浙江省湖州市南浔区2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷含解析

1、2021-2021学年九年级上期中数学试卷.选择题共10小题1.以下二次函数中，二次项系数是-3的是2C. y =- 3x - xD.2 2A. y= 3x - 2x+5B. y= x - 3x+22.假设气象部门预报明天下雨的概率是65%F列说法正确的选项是A.明天一定会下雨B.明天一定不会下雨D.明天下雨的可能性较小C.明天下雨的可能性较大/ BAC= 40°A. 140°，那么/D的度数是B. 130°C.120 °D.110 °4. 小军旅行箱的密码是一个三位数，每位上的数字是0至9中的一个，由于他忘记了密码的末位数字，那么小军能一次翻

2、开该旅行箱的概率是A亠B.二C二D. 一二109£75. 以下有关二次函数 y= 3 x - 1 2+2图象的结论，不正确的选项是A. 图象是抛物线，且开口向上B. 图象的对称轴为直线 x = 1C. 图象的最低点坐标为1 , 2D. 图象与x轴有两个交点6. O O的半径为5,点P在O O内，那么以下关系正确的选项是A.PO>5B.0< PQ：5C.PO= 5D.无法判断7. Rt ABC勺外接圆O Q的半径r = 5cm那么斜边 AB的长是A. 10cmB.8cmC.6cmD.5cm &二次函数y = ax2+bx+c a, b, c是常数，a* 0图象的对称

3、轴是直线 x= 1,其图象的一局部如图，对于以下说法：abcv0； a- b+cv0； 3a+cv 0；当-1v xv3 时，y >0.其中正确的选项是9.如图，在正方形 ABC曲，连结 AC在AC上截取AE= AD作厶ADE的外接圆交 AB于点F,连结DF交AC于点M连结EF,以下选项不正确的选项是B.AM= ECC./ EFB=Z AFDD.S四边形BCM产 S四边形ADEF10如图，将抛物线 y = x2- 1沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域包括边界，在这个区域内有 5个整点点M满足横、纵坐标都为整数，贝U把点M叫做“整点,它们分别是(1, 0), (- 1, 0), (

4、0, 0), (0,1), (0, - 1).现将抛物线 y= a (x+1)2+2 av 0沿x轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内包括边界C. av D. - 1< av-二.填空题共6小题 11.二次函数y= x2+2的图象，与y轴的交点坐标为取1个是次品概率约为13将量角器按如下图的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上点 A、B的读数分别为86 °、30°,那么/ ACB的大小为 C14.如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为10cm截面中有水局部弓形高为5cm,那么水面宽AB为cm15如图，等边 ABC内接于O O,点P为上任意一点点 P不

5、与点A、点B重合，连结PB PO取BC的中点D,取OP的中点E,连结DE假设/ OE3a，那么/ PBC的度数为.用含a的代数式表示5< x < 1时，函16. ：函数 y=- x2+m+2m m为常数的图象不经过第二象限，当-数的最大值与最小值之差为12.25，那么m的值为三解答题共8小题17. 某二次函数 y = x2+2x+c的图象经过点2，5 1求该二次函数的解析式及其顶点坐标；1，2是否在新抛物线2假设该抛物线向上平移 2个单位后得到新抛物线，判断点-上.18.如图， ABC内接于O 0, AB= AC 就=100°,连结 AO(1 )求和卜啲度数;为主题的某市

6、第三届“国学少年强 国学知识挑战赛总决赛拉开帷幕小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙(分别用Al, A2, A3, A表示);第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读(分别用B, Eb, B表示).(1) 计算小明在第一环节抽取的题目是国学常识的概率；(2) 用树状图或列表法，计算小明参加总决赛抽取题目都是成语题目(成语故事、成语接龙、成语听写)的概率.20. 如图，Rt ABC的三个顶点分别是 A (- 3, 2), B(0, 4) , C (0 , 2),结合所给的平面直角坐标系解答以下问题：(1) 画出

7、 ABC以点C为旋转中心旋转180°后对应的厶ABC;(2) 平移 ABC假设点A的对应点 A的坐标为(0 , - 4),画出平移后对应的 ABC2;(3) 假设将 A1B1C绕某一点旋转可以得到厶 A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标.21. 一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图当球离抛出地的水平距离为30m时，达到最大高度10m(1)问：球被抛出多远？并求出该抛物线的解析式.(四周阴影局部是八个全等的矩形，用材料甲装修；中心区是正方形 两种材料的本钱如下表：材料甲2价格(元/米)550设矩形的较短边AE的长为x米，装修材料的总费用为 y元.(1 )计算中心区的边 MNI勺长(

8、用含x的代数式表示);(2 )求y关于x的函数解析式；(3) 当中心区的边长 MN不小于2米时，预备材料的购置资金 函数的增减性来说明理由.MNPQ用材料乙装修)乙50032000元够用吗？请利用E FG23. (1)等边厶 ABC内接于O O点P为上的一个动点，连结 PA PB PC如图1,当线段PC经过点O时，试写出线段 PA PB PC之间满足的等量关系，并说明理由;如图2,点P为匕上的任意一点(点 P不与点A、点B重合)，试探究线段PA PB PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；(2)如图3,在厶ABC中, AB= 4, AC= 7, / BAC的外角平分线交厶ABC的外接圆于点

9、P,PEI AC于 E,求 AE 的长.点B,点F是点B关于x轴的对称点，抛物线y= _ x+ I :与x轴交于点 A,与y轴交于 3'x2+bx+c经过点A和点F,与直线3AB交于点C.(1 )求b和c的值;(2 )点P是直线AC下方的抛物线上的一动点, 连结 PA PB求厶PAB的最大面积及点P到直线AC的最大距离;(3 )点Q是抛物线上一点，点 D在坐标轴上,在(2)的条件下，是否存在以A，P, D,Q为顶点且AP为边的平行四边形， 假设存在，直接写出点Q的坐标；假设不存在，说明理由.参考答案与试题解析.选择题共10小题1. 以下二次函数中，二次项系数是-3的是2 2 2 2A.

10、 y= 3x- 2x+5B.y= x-3x+2C.y =-3x - xD.y = x - 3【分析】根据二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可.【解答】解：A. y = 3x2 - 2x+5二次项系数是3,不合题意；B. y= x - 3x+2二次项系数是 3,不合题意；2C. y=- 3x - x二次项系数是-3，符合题意；D. y= x2- 3二次项系数是1，不合题意；应选：C.2. 假设气象部门预报明天下雨的概率是65%以下说法正确的选项是A.明天一定会下雨B.明天一定不会下雨C.明天下雨的可能性较大D.明天下雨的可能性较小【分析】根据概率的意义找到正确选项即可.【解答】

11、解：气象部门预报明天下雨的概率是65%说明明天下雨的可能性比拟大.所以只有C合题意.应选：C.A. 140°/ BAC= 40°,那么/ D的度数是B. 130°C. 120 °D. 110【分析】根据圆周角定理求出/ACB根据三角形内角和定理求出/B,求出/ C+Z B=180。，再代入求出即可.【解答】解： AB是半圆0的直径，Z ACB= 90°,Z BAC= 40°, Z B= 180°-Z ACB-Z BAC= 50°, A、B C、D四点共圆，/ D+Z B= 180°,/ D= 130 &#

12、176; ,应选：B.4小军旅行箱的密码是一个三位数，每位上的数字是0至9中的一个，由于他忘记了密码的末位数字，那么小军能一次翻开该旅行箱的概率是A亠B二C 二D二109S7【分析】由末尾数字是 0至9这10个数字中的一个，利用概率公式可得答案.【解答】解：末尾数字是0至9这10个数字中的一个，小军能一次翻开该旅行箱的概率是 二,10应选：A.5. 以下有关二次函数 y= 3 x - 1 2+2图象的结论，不正确的选项是A. 图象是抛物线，且开口向上B. 图象的对称轴为直线x = 1C. 图象的最低点坐标为1 , 2D. 图象与x轴有两个交点【分析】根据二次函数的图象和性质即可判断.2【解答】

13、解：二次函数 y= 3 x - 1+2,图象是抛物线，a= 3> 0,开口向上，所以A选项正确，不符合题意；图象顶点坐标为1 , 2,所以对称轴为直线 x= 1,所以B选项正确，不符合题意；C选项正确，不符合题意；筛选法D选项符合题意.应选：D.6. O O的半径为5,点P在O O内，那么以下关系正确的选项是A. PO5B. 0< PQ 5C. PO= 5D.无法判断【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.【解答】解：TO O的半径为5,点P在圆内，应选：B.7. Rt ABO的外接圆O O的半径r = 5cm那么斜边AB的长是A. 10cmB. 8cmC. 6cmD.

14、 5cm【分析】根据三角形的外接圆的性质即可得到结论.【解答】解： Rt ABO勺外接圆O O的半径r = 5cm斜边 AB= 2r = 10cm应选：A.&二次函数 y = ax2+bx+c a, b, c是常数，a* 0图象的对称轴是直线 x= 1,其图象的 一局部如图，对于以下说法：abcv0; a-b+cv0; 3a+cv 0;当-1v xv3 时，y >0.其中正确的选项是.i.0IA.、B.、C.、D.、【分析】首先根据二次函数图象开口方向可得av 0,根据图象与y轴交点可得c>0,再根据二次函数的对称轴 x=-，结合a的取值可判定出 b> 0,根据a、b

15、、c的正负即2a可判断出的正误；把 x=- 1代入函数关系式 y= ax2+bx+c中得y= a - b+c,再结合图象判断出的正误； 把b=- 2a代入a- b+c中即可判断出的正误； 利用图象可以直接 看出的正误.【解答】解：根据图象可得：av 0, c > 0,对称轴：x =2aT1,b=- 2a,/ av 0, b> 0, abcv 0,故正确；把x =- 1代入函数关系式 y = ax2+bx+c中得：y = a - b+c.由图象可以看出当 x =- 1时，y v 0,a - b+cv 0,故正确；/ b=- 2a, a - (- 2a) +cv 0,即：3a+cv 0

16、,故正确；由图形可以直接看出错误.正确的有.应选：C.9如图，在正方形 ABCD中，连结AC,在AC上截取AE= AD作厶ADE勺外接圆交 AB于点F,连结DF交AC于点M连结EF,以下选项不正确的选项是()DrcABA. 心一B. AM= ECC. Z EFB=Z AFDD. S 四边形BCMI= S四边形ADEF【分析】连接FG根据正方形的性质得到/ DAF=Z ADC= 90°,由圆周角定理得到/ DGF=90°,推出四边形 AFGD1矩形，得到 DG= AF,求得丨& =；打，故A正确；根据等腰三角形的性质得到/ ADE=Z AED等量代换得到/ EFB=Z

17、 AFD故C正确；推出 DEF是 等腰直角三角形，得到DE= EF,根据全等三角形的性质得到AM= EC故B正确；连接BE求得S 四边形 ADEF= SaADE+Sa AEF= SADE+SCDE= Sa ACD= Sa ABC, 由于 S 四边形 BCMV Saabc得到S 四边形bcmV S四边形ADEF,故D错误.【解答】解：连接 FG四边形ABCD1正方形，DAF=Z ADC= 90° , DF是圆的直径,/ DGF= 90°,四边形AFG虚矩形，DG= AF -i ,故A正确; AD- AE/ ADE=Z AED/ AFD-Z AED / BFE=Z ADE/ E

18、FB=Z AFD 故 C正确；/ DF是圆的直径，/ DEF= 90° ,/ DFE=Z DAC= 45° , DEF是等腰直角三角形，DE= EF,/ CDEZ ADE=Z AEF+Z AE* 90°,/ CDE=Z EAFAEF(SAS, AM= EC故B正确；连接BE,/ AE= BC= AD CE= AF, / CAF=Z BCE= 45 AEFA CBE( SAS , S 四边形 ADEf= Sa ade+Saaef= Sa ade+Sa cde= Saacd= Saabc,S 四边形 BCM< Sa ABC S四边形BCM< S四边形ADE

19、F,故D令错误,应选：D.DGccAJ510如图，将抛物线 y = X2- 1沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域包括边界，在这个区域内有 5个整点点M满足横、纵坐标都为整数，贝U把点M叫做“整点, 它们分别是1, 0, - 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, - 1.现将抛物线 y= a x+1 2+2 av 0沿x轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内包括边界 恰有11个整点，那么a的取值范围是Z°-1A.- 1 vav -B. av - 1C av-二D.- 1< av-222【分析】画出图象，利用图象可得m的取值范围2【解答】解： y= a x+

20、1 +2 av 0,该抛物线开口向下，顶点坐标为-1, 2,对称轴是直线 x=- 1 .由此可知点-1, 2、点-1, 1、点-1, 0、点-1, - 1、点-1, - 2 符合题意，此时x轴上的点-2, 0、0, 0也符合题意.2将0, 1代入 y = a x+1 +2 得到 1= a+2.解得 a=- 1.将1, 0代入 y = a x+1 2+2 得到 0= 4a+2.解得 a=-.2有11个整点，.点0,- 1、点-2,- 1、点-2, 1、点0, 1也必须符合题意.综上可知：当-1 < a<-二时，点-1 , 2、点-1, 1、点-1 , 0、点-1 ,2-1、点-1，-

21、 2、点-2, 0 、0, 0、点0,- 1、点-2, - 1、点- 2, 1、点0, 1,共有11个整点符合题意，应选：D.二.填空题(共6小题)11.二次函数y= x2+2的图象，与y轴的交点坐标为(0, 2)【分析】把x= 0代入求出y，即可得出答案.2【解答】解：y= x+2,当 x = 0 时，y = 0+2= 2,即抛物线与y轴的交点坐标为(0, 2),故答案为：(0, 2).5个是次品，那么从中任12从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有取1个是次品概率约为20Q 【分析】让次品总数除以螺钉总数即为所求的概率.110002001个是次品概率约为【解答】解：从中任

22、取13将量角器按如下图的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上点 A B的读数分【分析】设半圆圆心为 O连OA OB那么/ AO= 86°- 30°= 56°，根据圆周角定理得z/ AOB即可得到z ACB勺大小.【解答】解：设半圆圆心为 Q连OA OB如图,/ ACB= AOB2而Z AOB= 86°- 30° = 56Z ACB= 56°= 28°2故答案为：28°.014如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为10cm截面中有水局部弓形高为5cm,那么水面宽AB为 10 ： cm.OA= OD【分析】作 OC

23、L AB于C,交O O于d,由垂径定理得出 AB= 2AC, Z OCA= 90° , =10cm cd= 5cm 求出oc= od- cd= 5cm由勾股定理求出 ac,即可得出 ab【解答】解：作 OCLAB于C,交O O于D,连接OA如下图：那么 AB= 2AC Z OC= 90° , OA= OD= 10cm CD= 5cm, OC= OD- CD= 5cm， AC=厂：= '： ！ ：= 5. : (cm， AB= 2AC= 10.：:cm15如图，等边 ABC内接于O 0,点P为上任意一点点 P不与点A、点B重合， 连结PB P0取BC的中点D,取0P的

24、中点E,连结DE假设/ OEDa，那么/ PBC勺度数 为 60° + a 用含a的代数式表示C【分析】根据圆内接等边三角形的性质表示/EOD的度数，再根据四边形内角和表示出/ BED的度数，进而根据三角形内角和即可求解.【解答】解：如图：连接 OD 0B等边 ABC内接于O Q0B圧 30/ E点是0P的中点， 0E-0P/ 0B= 0P 0亠 0E/ 0EB/ 0DE=a,/ E03 180 ° - 2 a.因为四边形D0E内角和为360 ° ,:丄 BED- 360° - 90°- 60° -( 180- 2 a)-a= 30&

25、#176; +a,/ E0B= 180 ° - 30 °-( 30+2 a)= 120 - 2 a./ 0B= 0P-Z P0B120+2 a)= 30 ° + a./ PBC=Z OBF+Z OBG 30 ° + a +30°= 60° + a.故答案为60° + a.16. ：函数 y=- x2+m+2m m为常数的图象不经过第二象限，当-5< x< 1时，函 数的最大值与最小值之差为 12.25，那么m的值为 -5 .【分析】由题意可知 m< 0,当旦v 0时，0，那么-8W * 0,函数的最大值为

26、£ +2m函数的最小值为 3mr 1, m=- 5或m= 9,【解答】解：t函数 y =- x2+m+2m m为常数的图象不经过第二象限，2mc 0, mK 0,函数对称轴x=卫，2当二K 0 时，0,22 m+8m< 0,- 8k nK 0,函数的最大值为丄+2m函数的最小值为3mr 1,2 +2mr 3mH = 12.25 ,4 m=- 5 或 m= 9, m=- 5;故答案为-5.三.解答题共8小题217. 某二次函数 y = x +2x+c的图象经过点2, 5.1求该二次函数的解析式及其顶点坐标；2 假设该抛物线向上平移 2个单位后得到新抛物线，判断点-1 , 2是否在

27、新抛物线 上.【分析】1把点2, 5代入解析式即可求 c从而求得二次函数的解析式；2根据平移的规律得到新的解析式，然后代入-1, 2即可判断.【解答】解：1 点2, 5在y = x2+2x+c的图象上， 5= 4+4+c,c = 3.2 二次函数的解析式为 y= x +2x - 3,2 2T y = x+2x-3 =( x+1)- 4,二次函数的顶点坐标为(-1，- 4);(2)假设该抛物线向上平移2个单位后得到新抛物线为 y =( x+1) 2 - 2,把x =- 1代入得，y=- 2, 点(-1, 2)不在新抛物线上.18.如图， ABC内接于O Q AB= AC； BC= 100

28、6;,连结 AO(1 )求和卜啲度数;(2)求证：AQ平分/ BAC(2)连接QB QC由线段的垂直平分线的判定定理可得AD垂直平分BC再由等腰三角形的三线合一性质可证得结论；【解答】解：(1 )T AB= AC,L的度数=100° ,丽址的度数=为°° 1皿° = 130° ；(2)证明：如图，连接 QB QC延长AQ交BC于D,/ AB= AC QB= QC点A和点Q都在线段BC的垂直平分线上， BD= CD ADL BC:丄 BAD=Z CAD即AO平分/ BAC学知识挑战赛总决赛拉开帷幕小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手 须

29、在每个环节中各选择一道题目.第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙(分别用Ai,代，A3, A表示);第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读(分别用B, B2, B3表示).(1) 计算小明在第一环节抽取的题目是国学常识的概率；(2) 用树状图或列表法，计算小明参加总决赛抽取题目都是成语题目(成语故事、成语 接龙、成语听写)的概率.【分析】(1 )直接利用概率公式计算可得；(2)先画树状图列出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得.(2)画树状图为:【解答】解：(1)小明在第一环节抽取的题目是国学常识的概率为共有12种等可能的结果数，其中小明参加总决赛抽

30、取题目都是成语题目的结果数为2,所以小明参加总决赛抽取题目都是成语题目的概率为三=占.12 620. 如图，Rt ABC的三个顶点分别是 A (- 3, 2), B(0, 4) , C (0 , 2),结合所给的平 面直角坐标系解答以下问题：(1)画出 ABC以点C为旋转中心旋转180°后对应的厶ABC;(2)平移 ABC假设点A的对应点A的坐标为(0 , - 4),画出平移后对应的 ABC2;(3) 假设将 AiBiC绕某一点旋转可以得到厶 ABC2,请直接写出旋转中心的坐标.1I1l|H1111J盯厂厂 r T" 1 T ZXIllijKL -11 1 - r ia|H

31、111jii_ j _ijP11i| n1JI利C'111i |lg1jIIa11'1*Iv1 : 呻1|i1i|H111111iaI>iCiia1iiLXii11a1a1r= T T '1i1iiiiiiiL > .111Iii1|1i|iL a1piaV11111卜m 尸- 4 < -j14141IIH'"T J" " 1 " "" 1 IIIIn1 J J - 1. .|iiii1pp1i1iIia1IIliI卜三 4 尸 J &HI m - |iH1IIiaa|【分析】

32、(1)延长AC至Ai,使AC= AiC,因为BC= OC所以点B与点0重合，那么将 Ai、 O C连接成三角形即可；(2 )由A (- 3, 2)与对应点 A的坐标为(0,- 4),可知向下平移 6个单位，再向右 平移3个单位，依次取出点 B、C2即可；(3)对应点连线的交点既是旋转中心E,写出坐标.【解答】解：(1)延长AC至 Ai,点B与点O重合，连接 AC BiC人3,那么厶ACB就是 所求三角形；(2) 取 B2 (3, - 2), C2 (4, - 3),连成 AQ；(3) 连接AiA、BiB2,交于点E,那么点E就是旋转中心，E (I.5 , - I).rtt 亠二产二1*P141

33、L _?J_ jI* f-.5 -：!_*_ _ J_1r : t : pL _亠寸 ki ii -r ia 'A - -1 - » fl « - B111111i<ii r 111Iil<h1> .=- J _4*1*iiaiJ ： IV ；Qiiiiir-r r 1-T- ci1L . . b. . a./昨aIi1iinP114L a s k. -J a s danifa&s1P1il1Sbi1-r2111hii:乡车卜三： i : k： 30m时，达2i.一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图当球离抛出地的水平距离为 到最大高度I0

34、m(1) 问：球被抛出多远？并求出该抛物线的解析式.(2) 当球的高度为m时，球离抛出地的水平距离是多少？【分析】1根据条件设抛物线顶点式解析式即可求解；2根据1 中求得的解析式，把球的高度为 f ；|m代入，即可求出球离抛出地的水平 距离.【解答】解：1 根据题意，得2设抛物线的解析式为 y = a x- 30 +10,把0, 0代入得a=-所以抛物线解析式为y=-(x - 30)2+10=二 290x+iX.当 y = 0 时，X1 = 0, X2 = 60.或者：因为抛物线对称轴为x= 30,所以抛物线与x轴的交点为0, 0, 60, 0答：球被抛出60m该抛物线的解析式为 y=90X.

35、(2)当 y=50g时,50g2(x-30) +10,解得 X1 = 50, X2= 10.答：球离抛出地的水平距离是10m或50mMNPQ用材料乙装修.22. 某公司对自家办公大楼一块8X 8米的正方形 ABC牒面进行了如下图的设计装修四周阴影局部是八个全等的矩形，用材料甲装修；中心区是正方形两种材料的本钱如下表:材料价格元/米2550500设矩形的较短边AE的长为x米，装修材料的总费用为 y元.1 计算中心区的边 MN勺长用含x的代数式表示；32000元够用吗？请利用2 求y关于x的函数解析式;3当中心区的边长 MN不小于2米时，预备材料的购置资金函数的增减性来说明理由.【分析】(1)根据

36、图形边长即可表示出 MN的长；(2 )根据正方形和长方形的面积乘以每平方米的单价即可写出函数解析式;(3) 根据题意确定x的取值范围，根据函数的增减性即可得结论.【解答】解：(1 )根据题意，得 AD= AB= 8, AE= EF= x,四周阴影局部是八个全等的矩形， MN= 8- 4x.答：中心区的边 MN的长为8 - 4x.(2 )根据题意，得2y= 550 x 8x (8 - 2x) +500 (8 - 4x)2=-800x +3200X+32000.答：y关于x的函数解析式 y=- 800x +3200x+32000.(3)T MN不小于2, 8 - 4x> 2, 0v xw3.

37、22y=- 800x +3200x+320002=-800 (x - 2) +35200- 800v 0，图象开口向下.2当 y = 32000 时，即-800 ( x- 2) +35200 = 32000解得 Xi= 0, X2= 4.根据图象可知:0< x< 4时，y的最大值超过32000,但不符合的要求.答：预备材料的购置资金32000元不够用.23. (1)等边厶ABC内接于O O点P为亠上的一个动点，连结 PA PB PC如图1,当线段PC经过点O时，试写出线段 PA PB PC之间满足的等量关系，并说明理由；如图2,点P为,上的任意一点(点 P不与点A、点B重合)，试探

38、究线段PA PB PC之间满足的等量关系，并证明你的结论；(2)如图3，在厶ABC中, AB= 4，AC= 7, / BAC的外角平分线交厶 ABC的外接圆于点 P,S3PBC= 90 ° ,由等边三角形的性质得出/ABC【分析】(1)由圆周角定理得出/ PAC=Z=Z BAO 60°，求出/ ACP=Z BCP= 30°,由直角三角形的性质得出PA= PC, PB=2PC即可得出结论；2在PC上截取 PD= PA 连接 AD,证明 APD是等边三角形，得出 AD= AP= PD, / PAD=60°=/ BAC 证出/ DAG/ PAB 证明 ACDA

39、 ABP( SAS,得出 DO PB 即可得出结论；(2)在AC上截取ED= AE连接PD并延长交圆 0于G连接CG由线段垂直平分线的 性质得出PA= PD由等腰三角形的性质和圆周角定理得出得出/PAD=/ PDA=/ CDG /PAD=/ G 得出/ CD=/ G,证出 CG= CD 证出/ BAC= 180°- 2/ PAD= 180°- (/ PAD/ PDA =/ APG得出駅 =SE,得出亦=65 ,证出AB= CG即可得出答案.【解答】解：(1 PAPB= PC理由如下： 线段PC经过点Q PC是O Q的直径，/ PAOZ PBCG 90° , ABC是等边三角形， / AB(=Z BAG 60° , / ACP=/ BCP= 30° , PA PC PB=PC PA+PB= PCPA+PB= PC理由如下：在PC上截取PD= PA 连接 AD如图2所示： ABC是等边三角形， AB= AC / ABC=Z BAC= 60°,/ APD=Z ABC= 60&