1.中点弦问题(差法)

1、-1-圆锥曲线常规题型方法归纳与总结中点弦问题；焦点三角形；直线与圆锥位置关系问题：圆锥曲线的相关最值(范围)问 题; ;求曲线的方程问题：存在两点关于直线对称问题；两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题 点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(xi，yj、B(X2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程 相减，再应用中点关

2、系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。2 2如：(1 1)笃 岭=1(a b 0)与直线相交于 A A、B B，设弦 ABAB 中点为 M(XM(Xo,y,yo) ),则有a b2 2(2(2)务-占=1(a0,b0)与直线 I I 相交于 A A、B B，设弦 ABAB 中点为 M(xM(xo,y,yo) )则有a b的方程。解：设直线与椭圆的交点为A(x1, y1)、B(x2,y2)M (2,1)为AB的中点 花X2=4 y1y 22 2 2 2XoyoXo2ayo=o2(3)y=2px(3)y=2px( popo)与直线 I I 相交于 A A、B B 设

3、弦 ABAB 中点为M(xM(xo,y,yo),),则有 2y2yok=2p,k=2p,即 y yok=p.k=p.经典例题讲解求以定点为中点的弦所在直线的方程例 1 1、过椭圆164=1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线-2-:又A、B两点在椭圆上，则X14y1=16，x?4y2=16-3-2 2 2 2两式相减得(人一X2) 4(% - y2) = 0于是(XiX2)(X1-X2)4(yiy2)(yi_y2)=0yi- y2XiX24 ia- _ _ _ _论_x24( yiy2)4 22ii即kAB，故所求直线的方程为y-i (x-2)，即x2y-4=0。2例

4、2 2、已知双曲线X-y =i,经过点M (i,i)能否作一条直线I，使I与双曲线交于A、B,且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理 由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。，然后验证它是否满足题设-4-平分的弦AB，且A(X-I, yi)、B(X2, y2)解：设存在被点则xix2=22xi2诗22y2彳x2i2两式相减，得i(xi x2)(xi-x2)-2(yiy2)(yi-y2)=okABX|x2故直线AB: y -1=2(X-1)y -2(x-i)由2y2消去y，得2x2-4x亠3

5、 =0X 2,；.=(4)2-4 2 3 =8：0这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线I。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M位置非常重要。(i i )若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的 弦一般存在；(2 2)若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。-5-二.求弦的中点坐标、弦中点轨迹22i例 3 3、已知椭圆-i的一条弦的斜率为 3 3,它与直线x=丄的交点恰为这条弦的中点75 252M，求点M的坐标。2 2又y- X-=i，7525两式相减得25(y1y2)( y y2) 75(x

6、1x2)(Xr-x2) =02 2又h Xii，7525解：设弦端点P(x1,y1)、Q(X2,y2)，弦PQ的中点M(xo,y)，则Xox-ix2= 2x0= 1，yiy2=2y2 2=i7525即2y(yi-y2)3(xi-X20. 7Xi X22y=3=3，即y22yo点M的坐标为(丄，)。2 22 2例 4 4、已知椭圆厶-7525二1, ,求它的斜率为 3 3 的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点P(x1,y1)、Qgy2)，弦PQ的中点M(x, y)，则x1x2= 2x，yi丫2二2y2 2上X2-7525即y(yi- y2)3x(xi-X20，即 g3xXi X2k3Xi-X23X一

7、艺=3，即x y =0yX由匚y 02，得=i5 3 5 3、5 35 3、,)Q(,)P(2 2-6-两式相减得25(y1y2)(y y2) 75(x1x2)(xj-x2) =0-7-点M在椭圆内三.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例 5 5、已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线丨：y = 3x _2截得的弦的中点的一1横坐标为一，求椭圆的方程。2解：设椭圆的方程为2 2，则宀2=50设弦端点P(x1,y1)、Q(X2,y2)，弦PQ的中点M(Xo,y)，则1cc1xo石，yo=3xoX1X2= 2xo= 1,y1y22 2 2 2又企x_=1,仝=12 . 2 2 . 2a b

8、a b两式相减得b2(y1y2)(yi-y2) a2(x灭2)(论一x2) =0即-b2( % - y2)a2(X1- X2)=0联立解得a2=75，b2=25四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题2 2例 6 6、已知椭圆 =1，试确定的m取值范围，使得对于直线43有不同的两点关于该直线对称。解：设R(X1，yJ,P2(X2,y2)为椭圆上关于直线4x m的对称两点，P(x, y)为弦PR2 2 2 2.它的斜率为 3 3 的弦中点的轨迹方程为x y = 0(5.3:x :5、.32% - y2_ a2% -x2b2冷=3 b2所求椭圆的方程是2+=17525y = 4x m，椭圆上总-8-的

9、中点，贝U 3x14y1=12,3x24y2=12两式相减得，3(x-x22) 4(y-y22) =0-9-I交椭圆 C C 于 A A、B B 两点，且线段ABAB 的中点为（-1,丄）,2 4求椭圆 C C 的方程. .即3(X1X2)(X1 X2)4(yiy2)(yi y2)=0y1- y2XiX2=2x,yiy2=2y，-X| _X2.y =3X这就是弦RF2中点P轨迹方程。它与直线y =4x m的交点必须在椭圆内五、注意的问题（1 1）双曲线的中点弦存在性问题；（2 2）弦中点的轨迹应在曲线内。习题实战2 2x y1.1. 直线y- x 1与椭圆-=1相交于 A A、B B 两点，贝 y y ABAB 中点坐标_93HT2.2. 已知，椭圆 C C 的中心在原点，焦点在 x x 轴上，一条准线的方程是 x=bx=b ,倾斜角为的直线43.3.已知双曲线X2一丫1，经过点M(1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于 A A、B B2两点，且 M M 是线段 ABAB 的中点，若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理由？联立丿y亠，得丿y =4x + mX=-my =-3 m则必须满足 y y2 2：-x-x2 2，43即(3m)2-4m2，解得2.1313:m :2 13132-10-4.4.