线性代数期末测试题及其答案

1、线性代数期末考试题5 分，共 25 分）1311. 若 05 x 0 ，则。122x1 x2 x302若齐次线性方程组x1x2 x3 0 只有零解，则应满足。x1 x2 x3 03 已知矩阵A， B， C （cij ）s n， 满足 AC CB， 则 A与 B分别是阶矩4已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则 | 2A|。5 n阶方阵 A满足A2 3A E 0，则 A 1。（每小题5 分，共 25 分）6已知二次型f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1x3 4x2x3 , 当 t 取何值时，该二次型为正定？（）4t455441C. 0 t D.t5524A. t0 B.51

2、7已知矩阵A 00214,B03023x 6 ,且 A B ，求 x的值（ 05A.3B.-2C.5D.-58 设 A为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A 0 B. A 10 C. r （A） n D. A的行向量组线性相关9 过点（0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2的交线平行的直线方程为（xy2z4B.xy2z4231232xy2z4D.xy2z4231232A.C., 其特征值为（A.12, 24B.C.12, 2 4D.1 2, 24（每小题50 分）11.设B110001100011且矩阵满足关系式TX(C B) E求。1012. 问 a 取何值时，

3、下列向量组线性相关？13. 为何值时，线性方程组程组有无穷多解时求其通解。x1x2x2x3x3x1x2x32 有唯一解，无解和有无穷多解？当方14. 设 110求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。15. 证明：若A是 n阶方阵，且AAI， A1， 证明 A I0。其中I 为单位矩阵线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5.解析 : 采用对角线法则, 由 1 5 ( 2) 3x 0 ( 5) 2x 0 0有 x 5.考查知识点: 行列式的计算.难度系数:2. 1.112解析 : 由现行方程组有D 112 1 2(1) , 要使该现行方程组只有零111解 ,则 D

4、0,即 1.考查知识点: 线性方程组的求解难度系数:3. s s ， n n解析 ; 由题可知C (cij ) s n , 则设 AC CB D , 可知 D 的行数与A一致 , 列数与B 一致,且 A与 B 均为方阵, 所以 A为 s s阶矩阵 , B 为 n n 阶矩阵 .考查知识点:n 阶矩阵的性质难度系数:4. 24解析 : 由题可知, A为 3 阶矩阵且A 3, 则 2A 23 A 24 .考查知识点: 矩阵的运算难度系数:5. A 3E解析 : 由 A2 3A E 0有 A(A 3E) E, 此时 A 1 A 3E .考查知识点: 求解矩阵的逆矩阵难度系数:二、选择题6. A解析：

5、1t1题 可 知 ， 该 二 次 型 矩 阵 为 t121251 1,121 t2 0, t112425t2 4t0，可解得t 0。此时，该二次型55正定。考查知识点: 二次型正定的判断难度系数7. C解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5，可解得x=-5 。考查知识点:n 阶矩阵特征值的性质难度系数:8. D解析：由题可知，A为 n 阶可逆矩阵，则A的行向量组线性无关。考查知识点:n 阶可逆矩阵的性质难度系数:9. A.解析：由题可知，两平面法向量分别为n1(1,0,2), n2(0, 1,3)，则所求直线的方向向量为 s n1 n22i 3j k 。所以所求直线为考查知识点: 求空

6、间平面交线平行的直线方程难度系数:x y2 z4。23110. C.解析： 由 A E31512 28 0， 可解得特征值为12, 2 4考查知识点: 求解矩阵的特征值难度系数:三、解答题11. 解：1234CB0100T(C B)00T1(C B) 101102112010021考查知识点: 矩阵方程的运算求解难度系数:12. 解：000100210321T1E(C B)11000210012100121a1| A| a1， a2， a3212112211a 11 (2a 1)2(2a 2)281a21当 | A|=0时即 a 或 a 1 时，向量组a1， a2， a3 线性相关。2考查知识

7、点: 向量组的线性相关性难度系数: 13. 解：当1 且 2时，方程组有唯一解；当2 时方程组无解211当 1 时，有无穷多组解，通解为0c1 1c2 0001考查知识点: 线性方程组的求解难度系数:14. 解：14A （a1，a2，a3，a4 ）121319010013701201000014161331201601303170021020110002114343132107a2，a3构成极大无关组, 且线性关系为则 r a1，a2，a3，a43，其中a1，a42a12a2a3考查知识点: 向量组的秩与最大无关组难度系数:15. 证明：由题可知,A IAAATAI ATI AT I A 2IA0,即IA 0考查