线性代数在中学数学中的应用

1、摘要1ABSTRACT2第1章 行列式在中学数学中的应用41. 1用行列式证明等式41.2 用行列式分解因式51.3 行列式在解析几何中的应用6第2章线性方程组在中学数学中的应用7第3章 二次型理论在中学数学中的应用8第4章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用104.1 中学数学引入矩阵的意义104.2 中学数学中矩阵与变换114.3 3线性变换面积定理114.4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系124.5 中学数学中矩阵变换的常见类型12第5章用向量法解决初等几何问题13结论15参考文献16致谢17word苏州大学本科生毕业设计（论文）摘要线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程.近几年随

2、着高等数学已渐渐走入 初等数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用.本文共分为五个部分：例说行列式在中 学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩 阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题.本文主要是从上述几 个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程.关键词：行列式 齐次线性方程组 二次型 矩阵 向量1苏州大学本科生毕业设计（论文）AbstractLinear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation course. In r

3、ecent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school students. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics. This paper is divided into five parts. In these parts, we will give a lot of examples to show some applications of determinant, Linear

4、 equations, quadratic theory, matrix and transform, vector in elementary mathematics.Keywords: determinant homogeneous linear system quadratic form matrix vectori苏州大学木科生毕业设计（论文前言线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理论 课程，它本身理论性强，并且计算繁杂.作为高等学校基础课，除了作为各门学科的重要 工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用，他在培育理性思维和审美功能方 面的作用

5、也得到充分的重视.可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识.学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现.本文在阐述一些重要的概念 和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容，掌握解 决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍，从而提高逻辑读者的推理和判断的能力.1苏州大学本科生毕业设计（论文）第1章行列式在中学数学中的应用随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注,本文从 三个方面浅析其在中学数学中的应用.1.1 用行列式证明等式利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法，利用其 结果相等而得到等式的证明.例

6、1 已知 a + /?+c = O ,求证 / +/ +c = 3abe .证明：令。= /+/j3+c3-34bc,则a+b+cb即 a3 + bc33abc = 0例 2 已知ax+/?y = l, bx+cy = 1ex + ay = 1, 求证：ab + bc + ca = a2 +Z?2 +c2.证明：D = abbe+ ca-(a2 +/?2 +c2) = 6/(Z?-c)+Z?(c-Z?)+c(-c),则有0.a b ax + by -1c a ex + Jb c bx + cy -1例 3 在 A43C 中，求证cos? A + cos2 B + cos-C = 1 -2cos

7、 Acos8cosc .- 1 cos C cos B证明 由于 cos? A + cos2 B + cos2 C +2cos Acos 8cosc-1 = cosC -1 cos A cos 8 cos A -1-a +/?cosC +cosB acosC+ ccos A acosB+bcosB-ccosC-1cos Acos 8cos A-1cos C cos B-1 cos A =0cos A -1所以，在 AABC 中,cos2 A + cos2 B + cos2 C = 1 _ 2cos A cos 8 cosc 成立.例 4 求证：cos2 a + cos2 p + cos2 (a

8、 + 夕)一 2 cos a cos 夕cos(a + 0) = L 证明：因为1苏州大学本科生毕业设计（论文）1cos acos a 1cos a cos(a + )cos flcos(a + 夕)=l+2cosacos /ycos(tz + )-cos2 a-cos2 /7-cos2(a + /7)0sin)一 sin a sin 00-sintrsin Bsin2 p11故 cos。z + cos2 2+ cos：(a + 4)一 2 cos a cos 夕cos(a + 夕)=1由行列式的定义,1.2 用行列式分解因式孙。22 2%由此启发，我们可以把一个代数式/看成两个式子的差，而每

9、个式子乂可以看成两个因式的乘积，即F=MN-PQ（M,N,RQ均为代数式），于是厂=.由此即可根据行列式的性质，对某些多项式进行因式分解.例1分解因式/+6/+/-24%一2。.解：x4 + 6x3 +x2 - 24x- 20 = x2(x2 +6x + l) -4(6x + 5)厂6x + 54 x2 + 6x +1= (x2-4)1 -14 x2 + 6x +1=(x2 -4)(x2 +6x + 5) = (x-2)(a +1)(x + 2)(x+5).例2将/+/+8一6。分解因式.解：a,03+8-6" 二= (n+/?+2)二 (“+/?+ 2)(/ +b2 一而 一 2a

10、 - 2b+4).例 3 分解因式 ab2 + be2 + ca2 - ac2 - ba2 -cb2.解：ab1 +Z?c2 +ca2 -ac2 -ba2 -cb2 =a(b2 -c2)+Z?(c2 -«2)+c(«2 -Z72)苏州大学本科生毕业设计（论文）abc=a2 b2 c2 = （a - b）（b - c）（c - a）.1 11利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式，并注意行列式 的排列规则.1.3行列式在解析几何中的应用 定理1日（1）以平面内三点人（，、）（/，刈，9（，:为顶点的必的面积2 y 1S = -x2 y2 1的绝对值.2

11、£ % 1x y 1（2）通过两点尸（.）。（9,为）的直线方程为项y 1 =0- >21例求过点2,3和点1,4的直线的方程.x y 1解由2 3 1=0，得直线的方程为x+y-5 = 0.1 4 1（3）平面内三条直线4 :4x+'y + G =0,L, :a2x+b2y+c2 =0,£ :a3x+b3y+c3 = 0 .4 A q相较于一点或互相平行的充要条件是：e b, c, =0.。3 A。3推论平面上三点夕区,凹）,。（,必），砍七，月）在一条直线上的充要条件是电 为1 =o.通以1定理22通过平面上三点A（x,%）,B（x2,乃）,C（,q,凡）

12、的圆的方程为x2 + y2 x y 1入；+k须片1=0石+ X2 >2 甘+力2 & X 1例1平面上给出三个两两相交的圆，每两个圆有一条根轴，则三条根轴互相平行或交于 1苏州大学本科生毕业设计(论文)点.证明：设三个圆的方程分别为/+ + Dtx +耳)，+ * = 0(/ = 1,2,3).两两相减得三条交线正是 所述三条根轴，它们所在的直线方程为(£>£>七)y +(，-6)=0, (& - 2)-一)、 +(2-。)二。，(Di-D2)x + (Ei-E1)y+(F,-F2)=0FF】 DD?EE? FF? EE, F2-F3 e

13、e2 ff?=0三条直线方程的系数行列式为DrD? EE?D= D'-D、Ej-£5D3-6E3-E2故三直线平行或相较于一点.本题实质是求一封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积.利用线性变换面积定理求 解本题，居高临下，让人耳目一新.第2章线性方程组在中学数学中的应用线性方程组在中学就学过，主要是研究若干变量的相互关系，比如下面就是一个线性 方程组的例子：一个庙里有一百个和尚，这中间有大和尚有小和尚，这一百个和尚每顿饭总共吃一百 个馒头，其中大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问大和尚和小和尚各多少人？ 解设大和尚的数目是X,小和尚的数目是y,则有x+y = 100rr

14、 = 9S1,解之得 一力3x + -y = 1001)' = 75其实，更多元的线性方程组也是同样的解法.定理冈含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是:方程组的系数 行列式等零.例1已知函数/(x) = r+4X+“，证明I、|、|/(3)中至少有一个不小于解 把x=l, 2, 3代入函数表达式，列方程组4+ + (1-/)=0< 2a+ +(4-/(2) = 03a + + (9 /(3) = 01苏州大学本科生毕业设计(论文)1 1 1-7(1)上述关于a、b、1的齐次线性方程组有非零解，故2 1 4-/(2) =0,展开整理得3 1 9-/(3)/(I

15、)-2/(2) +/(3) = 2 ,假设结论不成立，即 易推出乙乙乙-2</(1)-2/(2) + /(3)<2,从而产生矛盾，故命题成立.例 2 已知一 = ， = b , - = c , 求证：ab + be + ca = 1 2abc.y+z z+x x+yx 一 ay - az = 0证明：山已知得关于x,y,z得方程组x + y-以=0-cx-cy + z = 01aa因为x,y,Z不可能为零，所以由定理知-b1-b=0cc1化简得 1 一 c心 c 一一 ac -Z?c-ab =0 即 ab + bc + ca = 1-2abc.由已知条件的结构特征与待解问题之间的关

16、系建立齐次线性方程组，构造三阶行列式, 其解题思路新颖，能够巧妙地解决中学数学中的若干棘手问题，凸显了用高等数学理论与 方法解决初等数学问题的优越性.第3章二次型理论在中学数学中的应用考虑一个n元二次型：/（X,工2，/）= 4 I再2 + 2。|2%工2 + + anXXn + ailXl + + a2nX2Xn + + %为J = X AX , 其中Clw Cll Clina* wR»i,j = l，小X =（芯,，工），A =Cl2 Cl 22 Clin Cl in d nn ）定义口 一个二次型/(再,/)经过非线型替换变成的平方和f(xi9x2i.xn) = dlXit +

17、d2x +L+dnxn2, 4 e RJ = 1 称为 f(xl,x2xn)的标准型.定理i1可实数域上任意一个二次型/a，.，/)都可以经过非退化的线性替换变成平方 和(1)的形式.1苏州大学本科生毕业设计（论文）定理2闾一个实二次型可以分解成两个实数系的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的 秩等于2和符号差为0,或秩等于1.例1试判断下列多项式在R上能否分解，若能，分解之.l）/（xpx2） = xl2 + 2x22 + 4.¥jX2 + 2x1 + 3x22）f（x,x2） =-3x22 + 2xrv2 -4x2 -1解I）令（小工2，&）=玉2+2工22+4不工2+2*

18、工3+3工2X3，则/（演,工2）二8（为，1），下面考虑g（%,X2，X3）的秩和符号差，对其内,，43）作非线性替换：H = % + 2x2 + x3“3 = %有&a,小,再）=）-2y可见8（内，工3）的秩是3，有定理2,知晨与，七）不能分 8解，从而/（4/）也不能分解.解2）令g（X,X2，X3）= X/一3与2+2再占一4占与十与2，则/（内,）=g（内，X2）下面考虑8（再,工2，工3）的秩和符号差对冢石，七，工3）作非线性替换)1 "+W% = 2x2+x3 ,）3=巧有 8（彳£,w）=）;-为2，从而/（X，W）= g（X,4,1）可见/（%,

19、大）的秩为2，符号 差为0,有定理2,知/（不/）可以分解，且f, *2） = g（5，v2/）=y； - y22 = （x + 乃）（）'】一乃）=（玉 + 3x2 + 1）（占一-1）定理2 对于n元实二次型/（斗勺，Z）= X AX，44,.，4为A的特征值，则对于任意X e R”,有 min 4 X X < f&,孙,玉）W max 也 X X.例3设x,y是实数，且满足f + xy + y2=3.则2-邛+的最大值与最小值是.1 -1Fl 1'解 令./（%,），） = x2+入了 + 丁 =（x,y）,则/'（x,y）的矩阵 A =.1苏州大学

20、本科生毕业设计（论文）13由定理得+ ）3）« /（苞丁）43（/+ ），注意到/（x,y） = 3,解得24/ +）,246.乂 22a2 - + y2 = 2（x2 +>-2）-/（x, y） = 2（+）/）一3 ,从而 1 W M -冲 + y? K 9 ,所以/一封 + y?的最大值为9,最小值为1.由此可见，运用高等代数中二次型定理可以顺利解决二次型/区,和，七）在条件下的取值范围，解法流程清晰，易于掌握.第4章矩阵与变换引入中学数学的意义及应用新课标中学数学的一个重大变化就是把大量原属高等数学的内容下放到中学供学生 选修，以开阔学生的视野，满足不同学生的数学需要，

21、促进学生的数学发展.被下放的有 矩阵与变换、数列与差分、球面几何、对称与群等十几个专题。下面对中学数学引入矩阵 知识的意义及作用，进行初步的探讨.4.1中学数学引入矩阵的意义中学数学引入矩阵初步知识的意义，本人认为，主要有四个方面：首先，为表达数据 提供新的工具.因此，中学数学引入矩阵知识可为学生提供一个表达数据的新工具，一是 学生更好的学习概率、统计、技术原理等课程，也能使学生更好地适应现实生活中的需要; 其次，为研究映射提供了一个新平台.在中学数学中，映射是最重要的基本概念.在新课程 中学数学体系中，直接与映射有关的内容就有函数、向量、数列、复数、曲线与方程、极 坐标与参数方程等十儿个方面

22、映射不仅是中学数学的重要概念，也是学习高等数学的必备 基础.但映射的表示方法，中学数学中原来只有解析法、列表法和图像法，这对于扩充学 生的知识视野，尤其是对学习高等数学的需要，似嫌不足.因此，中学数学引入矩阵可为 表达映射提供一种新的方法;第三，给线性方程组的解法开辟一条新的途径.引入矩阵知识 及行列式以后，就可以得到解线性方程组的公式-克拉姆法则，这不仅为中学数学解线 性方程组找到一条新的途径，而且有利于与高等数学相连接；第四，综合应用，为高等数 学与其他模块的学习提供帮助.例如网络图、信息与密码、概率与统计、生态学等，都可 以用矩阵表达或者求解，引入矩阵知识，可为学习这些知识提供有力的工具

23、.1苏州大学本科生毕业设计(论文)4. 2中学数学中矩阵与变换中学数学中山矩阵建立的变换就是平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对应法则”的作用.用二阶矩阵A= " b确定的变换，就是构造映射，使平面上的点“变成点 c c/卜,这个映射的对应法则就是左乘,在这个变换中，矩阵1之为变换矩阵，变换矩阵不同，得到的是不同的变换.例1已知在一个二阶矩阵M对应变换作用，点A1,2变成了点力7,10，点、B 2,0变成2解设"=了点8, 2,4 ,求矩阵'a +2b = 7a = 1所以,c +2d = 109解得b = 39所以M =-1 3-2a = 2c = 22 42c

24、= 4d=471012b da bc d4. 3线性变换面积定理 定理1国线性变换将平面上所有图形的面积放大或缩小同一倍数，这个倍数就是变换行 列式的绝对值.例1在平面直角坐标系wy中，已知平面区域_4 = (乂)，)1工+y41,且20,则平面区域 3 = (x+ y,x-y) I (x, y) e A的面积为.解 依题意，平面区域A是由O 0,1 , C(l,0), 0(0,1)围成的三角形，面积S为L平面区域A2变成平面区域8所对应的变换矩阵为；:，则变换行列式的绝对值det(； ；)| = 2,所 以平面区域B的面积S'为Lx 2 = 1.2苏州大学本科生毕业设计(论文)4.4

25、利用矩阵的秩判断两直线位置关系定理2忖设空间两直线：L:Aix + By + Ciz + D =0Avv + Byy + Cz + Dy =0L:Ax + Byy + C3z + D3 =0A4x + B4y + C4z + DA =0设矩阵从二AA A AB,B2纥Ba时，两直线异面;"A)= «A)=3 时,的秩为(4),矩阵才=A A 4 42) r(A) =2时，两直线重合;两直线平行.3)口D, 一q%的秩为“无),则1)当“用=4r(A) = r(A)=3时，两直线相交；4)1例判断两直线4：x + y + Z + 4 =。和小 x-y + 3z-l = 02x

26、+y + 3z+： = 0的位置关系3x+y + 5z + 6 = 01114111410 2 1解2 =1-13-2行变0-2 2-6行变0 1-132 13 50-11-30 0 0 03 15 60-2 2-60 0 0()故"mr(A)=2,所以直线4与直线4重合.4. 5中学数学中矩阵变换的常见类型中学数学中由矩阵确定的变换的常见类型，列表说明如下:表1【二中学数学中矩阵变换的常见类型变换名称变换矩阵几何特征恒等变换F1 01E= 0 1图形尸变成图形歹伸压变换k 01、沿x轴方向：M二1° L1 02、沿y轴方向M)二L° k图形尸变成图形厂.，大小和

27、形状可能变化反射变换1 "关于X轴反射/%= 0-I 0'关于y轴反射°关于图形尸变成图形尸,，大小和苏州大学木科生毕业设计(论文y=X反射“3 =-o 1-1 0关于原点反射M4二-1 00 -1形状不变，位置可能改变旋转变换cos 8 -sinC M =sin 8 cos£_图形尸变成图形尸.，大小和形状不变，位置可能改变投影变换垂直投到x轴:m =1 0'0 0垂直投到y轴：M2 =-0 0-0 1_图形尸变成线或点切变变换1、沿x轴方向：M二-1 k0 12、沿y轴方向用2 二1 01 k 1J图形尸变成图形尸,，大小和形状可能变化第5章用

28、向量法解决初等几何问题众所周知，向量是现代数学的基本概念之一。在高中数学教材中引入向量概念也是数 学现代化的需要。向量是初等数学与高等数学的衔接点，这也是向量在数学课程改革中受 到青睐的魅力所在。向量有利于培养学生数形结合的思想方法，有利于拓宽解题思路， 有利于发展学生的运算能力，有利于与高等教育衔接等方面。例1证明三角形的余弦定理.证明在 AA8C 中，设而=2, CA = b,而且，=，那么 « + 5 + c = 0B|Jtv = -(B + c)从而 a =b' +c + 2b c所以 =b +c +21«| 11 cos( - A) 即 a2 =b2 +c

29、2 -2bccosA.例2求证：连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证明M、N分别为三角形AA3C的两边A6与AC的中点，那么丽=而-丽衣丽衣-丽 品,所以丽宿且丽二 2222例3如图，三菱锥P-ABC ,夕3 _L底面ABC , N84c = 90° , PB=3C = CA=40，点E、f分别是尸C、A尸的中点，求二面角A-8石-尸的余弦值.解 以BP所在直线为z轴，BC所在直线为y轴，建立空间直角坐标1苏州大学木科生毕业设计（论文系，则8(0,0,0), A(4近、4立,0)(0,472,0), P(0,0,4 0,£(0,2 近,2版),FQ0 2 点,272).因为PB_L平面ABC,所以PB1AC, 乂 AC±CB,所以ACJ_平面PBC,所以AC1PC,所以EF ±PC. 乂 BE±PC,所以 PC平面 BEF.而汽尤)，所以平面BEF的一个法向量产(0,1,-1).设平面 ABE 的法向量La)，,z),则卜"= 2"y + 2"z = 0,则 x：y：z=i：(i)：i.n2 - BA = 2/2x + 2/2y = 0取x=l,则平面ABE的一个法向量% =所以cos5,的=-如 所以二面角A-BE-F的平面角的余弦值为1苏州大学本科生毕业设计（论文）结论线性代