数字时称为“有缘数”（如213, 134等）.若a, b, cC 1 , 2, 3, 4,且a, b,c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是 .解析：由1, 2, 3组成的三位自然数可能为123, 132, 213, 231, 312, 321,共6个；同理，由1, 2, 4组成的三位自然数有 6个，由1, 3, 4组成的三位自然数有 6个，由2, 3,4组成的三位自然数有 6个，共有6+6+6 + 6= 24个三位自然数.由1, 2, 3或1, 3, 4组成12 1的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为24 = 2.1答案：28 .甲、乙两人在5次

9、综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x甲，x乙,x甲x乙的概率是解析：设被污损的数字为9,共10种，而x甲x乙时,由茎叶图知x乙= 90,x甲= 89 + x，污损处可取数字 0, 1,2, -,589+x90, xC N,污损处对应的数字有 6, 7, 8, 9,共4种,5,，42故乂甲乂乙的概率为-=5.9 .正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,在正方体内随机取一点 M,则点M落在三棱锥B1 -A1BC1内的概率为解析：因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a所以三棱锥B1-A1BC1的体积11 a a a=1a答案：1 6三、解答题

10、10.（2019天津高考）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、,正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为a3, 3 266a3 1所以在正方体内随机取一点M,则点M落在三棱锥B1-A1BC1内的概率为 m=6.中、青员工分别有 72, 108, 120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分另1J记为 A, B, C, D,E, F.享受情况

11、如下表，其中表示享受，“X”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目ABCDEF子女教育OOXOXO继续教育XXOXOO大病医疗XXXOXX住房贷款利息OOXXOO住房租金XXOXXX赡养老人OOXXXO试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为 6： 9： 10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人.(2)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A, B, A, C, A, D , A,E, A, F, B

12、, C, B, D, B, E, B, F, C, D, C, E, C, F, D, E, D, F, E, F,共 15种.由表格知，符合题意的所有结果为A, B, A, D, A, E, A, F, B, D, B,E, B, F, C, E, C, F, D, F, E, F,共 11 种.所以事件M发生的概率P(M)=11.1511.(2019安徽五校联盟第二次质检)一汽车厂生产 A, B, C三类轿车，每类轿车均有舒适 型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如表：A类轿车B类轿车C类轿车舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法从这个月生产的轿车中抽取50

13、辆，其中有A类轿车10辆.(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法从C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从 B类舒适型轿车中抽取 8辆，经检测它们的得分如下：9.4, 8.6,9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2,把这8辆轿车的得分看成一个总体， 从中任取一个数 Xi(1<i<8, iCN),设样本平均数为 x,求 x|W0.5的概率.解：(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得50 = 一-，所以n= 2 000,则2= 2 000n 100+ 300(100 + 300)-

14、(150 + 450) 600 = 400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得400 =彳# a=2,1 000 5所以抽取的容量为 5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.用A1, A2分别表示2辆舒适型轿车，用 B1, B2, B3分别表示3辆标准型轿车，用 E表示事件“在该样本中任取 2辆，至少有1辆舒适型轿车”.从该样本中任取2辆包含的基本事件有(A1, A2), (A1, B) (A1, B2), (A1, B3), (A2, B1), (A2, B2), (A2, B3), (B1, B2), (B1, B3),(B2, B3),共 10 个，其中事件 E 包含的基

15、本事件有(A1,A2),(A1,B1)，(A1,B2),(A1,B3),g,B1),(A2,B2), (A2, B3),共 7 个.故P(E) = ,即所求的概率为 .(3)样本平均数 x=(9.4 + 8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2) = 9.设 D 表示事件 “从样8本中任取一个数xi(1<i<8, i N), |xi-x|<0.5",则从样本中任取一个数有8个基本事件，事件D包括的基本事件有 9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0,共6个.所以P(D) = 6=3,即所求的概率为3.8 44212.已知二次函数 f(x

16、)= ax 3 一 9则AOB的面积为11X3X6=2.若事件B发生，则f(1)<0,即a-4b+2<0.所以事件B对应的平面区域为 4BCD. a+4b-6= 0, 由;得交点坐标为D(2, 1). a4b+2=0又 C?, 2 !,则 4BCD 的面积为 2X2 /X 2=1. /BCD 2 所以 P(B) = 2. S/AOB 9B组一一大题专攻强化练 1.为了从某校甲、乙两名学生中选拔出一名学生参加全国中学生奥林匹克数学竞赛，现对4bx+ 2.(1)任取 aC 1 , 2, 3, bC 1 , 1, 2, 3, 4,记 “ f(x)在区间1 , +0o )上是增函数”为 事

17、件A,求A发生的概率.(2)任取(a, b)C(a, b)|a+4b-6< 0, a>0, b>0,记“关于 x 的方程 f(x)=0 有一个大于 1的根和一个小于1的根”为事件 B,求B发生的概率.解：(1)因为a有3种取法，b有5种取法，则对应的函数有3X5= 15个.因为函数f(x)的图象关于直线x= 2b对称，若事件A发生，则a>0且gw1.数对(a, b)的取值为(1, 1), (2, 1), (2, 1), (3, 1), (3, 1)共 5 种.(2)集合(a, b)|a+4b-6<0,a>0, b>0对应的平面区域为 RtAOB ,如图

18、，其中点 A(6,0),32人P2 0 86 5 90 12 65 7 B0 2 3(1)请你从这两名学生的数学成绩的平均水平和稳定性角度进行分析，判断应选择哪名学生参加竞赛；(2)请你通过该组数据中甲、乙两名学生的数学成绩在xs与x+s之间的概率大小进行选择，请给出你的选择结果；(3)按照第(1)问的选取标准，为了迎接竞赛，学校决定对所选学生以往的若干次数学竞赛 试卷进行分析，每位老师负责分析其中的两张试卷，求陈老师为该生分析的数学试卷分数都 在88分以上的概率.参考数据： 啊.448.2, 64.6248.0, 162.44-7.9, 175.44-8.7.解：(1)平均值：72 + 74

19、+ 75 + 76+ 80+82+ 85+ 89+ 95 + 96x 甲=-=82.4,70 + 71 + 72 + 76+ 85 + 87+ 88 + 90+ 92 + 93x 乙=10= 82.4,1x 甲=x 乙.样本万差：S2 = (72- 82.4)2+ (74-82.4)2+ + (95-82.4)2+(96-82.4)2 =2122222267.44, s乙=不(70 82.4) +(71 82.4) + + (9282.4) +(93-82.4) = 75.44,由于 s甲 V s乙,所以甲同学的成绩相对稳定，因此派甲同学参加比赛 (2)由于 x 甲=*乙=82.4, s 甲=

20、Vs2 = 7 67.44-8.2, s 乙=1=寸75.44。8.7,所以 x 甲+ s甲=90.6, x甲一s甲= 74.2,在x甲一s甲与x甲+ s甲之间的成绩有 75, 76, 80, 82, 85, 89,所以P甲=袅=7, x乙+s乙=91.1, x乙一s乙=73.7,在x乙一s乙与x乙+ s乙之间的成绩有 76, 10 585, 87, 88, 90,所以P乙=a=1,因为3>1，所以派甲同学去参加比赛. 10 25 2从10份试卷中任意抽取 2份共有45种取法，2份试卷的分数均在 88分以上的有(89,95), (89, 96), (95, 96),共3种，故陈老师为该生

21、分析的数学试卷分数都在88分以上的概率为=工十人45 15.2.(2019济南市学习质量评估)某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了 100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品(不购买则可以免费退货，贝买则仅需付成本价).经统计，决定退货的客户人数占总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多io人，“对性能不满意”的客户中恰有2选择了退货.3(1)请完成下面的2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”？对性能满意对性能不满意总计购买产品不购买

22、产品总计(2)该企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有 4张奖券，奖券上分别印有200元、400元、600元和800元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户有放回地进行抽取,附：K2=每人随机抽取一张奖券，求6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率.2、,P(K >k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635(a+ b)/、 2n (ad bc)(c+d) ( a + c)(b + d),其中 n= a+ b+ c+

23、 d,解：(1)设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为x,则不购买产品的人数为2x,由此并结合题意可列出表：对性能满意对性能不满意总计购买产品x50不购买产品2x50总计3x+ 103x100由表可得 3x+ 10+3x=100,所以x= 15.完成2X2列联表为对性能满意对性能不满意总计购买产品351550不购买产品203050总计554510022 100X (35X30 15X20)100所以 K =50X 50X 55X 45= TT9.091>6.635,所以有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关(2)由题意得，参加座谈的6位客户中购买产品的人数为2,退货

24、的人数为4.“6位客户中购买产品的客户抽取奖券”包含的基本事件有(200, 200), (200, 400), (200,600), (200, 800), (400, 200), (400, 400), (400, 600), (400, 800), (600, 200), (600, 400), (600, 600), (600, 800), (800, 200), (800, 400), (800, 600), (800, 800),共 16 个.设事件A为“6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元”，则事件 A 包含的基本事件有 (200, 800), (400, 600),

25、 (400, 800), (600, 400), (600, 600),(600, 800), (800, 200), (800, 400), (800, 600), (800, 800),共 10 个，10 5则 P(A) = 16 = 8.所以6位客户中购买产品的客户人均所得奖金不少于500元的概率是5.83.(2019江西省五校协作体试题)某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛，成绩为1至10分，随机调阅了 A, B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：A校样本数据条形图频率B校样本数据统计表成绩/分12345678910人数/个000912219630(1)计算两校样本数据的均

26、值和方差，并根据所得数据进行比较；(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛， 求这2人成绩之和大于或等于15分的概率.解：(1)从A校样本数据的条形图可知，成绩为 4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人.A校样本数据的均值为4X6+ 5X15 + 6X21 + 7X 12 + 8X 3+9X3 xA=60=6(分 ) ,A 校样本数据的方差为sA=60><6X(4-6)2+ 15X(5 6)2+21 X (6 6)2+12X (7-6)2 +3X(8-6

27、)2+3X(9-6)2=1.5.从B校样本数据统计表可知，B校样本数据的均值为4X9+ 5X 12 + 6X 21 + 7X 9+8X6+ 9X 3 xb=60=6(分),B 校样本数据白勺方差为sB=660x 9 X (4-6)2+ 12X (5-6)2+21 X (6-6)2+ 9X (7-6)2 +6X(8-6)2+3X(9-6)2=1.8.因为XA = XB,所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又sA<sB,所以A校学生的计算机成绩比较集中，总体得分情况比B校好.(2)依题意，从A校样本数据中成绩为 7分的学生中应抽取的人数为 一6一X12=4,分12 + 3+ 3 6别设为a, b, c, d;从成绩为8分的学生中应抽取的人数为 12+3+3*3i 设为,；从成绩为9分的学生中应抽取的人数为-6X 3= 1,设为f.12+3+3所有基本事件有ab, ac, ad,ae,af,bc, bd,be,bf, cd,ce,cf,de,df,ef,共 15个,其中满足条件的基本事件有ae,af,be,bf,ce,cf,de,df,ef,共9个，所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这 2人成绩之和大于或