分布荷载作用时的土中应力计算

1、第五节 分布荷载作用时的土中应力计算用布西奈斯克公式和叠加原理计算土中应力，若基础底面的形状及分布荷载都有是有规律的，则可以通过积分求解得相应的土中的应力。若设基础面上作用着强度为p的竖直均布荷载，则微小面积dxdy上的作用力dp = pdxdy可作为集中力来看待，则在基底面积范围内积分求得：3z3dQ _ 3z3p(x,y)d dF 孙二牙F (x_ )2.(y_)2.z2)2在求解上式时要知道三个条件：(1) 分布荷载p的分布规律及其大小；(2) 分布荷载的妥布面积 F的几何形状及其大小；(3) 所求应力的位置 M点的坐标。、空间问题3pz32 二(一) 圆形面积上作用均布荷载时，土中竖向

2、正应力；z的计算:PdddP(2 亠r2 -2 :r cos仃亠z2) 27:-c 应力系数，它是 R及ft的函数，可查表3 4得。(二) 矩形面积均布荷载作用时土中竖向应力匚z的计算1、矩形面积中点O下土中竖向应力 二z的计算3z32 二2mn (1HTn248m2)+1 n2 -4m2(1 4m2)(n2 4m2)gn2m 1 -n2 4m22其中:可查表3 6得。2、矩形面积角点c下土中竖向应力 二z的计算矩形基础当底面受到竖直均布荷载（此处指均布压力）作用时，基础角点下任意点深度处的竖向附加应力，可以利用基本公式（3 - 8）沿着整个矩形面积进行积分求得。若设基础面上 作用着强度为p的

3、竖直均布荷载，则微小面积dxdy上的作用力dp= pdxdy可作为集中力来看待，于是，由该集中力在基础角点o以下深度为z处的M点所引起的竖向附加应力为：3p2 二dxdy2_Z将r2 =x2 y2代入上式并沿整个基底面积积分，即可得到矩形基底竖直均布荷载对角点0以下深度为Z处所引起的附加应力为:L3p 2 :3z dxdy； mp= ( 21 2 + 77)+ arctan(： 亍)2兀 R1+m2+ n2 m +n 1+m5+m2+ n2 _式中：:a 矩形基础，底面受竖直局部荷载作用时，角点以下的竖直附加应力分布系数，“f（m，n）可以从p56表3-7中查得m=b，%l :为基础底面的长边

4、，b :为基础底面的短边，且I - b。3、矩形面积均布荷载作用时，土中任意点的竖向应力匚z的计算角点其实是附加应力积分公式的原点,因而不在角点法之实质附加应力叠加原理。 角点（原点）下的附加应力不能直接求出。(a)(b)(c)(d)对于在基底范围以内或以外任意点下的竖向附加应力，可按叠加原理进行计算，这种方法称之为“角点法”对矩形基底竖直均布荷载，在应用“角点法”时。l始终时基底长边的长度，b为短边的长度。角点法的应用：（1）矩形荷载面内任一点 0之下的附加应力如图（a）所示:；二=:-CI 匕匕曲 p（2）矩形荷载面边缘上任一点 0之下的附加应力如图（b）所示:；Z =cit：cn p（3

5、） 矩形荷载面边缘外一点0之下的附加应力如图（C）所示:匚Z -clY cn -:crn -： cW p其中I为ofbg，川为oecg。注意：基础范围外“虚线”所构成的矩形其实是虚设的荷载分布的范围，因而要减去其“产生”的附加应力；（4）矩形荷载面外任一点 0之下的附加应力如图（d）所示:二 S-c n - c m 5 p其中I为 ohce,n为ogde,川为ohbf。【课堂讨论】作“辅助线”原理及目的何在？（三）矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时角点以下的竖向附加应力矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时，把荷载强度为零的角点o作为坐标原点，同z3R5沿着整个面积积分来求得。如图3- 22所示（

6、教材P58）。若矩V形基底上三角形荷载的最大强度为p ,则微分面积dxdy上的作用力dQ - - p dxdy可作b为集中力看待，于是角点 o以下任意深度z处，由于该集中力所引起的竖向附加应力为：dj 二3p1xdxdy2 br 2 5/2z21 g将r2=x2 y2代入上式并沿整个底面积积分，即可得到矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时角点下的附加应力为:-z式中mnIm2 +(1 m2) . 1 m2 n2为矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时的竖向附加应力分布系数,l :沿荷载变化方向矩形基底的长度，b :矩形基底另一边的长度对于基底范围内（或外）任意点下的竖向附加应力，仍然可以利用“角点法

7、”和叠加 原理进行计算。但任意两点：（1）计算点应落在三角形分布荷载强度为零的一点垂线上。（2）b点始终指荷载变化方向矩形基底的长度。【本次课总结】1 基底附加压力与地基附加应力的关系；2用“角点法”计算矩形荷载作用下的附加应力。、平面问题理论上，当基础长度L与宽度B之比，L/B 时，地基内部的应力状态属于平面问题。实际工程实践中，当 L/B 10时，平面问题。例如：水力工程中的土坝、土堤、水闸、挡土墙、码头、船闸等等。（一）均布线荷载作用时土中应力计算沿无限长直线上作用的竖直均布荷载称为竖直线荷载，如图3-25所示（见教材P61）,当地面上作用竖直荷载时，地基内部任一深度z处的附加应力为：2

8、pz3/2 丄 2 2: (x z )2pxz2/ 2 (xz2)zxxz2pxz2二(x2 z2)2式中：p 单位长度上的线荷载（KN/m2）x,z计算点的坐标讨论：（1）在荷载作用点处，即x=z=o点，应力值中无穷大，（5,cz,TxT8）T应力集中tEzEx ;（2 ）当x=0时，氐=乞=0, 而 c&= c&max 应力集中 EzEx ；（3） （5值离Z轴愈远，其值越小；水平位置越深，应力也愈小一一地基土中应力的扩散现象。（二）条形基底受竖直均布荷载作用时的附加应力如图3- 26所示（教材P62）,当基底上作用着强度为p的数值均布荷载时，首先求出微分宽度d上作用着的线均布荷载 dQ

9、= pd在任意点M所引起的竖向附加应力ds2p兀z3d(x -)2 z2再将上式沿宽度B积分，即可得到条形基底受均布荷载作用时的竖向附加应力为:z3dIT(x- )2 z22uP3- 12式中：九一一条形基底受竖直均布荷载作用时的竖向附加应力分别系数，由表z x查，2訐飞,b为基底的宽度。条形均布荷载在地基内部引起的水平向应力二X和剪应力,即:-X jz 十2 (；匸 )22 ,xz（三）三角形分布条形荷载作用下的土中应力计算当条形基底上受最大强度为p的三角形分布荷载作用时，同样可利用基本公式2pz3:（X2z2）2，先求出微分d上作用的线荷载3 d，再计算的所引起的竖向附加应力，然后沿宽度b

10、积分，即可得到整个三角形分布荷载对M点引起的竖向附加应力为:JImar如巴制如吁）门2 .叶1）式中:：s 条形基底受三角形分布荷载作用时的竖向附加应力分布系数，按X，查表 3 - 13。b三、大面积均布荷载下土中附加应力计算四、成层地基对附加应力分布的影响对竖向应力Cz的影响有两种情况：一种是坚硬土层上覆盖着不厚的可压缩土层；另一种是软弱土层上有一层压缩性较低的硬壳层。（1） 当上层土的压缩性比下层土的压缩性高时，即E： E2时，则土中附加应力分布将发生应力集中一现象。下卧刚性岩层引起应力集中的现象，若岩层埋藏越浅，应力集中愈显著。（2） 当上层土的压缩性比下层土的压缩性低时，即E, - E2，则土中附加应力将发生扩 散现象。坚硬土层下卧软弱土层，引起土中应力扩散的现象随上层坚硬土层厚度的增大而更加显著。五、空间问题和平面问题附加应力的比较用平面问题替代空间问题，计算简化，而且从工程角度来说，平面问题的计算结果是偏 安全的。【本次课小结】1 不是用