数学选修2-2复习题

1、有关数学选修2-2复习题单选题(共5道)1、k (k>3, kCN*)棱柱有f (k)个对角面，则(k+1)棱柱的对角面个 数f (k+1)为Af (k) +k-1Bf (k) +k+1Cf (k) +kDf (k) +k-22、用数学归纳法证明不等式一+叶；>： (n>2)时的过程中，由n=k到nw k+1时，不等式的左边()A增加了一项许B增加了两项-+_D增加了一项衣土，又减少了一项占3、已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k (k>2,且k为 偶数)时等式成立，则还需利用归纳假设再证()An=k+1时等式成立Bn=k+2时等式成立Cn=2k+2时等

2、式成立Dn=2 (k+2)时等式成立4、用数学归纳法证明“ Sn'r+号（n>2且nCN）时，" S2jj +1 fi +2 -Ji 2.4的值为（） .A虻CJ3 4D15、函数y=x2cosx的导数为Ay' =2xcosx x2sinxBy' =2xcosx+x2sinxCy' =x2cosx 2xsinxDy' =xcosx x2sinx简答题（共5道）6、设函数/V，'+0-如x ,日 #0 ,（D若曲线与工轴相切于异于原点的一点，且函数 FO）的极小值为孑，求atb的值；（2）若3,且曰+-%、/7温 j - JLq T

3、 1. Ai.7求证：孑J"；求证：/（”在01）上存在极值点.7、设nCN*, n>1,用数学归纳法证明： '-手石8、在数列吗.回中，01T,且工.瓦41成等差数列，区.4-1二成等比 数列> .(1)求三京区，包也；(2)根据计算结果，猜想g小讪的通项公式，并用数学归纳法证明.9、求函数f (x) =J；te-tdt的极值.10、对于数列xn,从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列.某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a,公比为正整数q (q>0)的无穷等比数列an的子数列 问题.为此，他任

4、取了其中三项 ak, am an (k<m< n).(1)若ak, am, an (k<m< n)成等比数列，求k, m, n之间满足的等量 关系；(2)他猜想：”在上述数列an中存在一个子数列bn是等差数列”，为 此，他研究了 ak+an与2am的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述 猜想是否正确；(3)他又想：在首项为正整数 a,公差为正整数d的无穷等差数列中是否 存在成等比数列的子数列？请你就此问题写出一个正确命题，并加以证明.1-答案：A2-答案：tc解：当n=k时，左边的代数式为丁=+,+，当n=k+1时，左边的代A+1 x+2 2k数式为占 +17匕

5、，故由n=k至Ijnwk+1时，不等式的左边增加了两项 + + 房；，又减少了一项占故选：C3-答案：tc解：若已假设n=k （k>2, k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所 以还需要证明n=k+2成立.故选：B.4-答案：tc解：不等式中分式的分母是从n+1逐步递增大1到2n结束，所以当n=2时, 分式的分母从3到4结束，所以S2的值为：故选C.3 45-答案：A1-答案：（1）Y，T.（2） 刈在也1）上是存在极值点试题分析：（1）分析题意，可得该三次函数过原点，根据函数尸，区与x轴相切，所以有个极值为 0且有一个重根，故可得函数了乂有一个极大值0和一个极小值 ?，有一个重根，

6、 则对，区因式分解会得到完全平方式，即，3提取x的公因式后，剩下二次式的判 别3 = 0,得到a,b之间的关系式，再根据极小值为 3，则求导求出极小值点，得 到关于a,b的另外一个等式，即可求出a,b的值.（2）对“邛求导，带入5言） 与已知条件 卷*m联立化简即可得到需要的不等式.求出尸 讨论a的取值范围，证明门口iJW/三其中必有两者异号，则根据零点存在定-V X "X- * J理，即可证明，有极值点.试题解析：（1）/g-f吗,依据题意得：/口）吗於*含且二-人-4人二厂噎：/竟一吁卬事不七,詈n1n（a8 ir（x2）8分八01 一幼，尸(1)=1一面*，.若打。4,则厂&#

7、174; -1 2。0 ,由知八二,)JTj T JL所以/'3在m& )有零点，从而丁在电1)上存在极值Jj.Qi + 1占八、10分若"二由知八号八忆又g警著妇管产-空普青产!”所以门(©在嗝)有零点A j T"工qX + ，惠.'+ I7从而刈在陋】)上存在极值点.12分若口 。，由知“品”。，界| 1 1."Il7d旧二器二警二”,所以丁在L3)有零点,从而与工)在(。)上存 Hj +.JX|7工0+17在极值点.综上知刈在(0J)上是存在极值点.14分2-答案：证明：记*吁+9 +飞(nCN*, n1),(1)当n=2时

8、，"口 = 一十七也，不等式成立；(2)假设 n=k(kCN*, k2)时，不等式成立，即, 则当n=k+1时，有收十口 =屿十焉我十焉=%¥舒=病+1，.当n=k+1 时，不等式也成立；综合(1), (2)知，原不等式对任意的nCN* (n1)都成3-答案：（1） q = 6.生-1 二必-20,4=9,方=16 ="；（2） ”一4+ D -九+D：,证明 过程见试题解析.试题分析：（1）由已知得地=/十%，令也=1得马一叼十小，可得 %又一='L ,令抨=1得牝=瓦巫，可得与，依次分别求得其余各项；（2）由（1） 中结果，易猜想出/ =疔，用数学归纳

9、法证明中，当 = *+1时，需证/3-外一曲-1欧+以 牛切-智-术-不方可得结论成立.解：（1）由已知条件得 以= % + 4_ Ji'=馥ba,由此算出出一 6.生；1? 一吗=独，幺19也=16.叫1”.（2）由（1）的计算可以猜想鼻=桢"。一,下面用数学归纳法证明：当月:1时，由已知3-2 7 Y可得结论成立，假设当汽=R值“且好冷时猜想成 立，即/八就.加一世+1）.那么，当斯=#+1时，恁一 l地 导入伏+w Kk+D-1+期 mm，,人一:d：,因此当尾 （常，I）用=4+ 1时，结论也成立.当和知，对一切jjeT ,都有/-铀+ u 一 /5成 立.12分4-

10、答案：解：二,函数 f (x) =：te-tdt ,. f' (x) =xe-x ,令 f' (x) =0, 解得 x=0；又 x<0 时，f' (x) <0, f (x)是减函数，x>0 时，f' (x) >0, f (x)是增函数；x=0时，f (x)取得极小值为f (0) =0.解：二,函数 f (x) =f：te-tdt ,.f' (x) =xe-x ,令 f' (x) =0,解得 x=0； 又 x<0 时，f' (x) <0, f (x)是减函数，x>0 时，f' (x) >

11、;0, f (x)是 增函数；.x=。时，f (x)取得极小值为f (0) =0.5-答案：解：(1)由已知可得：ak=aqk-1 , am=aqm-1 an=aqn-1,(1 分) 则卜E2=ak?an,即有(aqm-1) 2= (aqk-1 ) (aqn-1),.(3 分)2 (m-1) = (k-1 )+ (n-1),化简可得.2m=k+n . (4 分)(2) ak+an=aqk-1+aqn-1 ,又 2am=2aqm-1 故 (ak+an) -2am=aqk-1+aqn-1-2aqm-1=aqk-1(1+qn-k-2qm-k ), . (6 分)由于 k,m, n 是正整数，且 n&

12、gt;m,则 n>m+1 n- k>m-k+1 ,又q是满足q>1的正整数，则q>2,1+qn-k-2qm- k> 1+qn-k+1-2qm- k=1+q?qmk-2qm- k> 1+2qnk-2qm-k=1 >0,所以， ak+an>2am，从而上述猜想不成立.(10分)(3)命题：对于首项为正整数 a,公差为正整数d的无穷等差数列an, 总可以找到一个无穷子数列bn,使得bn是一个等比数列.(13分)此命 题是真命题，下面我们给出证明.证法一：只要证明对任意正整数n,bn=a(1+d) n,n> 1 者B在数歹!J an中.因为 bn=

13、a(1+d)n=a( 1仁：d+二 d2+ T：dn)=a(Md+1, 这里M=；隹；d+T：dn-1为正整数，所以a (Md+1 =a+aMdHan中的第aM+1 项，证毕.(18分)证法二：首项为a,公差为d ( a, dCN*)的等差数 列为 a,a+d,a+2d,，考虑数列an中的项:a+ad, a+(2a+ad) d,a+(3a+3ad+d2 d,依次取数列bn中项 b1=a+ad=a(1+d), b2=a+ (2a+ad) d=a(1+d) 2, b3=a+ (3a+3ad+d2)d=a (1+d) 3,贝由 a<2a+ad<3a+3ad+d2,可知广h ,并由数 学归

14、纳法可知，数列bn=a(1+d) n, n>l为列an的无穷等比子数列(18分)解：(1)由已知可得：ak=aqk-1 , am=aqm-1an=aqn-1,(1 分)贝氏/=ak?an, 即有(aqm-1) 2= (aqk-1 ) (aqn-1),.(3 分)2 (m-1) = (k-1 ) + (n-1 ), 化简可得.2m=k+n . (4分)(2) ak+an=aqk-1+aqn-1 ,又 2am=2aqm-1 故 (ak+an) -2am=aqk-1+aqn-1-2aqm-1=aqk-1(1+qn-k-2qm-k ), . (6 分)由于 k,m, n 是正整数，且 n>

15、m,则 n>m+1 n- k>m-k+1 ,又q是满足q>1的正整数，则q>2,1+qn-k-2qm- k> 1+qmk+1-2qm- k=1+q?qmk-2qm- k> 1+2qmk-2qm-k=1 >0,所以， ak+an>2am，从而上述猜想不成立.(10分)(3)命题：对于首项为正整数 a,公差为正整数d的无穷等差数列an, 总可以找到一个无穷子数列bn,使得bn是一个等比数列.(13分)此命 题是真命题，下面我们给出证明.证法一：只要证明对任意正整数n,bn=a(1+d) n,n> 1 者B在数歹!J an中.因为 bn=a(1+d)n=a( 1+： d+*jd2+ T：dn)=a(Md+1, 这里M=1+；d+dn-1为正整数，所以a (Md+1 =a+aMdHan中的第aM+1 项，证毕.(18分)证法二：首项为a,公差为d