坐标与微积分

1、数学知识梳理数学知识梳理A 坐标系B 导数与微积分间的关系：从图中可以得出他们之），），极坐标是（，（意一点，它的直角坐标是平面内任同的长度单位。设并在两种坐标系中取相轴的正半轴作为极轴，为极点，把直角坐标系的原点作yxMxxxNMy0y（一）极坐标（平面坐标）（一）极坐标（平面坐标）sincosyx，)0(tan，222xxyyxA 坐标系）化成直角坐标。，的极坐标（：将点例3251M）。，的直角坐标（所以，点，解：2352523532sin532cos5Myx）化成极坐标。，的直角坐标（：将点例132M）。，的极坐标为（因此，点。在第三象限，所以因为点。，）（）（解：67267333131

2、tan2131322MM 设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(,)(0,02) 表示点Q在平面oxy上的极坐标， 则点P的位置可用有序数组(,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.有序数组(,Z)叫点P的柱坐标，记作(,Z). 其中xyzoP(,Z)Q0, 0 2, -Z+（二）柱坐标（二）柱坐标 柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标 (,Z) 之间的变换公式为 zzyx sincosxyzoP(,Z)Q 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .有序数组

3、(r,)叫做点P的球坐标，其中20,0, 0rxyzoP(r,)Qr 空间的点与有序数组(r,) 之间建立了一种对应关系.（三）球坐标（三）球坐标 空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,)之间的变换关系为cossinsincossinrzryrxxyzoP(r,)Qr数轴平面直角坐标系平面极坐标系空间直角坐标系球坐标系柱坐标系 坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化，从而产生了坐标法.坐标系小结小结B 导数与微积分导数基本公式(x ) = x -1 .(ax) = ax lna .(ex) = ex.ln1)(logaxxa .1)(lnxx (s

4、in x) = cos x.(cos x) = sin x.(tan x) = sec2x .(cot x) = - csc2x .(sec x) = sec x tan x .0 (cc为任意常数)(csc x) = - csc x cot x .,11)(arcsin2xx 另外还有反三角函数的导数公式：,11)(arccos2xx ,11)(arctan2xx .11)cotarc(2xx 导数运算法则uvuvuvu vuv2uu vu vvv 例3：求下列函数的导数：3(1)cosyxx2(2)xyx e2(3)1xyx32(4)23 sinyxxxe解：332(1)(cos )()

5、(cos )3sinyxxxxxx2222(2)()()()2(2)xxxxxxyx exex exex exxe22222(1)(1)(3)()1(1)xxxxxyxx2221( 2 )(1)xxxx222)1 (1xx 32(4)(2) (3 sin ) ()yxxxe0)sin( 3)(23xxx)cos(sin362xxxx2.2 ( )( )( ( )( ) ( ) dydy dudxdu dxdyfuu xduu xxyf uuyf u xxx定理若函数在点 可导，函数 在点 处可导，则复合函数在点 可导，且或记作：复合函数求导法则23tan4.1(31) ; 2)sin(2);

6、3)lncos ;4);5)2xxyxyxyxyey例 求下列函数的导数：）32322222222(1)( ), ( )31,( )3( )( )3(31)(31)3(31)618 (31)yux u xxyuxuxu xxxxxxx解： 函数可以分解为 先将要求导的函数分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商. 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述复合函数的求导法则求出. 复合函数求导的关键: 正确分解初等函数的复合结构.求导方法小结：微分公式与微分运算法则 0d c 1d xxdxsincosdxxdxcossindxxdx 2tansecdxxdx2cotcscdxxdx xxd ee dxlnxxd aaadx1lndxdxx1loglnxaddxxa21arcsin1dxdxx21arccos1dxdxx21arctan1dxdxx21arccot1dxdxx d uvdudvd cucdud uvvduudv2uvduudvdvv微分运算法则基本积分公式表 kdx)1(kxC )( 是常数是常数k dxx )2(11 x,C )1( xdx)3